配方法解一元二次方程的教案
教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册
第22章第2节第1课时。
一、教学目标
（一）知识目标
1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标
1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点
配方法解一元二次方程的一般步骤
三、教学难点
具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点
运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程
（一）复习引入
1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：
二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究
通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力，引发学生思考。
问题1：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，
具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2
列出方程：60x2=1500
x2=25
x=±5
因为x为棱长不能为负值，所以x=5
即：正方体的棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：
要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？
问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会，所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。
具体解题步骤：
解：设场地宽x m，长（x +6）m。
列方程： x（x +6）=16
即： x2+6x-16=0
x2+6x=16
x2+6x+9=16+9
(更多请搜索)（x+3）2=25
x+3=±5
x+3=5x+3=-5
x1=2， x2=-8
2、配方法解一元二次方程
（1）定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法。
（2）配方法解一元二次方程一般步骤：
一化：先将常数移到方程右边，后将二次项系数化为1
二配：方程左右两端都加上一次项系数一半的平方
三成式：将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式
四开：直接开平方
五写：写出方程的解
（三）应用举例
针对每个知识点各举了一个例子，每个例子有两个方程，逐渐加深。让学生更易接受。让学生在例题中进行思考和总结。具体的例1链接知识点1，例2链接知识点2。
例1 解方程（1）9x2-1=0； （2）x2+2x+1=16。
解：（1）原方程变形为：9x2=1
x2=1/9
x=±1/3
即x1=1/3， x2=-1/3
2（2）原方程变形为： （x+1）=16
x+1=±4
x1=3， x2=-5
2例1讲解完之后，我会让学生思考：形如（ax +b) =c （a≠0；c≧0）的 一
元二次方程的解。让学生能够从特殊的到一般的题目。
例2 用配方法解下列方程：
（1） x2-3x-2=0（2）2x2-3x-6=0
解：（1）移项 x2-3x=2
配方 x2-3x+（3/2）2=2+（3/2）2
（x-3/2）2=17/4
x-3/2=±√17/2
x1= 3/2+√17/2 ， x2=3/2-√17/2
(2) 将二次项系数化为1
x2-3/2x-3=0
x2-3/2x=3
x2-3/2x+（3/4）2=3+（3/4）2
（x-3/4）2=57/16
x-3/4=±√57/4
x1= 3/4+√57/4 ， x2=3/4-√57/4
（四）反馈练习
了解学生知识的掌握程度，即时发现问题。而这道题目重在学生自己去发现错误，加深配方法解一元二次方程的一般步骤。从而突破这一重难点。 练习：
观察下列用配方法解方程2x2-4x+1=0的两种解答是否正确，若不正确请你写出正确的解答。
解:（1）配方 2x2-4x+4-4=1，即（2x-2）2=5
所以，2x-2= √5或2x-2= -√5
所以， x1= 1+ √5 /2， x2=1- √5 /2
（2）系数化为1 x2-2x=1/2
配方 x2-2x+1=1/2 即（x-1）2=1/2
所以 x-1=√2 /2或x-1=-√2 /2
所以x1= 1+ √2 /2， x2=1- √2/2。
六、课堂小结
对本堂课的内容进行巩固和反思。主要由学生归纳，老师补充总结。
小结：1、本节课主要学习了用配方法解一元二次方程，其中运用到了解一元一次方程，二次根式等方面的知识。
2、重点理解和掌握配方法解一元二次方程一般步骤并会运用配方法解一元二次方程。
七、布置作业
对本堂课的知识进行巩固和提高。根据新课程标准“人人学习不同的数学”的理念，把作业分为必做题和选作题，给学生更大的空间。
作业：必做题：教材p36（6）p39 2题的（5）（6）
选作题：若实数x满足条件（x2+4x-5）2+∣x2-x-30 ∣=0，求代数式√（x+2)2+ √(x-1)2的值
八、板书设计
22.2.配方法解一元二次方程
一、知识回顾
解一元一次方程的一般步骤：
二次根式的意义
二、配方法
1、用直接开平方法解一元二次方程
问题1
例1
思考：
总结：
2、用配方法解一元二次方程
问题2
思考：
(1)配方法：
(2)配方法解一元二次方程一般步骤:
例2
练习：
反思：
小结：
作业：
九、教学反思
在课堂完成后还应进行学生和我两方面的教学反思，以促进和提升以后的教学。
学生方面：上课时学生的哪些反应是意料中或意料外的。在练习反馈中学生是否掌握了这堂课的内容。
教师方面：教学方法是否得当，教学效果好不好。
一元二次方程
初三11班张础津
教学内容
本节课主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．
教学目标
知识技能:
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用相关知识解决问题．
情感态度:
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成思考与适时归纳小结的学习习惯．
重难点、关键
重点：根据不同方程的特点，选择运用恰当的方法解方程
难点：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合运用
教学过程
一、引入：今天咱们来复习一元二次方程
二、讲与练：
1．一元样二次方程的概念：
（1）只含有1个未知数，?并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，（2）一般形式：_______（3）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
（举例：（x+3）=x+13例p171练习p1913）
2．一元二次方程的解法有：（1）____ _____；（2）________；（?3）?_________；（?4）?．
（讲练：p195687）
练习p18变式1、2 解方程
3．一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根． （例：p18例2练习p18 变式1（2014茂名）（1）p194）
24. 若一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）的两根为x1、x2 222
bcx1?x2??,x1x2? aa
（p18例3练习练习p18 变式1（2014茂名）（2））
三、小结与作业
引导学生归自己写出所讲内容网络结构
作业课后作业本p7
- 1 -
连云港市新海实验中学数学教案
4.2.3一元二次方程的解法
主备 单宝珍审核 九年级数学组 时间 2014-10-21
一、教学目标：
1．使学生能熟练地用公式法解一元二次方程
2．让学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0
3．让学生在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点。
4．使学生能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况 2
二、教学重点
1.掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
2.能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
3.在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
三、教学难点
1.求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。
2.在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
四、教学过程
（一）自学引导
课前发放学案布置学生完成“自学导航”，通过自学体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0，能用公式法解一元二次方程。
（二）交流展示
1.让学生在组长的带领下交流学案“自学导航”部分内容，并进行展示。（通过交流、展示、教师点拨要达到明白用公式法解一元二次方程的一般步骤，能用“公式法”解一元二次方程的目的。）
2．k时，方程x?kx?4?0有两个相等的实数根？求这时方程的根。
（三）精讲点拨
例：课本p90例题
（在学生已经自学的基础上，教师与学生共同归纳公式法解一元二次方程的一般步骤，强调解题格式的规范性和检查的必要） 22
五、矫正巩固：（见学案）
六、教后反思：
教案19.5一元二次方程的应用
（沪科版八年级下一元二次方程的应用教案）
教学目标； 知识与技能，
1. 使学生学会列一元二次方程解应用题的方法。
2. 掌握增长率问题建立数学模型的方法，并利用它解决一些具体问题．
过程与方法，
通过具体实例的抽象概括过程。进一步向学生渗透把未知转化为已知的化归思想。培养学生的分析问题和解决问题的能力。发展学生的抽象思维能力。
情感态度与价值观，
通过具体实例的分析，思考，与合作学习。培养学生应用知识分析问题，解决问题的能力和良好的学习习惯。
教学重点：
正确分析应用题的题意，列出一元二次方程。
教学难点：
分析问题，建立正确的数学模型。
教学方法：讲练结合，
教学过程:
一 ，温故知新。
1，一元二次方程有哪几种解法？
2，看18.1节中的问题2，（见课本p37）
二：探索新知;
3，问题1：一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数 的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两 位数的乘积为736，求原来的两为数。
分析 ：多位数的表示方法：
两位数：（十位数）乘以10+个位数字
三位数：（百位数）乘以100+（十位数）乘以 10+个位数字
… …
本题是属于数字问题，题中的等量关系比较明显：新两位数乘以 原来的两位数=736，正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。
解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为(5-x),
根据题意::得[10x+(5-x)] [10(5-x)+x]=736
整理，得x2-5x+6=0,
解得;x1=2,x2=3
当x=2时，5-x=3,符合题意，原来的两位数是23
当x=3时，5-x=2,符合题意，原来的两位数是32
4.练一练
（1）、两个数的差是4，这两个 数的积是96 ，求 这两个数.
（2）、已知两个连续奇数的平方和等于74，求这两个数.
（3）、有三个连续整数，已知最大数与最小数的积比中间数的5倍小1，求这三个数.
5. 问题2：课本 p37例2（让学生交流学习后再讲解）
6.练一练，
（一） 某储蓄 所第一季度收到的 存款额是150万元，第三季度上升到216万元，且每个季度的增长率相同。
（1）求每个季度的增长率是多少？
（2）该储蓄所第二季度收到的存款额多少万元？
分析：增长率问题中基本关系是：原来的部分乘以（1+增长率）=增长后的部分。
若连续两次增长率相同，设起始量为a，增长率为x，则:
第一次增长后的数值为 ,a(1+x)，
第 二次增长后的数值为,a(1+x) (1+x)= a(1+x)2
解：设每个季度的增长率是x，则150（1+x ）2?=216
解得：x1=-2.2（不合题意，舍去），x2=0.2=20%
答：（略）
提示： 本题中第一次出现舍根的情况，解方程所得的根，如果与实际问题不相符，就要舍去。
（二）： 某种产品，计划两年后使成本降低36％，平均每年降低的百分率是多少？
解：设这种产品的下降率是x，起始量为a，则
a(1-x)2 = 36%a
解得：x1=1.6（不合题意，舍去），x2=0.4=40%
答：（略）
分析：下降率或降低率可理解为增长率为负值（- x)，
同理，若连续两次的下降率相同，设起始量为a，下降率为x，则
第一次下降后的数值为：a(1-x)，
第 二次下降后的数值为：a(1-x) (1-x)= a(1-x)2
三，课堂小结
本节学习了列一元二次方程解应用题的一般方法步骤即，审、设、列、解、验、答。重点是，审题，找等量关系。
四，板书设计；（略）
五，布置作业
课本p38 第1、2、3题
一元二次方程根的分布
【学习目标】
1. 能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2. 体会高中数学中“函数与方程”的思想方法，“数形结合”的思想。
3. 进一步理解函数与方程的关系，让学生学会借助图像辅助分析。
【学习重点】
一元二次方程根的分布。数形结合法。
【学习难点】
数型结合思想，根的分布的复杂变形。
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
【典型例题】
例1. m为何实数值时，关于x的方程x2?mx?(3?m)?0
（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负
变式题：m为何实数值时，关于x的方程x2?mx?(3?m)?0有两个大于1的根.
例2. 若8x4+8(a－2)x2－a+5>0对于任意实数x均成立，求实数a的取值范围.
例3.关于x的方程ax?2x?1?0至少有一个负根,求实数m的取值范围。
课堂小练习：
【布置作业】
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与一元二次方程》精选教案
一元二次方程专题训练一
一元二次方程实际问题
实际问题一元二次方程(2)
一元二次方程专题练习
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