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林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题15角含半角模型(附答

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专题15 角含半角模型

破题策略

1. 等腰直角三角形角含半角

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上且∠DAE=45° (1) △BAE∽△ADE∽△CDA (2)BD2+CE2=DE2.

A45°BDEC

证明(1)易得∠ADC=∠B+∠BAD=∠EAB, 所以△BAE∽△ADE∽△CDA.

(2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.

A45°FBDEC

则∠EAF=∠EAD=45°,AF=AD,所以△ADE∽△FAE ( SAS ). 所以DE= EF.

而CF=BD,∠FCE=∠FCA+∠ACE=90°, 所以BD2+ CE2=CF2+CE2=EF2=DE2.

方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F,连结AF,DF,EF.

A45°BDFEC

因为∠BAD+∠EAC=∠DAF+∠EAF, 又因为∠BAD=∠DAF,

则∠FAE=∠CAE,AF=AB=AC, 所以△FAE∽△CAE(SAS). 所以EF= EC.

而DF=BD, ∠DFE=∠AFD+ ∠AFE=90°, 所以BD2+ EC2= FD2+ EF2= DE2.

【拓展】①如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点D 在BC 上,点E 在BC 的延长线上,且∠DAE=45°,则BD2+CE2=DE2.

ABDCE

可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图:

FAAFBDCEB

DCE

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,且∠DAE=数为180°-∠BAC.

A1∠BAC,则以BD,DE,EC为三边长的三角形有一个内角度2BDEC

可以通过旋转、翻折的方法将BD,DE,EC转移到一个三角形中,如图:

AAFBBDFECDEC

2. 正方形角含半角

如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF,

则:

B45°EABEGABHE45°ACF图1DCF图2DCF图3D

(1)EF=BE+DF;

(2)如图2,过点A作AG⊥EF于点G,则AG=AD;

(3)如图3,连结BD交AE于点H,连结FH. 则FH⊥AE. (1)如图4,将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明.

BEACF图4DI

则∠IAF=∠EAF=45°,AI=AE, 所以△AEF∽△AIF(SAS), 所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.

(2)因为△AEF∽△AIF,AG⊥EF,AD⊥IF, 所以AG=AD.

(3)由∠HAF=∠HDF=45°可得A,D,F,H 四点共圆, 从而∠AHF=180°-∠ADF=90°,

即FH⊥AE.

【拓展】①如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CB,DC 的延长线上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=DF-BE.

EBAFCD

可以通过旋转的方法来证明.如图:

EAB

FCGD

②如图,在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠C=180 °,点E,F分别在BC、CD上,∠EAF=

1∠BAD,连结EF,则EF=BE+DF. 2BAECFD

可以通过旋转的方法来证明.如图:

BAEC

FDG

例题讲解

例1 如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°. (1) 试判断BE、EF、FD之间的数量关系.

(2) 如图2,在四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD.∠B+∠D=180°,点E、F分别在BC、CD上,则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时,仍 有EF=BE+FD.

(3)如图3.在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD =80m,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分别有景点 E,F,且AE⊥AD.DF=40(3-1)m.现要在E、F之间修一条笔直的道路,求 这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据:2=1.41,3=1.73)

ADFADDFBEC图2FABC

BEC图1E图3解: (1)由“正方形内含半角模型”可得EF=BE+FD. (2)∠BAD=2∠EAF,理由如下:

如图4,延长CD至点G,使得DG=BE.连结AG. 易证△ABE≌△ADG(SAS). 所以AE=AG,

即EF=BE+DF=DG+DF=GF. 从而证得△AEF≌△AGF( SSS). 所以∠EAF=∠GAF=

11∠EAG=∠BAD. 22AGDFBE图4GHDFAB

CE图5C

(3)如图5,将△ABE绕点A逆时针旋转1 50°至△ADG.连结AF. 由题意可得∠BAE=60°

所以△ABE 和△ADG均为等腰直角三角形. 过点A作 AH⊥DG于点H.则 DH=

13AD=40m,AH= AD=403 m. 22而DF=40(3-1)m. 所以∠EAF=∠GAF=45°. 可得△EAF≌△GAF(SAS).

所以EF =GF=80m+40(3-l)m≈109. 2m.

例2如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N=45°.连结MC、NC、MN.

(1)与△ABM相似的三角形是 ,BMDN= (用含有a的代数式表示);

(2)求∠MCN的度数;

(3)请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系,并证明你的结论. ADBNCM

2解:(1)△NDA,a.

AGDFBE图4GHDFAB

CE图5C

(3)如图5,将△ABE绕点A逆时针旋转1 50°至△ADG.连结AF. 由题意可得∠BAE=60°

所以△ABE 和△ADG均为等腰直角三角形. 过点A作 AH⊥DG于点H.则 DH=

13AD=40m,AH= AD=403 m. 22而DF=40(3-1)m. 所以∠EAF=∠GAF=45°. 可得△EAF≌△GAF(SAS).

所以EF =GF=80m+40(3-l)m≈109. 2m.

例2如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N=45°.连结MC、NC、MN.

(1)与△ABM相似的三角形是 ,BMDN= (用含有a的代数式表示);

(2)求∠MCN的度数;

(3)请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系,并证明你的结论. ADBNCM

2解:(1)△NDA,a.

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