函数问题的解答
对号函数在数学解题中的应用
在求函数的最值或值域时，有些函数不能用均值不等式，主要是由于等号不成立，而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质，使这类题目在解题中显得简便而准确。
函数y ax
bx
（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似
bx
ba
符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，ax
bx
ba
2
（当且仅当ax R+）的性质: 当x
ba
即x 时取等号），由此可得函数y ax
bx
（a>0,b>0,x∈
时，函数y ax
bx
（a>0,b>0,x∈R+）有最小值2
bx
ba
，特别地，当
ba
a=b=1时函数有最小值2。函数y ax
ba
（a>0,b>0）在区间（0，）上是减
函数，在区间（，+∞）上是增函数。
bx
因为函数y ax
-
（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数y ax
bx
（a>0,b>0,x∈R）的性质： 当x
ba
时，函数y ax
bx
（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2
bx
ba
，特别地，当
ba
a=b=1时函数有最大值-2。函数y ax
ba
（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上
是增函数，在区间（-，0）上是减函数。
利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数y 解：令t
y
t 1t
2
x 2x 4x 2x 3
2
2
的最小值。
2
x 2x 3，则t
1t
2
(x 1) 2 2
t
函数问题的解答
根据对号函数y t 在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当t 2时y
t
1
有最小值
322
。此时x=-1.
2sinx
(x k ,k Z)的单调区间，并求当x (0, )时函数的
2、求函数y sinx 最小值。
解：令t=sinx,对号函数y t 是增函数，所以y sinx
2
2t
在（0，2）上是减函数，故当x (0,]时sinx
2
sinx
22(, )上是增函数，由于函数y sinx 是奇函数，所以函数y sinx 2sinxsinx
2在( ,0)上是减函数，在( , )上是增函数，由周期性，函数y sinx
22sinx
sinx
在(0,]上是减函数。同理，y sinx
2
2
在
在每一个区间(2k
(2k ,2k (2k
2
,2k )(k Z)
上是减函数，在每一个区间
2sinx
2
)(k Z)
上是减函数；函数y sinx 在每一个区间
3 2
)(k Z)
2
,2k )(k Z)上是增函数，在每一个区间(2k ,2k
上是增函数。当x (0, )时t (0,1]，当t=1时即x 3、求函数y 2x
3x
2
时y有最小值3。
的单调区间，并用函数单调性定义证明之。
3x
解：利用对号函数性质，容易得出函数y 2x
62
62
的单调递增区间是
62
（-∞，-62
），（，+∞），函数的单调递减区间是（-62
，0），
（0，）。下面只证明在区间上（0，
62
）是减函数的情形：
3x1)
设任意的x1,x2 （0，
x2 x1x1x2
）,且x1 x2，f(x1) f(x2) 2x1
3x1x2
2x1x2 3x1x2
(2x2
3x2
)
=2(x1 x2) 3()=(x1 x2)(2
) (x1 x2)(
因为x1,x2 （0，
62
）,且x1 x2，所以x1 x2 0,2x1x2 3 0
函数问题的解答
(x1 x2)(
2x1x2 3x1x2
) 0
即f(x1)-f(x2)>0
所以f(x1)>f(x2)，f(x) 在区间上（0，
62
）是减函数.
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