夹逼定理练习

第六节 夹逼定理 无穷小的比较

一． 夹逼定理

定理1：如果数列?xn?、?yn?及?zn?满足下列条件： （1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)。 （2） limyn?a，limzn?a。

n??n?? 则数列?xn?的极限存在，且limxn?a

n??定理2：设函数f(x)在点a的的某一去心邻域U(a,?)内（或x?X时） 满足条件：（1）g(x)?f(x)?h(x)。

（2） limg(x)?A ，limh(x)?A（或limg(x)?A ，limh(x)?A）。

x?ax?ax??x??? 则limf(x)存在，且limf(x)?A（（或limf(x)存在，且limf(x)?A）。

x?ax?ax??x??注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。

（2） 定理1中的条件（1）改为：yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)，结论仍然成立。 例1： 求下列极限 （1）limn1?n??1111 （2）lim(??...?)

222n??nn?1n?2n?n1二．两个重要极限

sinx11?1。 （2）lim(1?)x?e，mil(1?x)x?e，lim(1?)n?e） （1）lim（。

x?0x??n??x?0xxn例2：求下列极限 tanxtanx?sinxcosx?cos3xlim（1） lim （2） lim （3） 32x?0x?0x?0xxx例3：求下列极限

2x?5xx) （1） lim(1?)2x （2） lim()x?2 （3）lim(x??x??x?5x?22x1三． 无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管x,x2,Sinx,1?Cosx,3x,都是x?0时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设?(x)，?(x)是当x?x0时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：?(x)??(x)，?(x)??(x)，?(x)??(x)都是当x?x0时的无穷小量。

但?(x)/?(x)当x?x0时是否是无穷小量呢？

?(x)?x,，?(x)?x2，?(x)?sinx，?(x)?1?cosx当x?0时都是无穷小量，lim?(x)?(x)?0，lim?1，

x?0?(x)x?0?(x)lim?(x)1?(x)?，lim??。

x?0?(x)x?02?(x)1．定义：设lim??0，lim??0，

??0，就说?是比?高阶的无穷小，记作??o(?)； ?? （2）如果lim??，就说?是比?低阶的无穷小；

?? （3）如果lim?c?0，就说?是与?同阶的无穷小；

?? （4）如果lim?1，就说?与?是等价无穷小，记作?~?。

?2．等价无穷小的重要性质 （1）如果lim??/?/定理3：设?~? , ?~?,且lim/存在，则lim=lim/。

???//f(x)?f(x)?f(x)?/f(x)?/推论（1）：设?~? , ?~?,且lim存在，则lim存在，且lim=lim。 //g(x)?g(x)?g(x)?g(x)?//注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化

计算，但注意在加、减运算中不能用。 例4：求下列极限 （1） limx?0tanx?sinx1?tanx?1?tanxlim （2） xx?0x2tanxe?1例5：当x?0时，试比较下列无穷小的阶

（1） ??x3?2x2 ??x2 （2）??x2cosx ??x2 3．常用的等价无穷小替换

x?0：sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，ln(1?x)~x，ex?1~x；

x21?cosx~，(1?x)?~?x。

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