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高三数学知识点

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篇一:高三数学知识点总结

高三数学知识点总结

全日制普通高级中学教科书《数学》目录

第一册上

第一章 集合与简易逻辑

一 集合

1.1 集合

1.2 子集、全集、补集

1.3 交集、并集

1.4 含绝对值的不等式解法

1.5 一元一次不等式解法

阅读材料 集合中元素的个数

二 简易逻辑

1.6 逻辑联结词

1.7 四种命题

1.8 充分条件与必要条件

小结与复习

复习参考题一

第二章 函数

一 函数

1

2.1 函数

2.2 函数的表示法

2.3 函数的单调性

2.4 反函数

二 指数与指数函数

2.5 指数

2.6 指数函数

三 对数与对数函数

2.7 对数

阅读材料 对数的发明

2.8 对数函数

2.9 函数的应用举例

阅读材料 自由落体运动的数学模型

实习作业 建立实际问题的函数模型

小结与复习

复习参考题二

第三章 数列

3.1 数列

3.2 等差数列

2

3.3 等差数列的前n项和

阅读材料 有关储蓄的计算

3.4 等比数列

3.5 等比数列的前n项和

研究性学习课题:数列在分期付款中的应用

小结与复习

复习参考题三

附录 部分中英文词汇对照表

第一册下

第四章 三角函数

一 任意角的

4.1 角的概念的推广

4.2 弧度制

4.3 任意角的三角函数

阅读材料 三角函数与欧拉

4.4 同角三角函数的基本关系式

4.5 正弦、余弦的诱导公式

二 两角和与差的三角函数

4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切

4.7 二倍角的正弦、余弦、正切

三 三角函数的图象和性质

3

三角函数

4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质

4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

4.10 正切函数的图象和性质

4.11 已知三角函数值求角

阅读材料 潮汐与港口水深

小结与复习

复习参考题四

第五章 平面向量

一 向量及其运算

5.1 向量

5.2 向量的加法与减法

5.3 实数与向量的积

5.4 平面向量的坐标运算

5.5 线段的定比分点

5.6 平面向量的数量积及运算律

5.7 平面向量数量积的坐标表示

5.8 平移

阅读材料 向量的三种类型

二 解斜三角形

4

5.9 正弦定理、余弦定理

5.10 解斜三角形应用举例

实习作业 解三角形在测量中的应用

阅读材料 人们早期怎样测量地球的半径?

研究性学习课题:向量在物理中的应用

小结与复习

复习参考题五

附录 部分中英文词汇对照表

第二册上

第六章 不等式

6.1 不等式的性质

6.2 算术平均数与几何平均数

6.3 不等式的证明

6.4 不等式的解法举例

6.5 含有绝对值的不等式

阅读材料 n个正数的算术平均数与几何平均数

小结与复习

复习参考题六

第七章 直线和圆的方程

7.1 直线的倾斜角和斜率

7.2 直线的方程

7.3 两条直线的位置关系

5

篇二:高三数学知识点总结(经典版)

高中数学知识梳理总汇及复习

第一部分 集合与函数

1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.

[举例1]已知集P?{y|y?x2,x?R},Q?{y|y?2x,x?R},求P?Q.

2、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.

[举例]若A?{x|x2?a},B?{x|x?2}且A?B??,求a的取值范围.

3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定:若A?B,则x?A是x?B的充分条件;若A?B,则x?A是x?B的必要条件;若A?B且A?B即A?B,则x?A是x?B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价,“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析:“哪个命题”是“哪个命题”的充分(必要)条件;注意区分:“甲是乙的充分条件(甲?乙)”与“甲的充分条件是乙(乙?甲)”,是两种不同形式的问题.

[举例]设有集合M?{(x,y)|x2?y2?2},N?{(x,y)|y?x?2},则点P?M的_______条件是点P?N;点P?M是点P?N的_______条件.

4、掌握命题的四种不同表达形式,会进行命题之间的转化,会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.

[举例]命题:“若两个实数的积是有理数,则此两实数都是有理数”的否命题是_________,它是____(填真或假)命题.

5、若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称,则有f(a?x)?f(a?x)或f(2a?x)?f(x)等,反之亦然.注意:两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数y?f(x)的图像关于直线x?a的对称曲线是函数y?f(2a?x)的图像,函数y?f(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y?2b?f(2a?x)的图像.

[举例1]若函数y?f(x?1)是偶函数,则y?f(x)的图像关于______对称.

[举例2]若函数y?f(x)满足对于任意的x?R有f(2?x)?f(2?x),且当x?2时f(x)?x2?x,则当x?2时f(x)?________.

6、若函数y?f(x)满足:f(x?a)?f(x?a)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意:不要和对称性相混淆.若函数y?f(x)满足:f(x?a)??f(x)(a?0)则f(x)是以2a为周

1,则f(x)也是周期函数) f(x)

[举例]已知函数y?f(x)满足:对于任意的x?R有f(x?1)??f(x)成立,且当x?[0,2)

)?______. 时,f(x)?2x?1,则f(1)?f(2)?f(3)???f(2006期的函数.(注意:若函数f(x)满足f(x?a)??

7、奇函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0;偶函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0.注意:使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称;若函数y?f(x)是奇函数或偶函数,则此函数的定义域必关于原点对称;反之,若一函数的定义域不关于原点对称,

则该函数既非奇函数也非偶函数.若y?f(x)是奇函数且f(0)存在,则f(0)?0;反之不然.

1?a是奇函数,则实数a?_______; x2?1

[举例2]若函数f(x)?ax2?(b?2)x?3是定义在区间[2a?1,2?a]上的偶函数,则此函数[举例1]若函数f(x)?的值域是__________.

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致,偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称,则它在对称轴的两侧的增减性相反;此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性,但必须注意定义域.

[举例]若函数y?f(x)是定义在区间[?3,3]上的偶函数,且在[?3,0]上单调递增,若实数a 满足:f(2a?1)?f(a2),求a的取值范围.

9、要掌握函数图像几种变换:对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数y?f(x)的图像,作出函数y?f(?x),y?f(|x|),y?|f(x)|,y?f(x?a),y?f(x)?a的图像.(注意:图像变换的本质在于变量对应关系的变换);要特别关注y?f(|x|),y?|f(x)|的图像. [举例]函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的单调递增区间为_____________.

10、研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数及分段函数的性质(包括值域)等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确:即找准特殊的点(函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等)、递增递减的区间、最值等.

[举例1]已知函数f(x)?2x?1,g(x)?ax?1,若不等式f(x)?g(x)的解集不为空集,则实数a的取值范围是____________.

[举例2]若曲线y?|x|?1与直线y?kx?b没有公共点,则k,b应当满足的条件是

11、曲线可以作为函数图像的充要条件是:曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.

一个函数存在反函数的充要条件是:定义域与值域中元素须一一对应,反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗?(是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数).还应注意的是:有反函数的函数不一定是单调函数,你能举例吗?

[举例]函数f(x)?x2?2ax?1,(x?[0,1]?[3,4]),若此函数存在反函数,则实数a的取值范围是__________.

12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,反函数的定义域不能单从反函数的表达式

上求解,而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解(关于x的)方程的过程.注意:函数的反函数是唯一的,尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.

[举例]函数f(x)?log2(x2?2x?2),(x?(??,?2])的反函数为__________.

13、原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数的图

像关于直线y?x对称;若函数y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则有2

f(f?1(b))?b,f?1(f(a))?a.b?f(a)?a?f?1(b).需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如y?f(2x)反函数不是y?f?1(2x).

?1[举例1]已知函数y?f(x)的反函数是y?f

的表达式是_________. (x),则函数y?2f?1(3x?4)的反函数

?2x,x?0 [举例2]已知f(x)??,若f?1(a)?3,则a?____.

?log2(?x),?2?x?0

14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性),但证明函数单调性只

能用定义,不能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明:函数y?ax?

[举例]函数f(x)?ax?b,(a,b?0)的单调性. x1(a?0)在x?[1,??)上是单调增函数,求实数a的取值范围. x

15、一元二次函数是最基本的初等函数,要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在

闭区间上一定存在最大值与最小值,应会结合二次函数的图像求最值.

[举例]求函数f(x)?x2?2ax?1在区间[?1,3]的最值..

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等

式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”,可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是;不等式解集区间的端点值是对应方程的根(或增根).

[举例1]已知关于x的不等式|ax?3|?5的解集是[?1,4],则实数a的值为. [举例2]解关于x的不等式:ax2?2ax?1?0(a?R).

第二部分 不等式

17、基本不等式a?b?2ab,ab?(a?b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范围“.一正、2

11?的最小值为______. ab二定、三相等”,“积定和有最小值、和定积有最大值”,利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用. [举例]已知正数a,b满足a?2b?3,则

18、学会运用基本不等式:||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.

[举例1]若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集是R,则实数a的取值范围是__;

[举例2]若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集不是空集,则实数a的取值范围是_.

19、解分式不等式不能轻易去分母,通常采用:移项(化一边为零)→通分→转化为整式不等

式→化所有因式中的变量系数为正,(即不等式两边同除以变量系数,若它的符号不能确定即需要讨论)→“序轴标根”(注意比较各个根的大小,不能比较时即需要讨论);解绝对值不等式的关键是“去绝对值”,通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意:求一个变量的范围时,若分段讨论的也是这个变量,结果要“归并”.

[举例]解关于x的不等式:a(x?1)?1(a?0). x?2

20、求最值的常用方法:①用基本不等式(注意条件:一正、二定、三相等);②方程有解法

③单调性;④换元法;一般而言:在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时,常用函数y?x?a,(a?0)的单调性;求二次函数(自变量受限制)的值域,先配方、再利用图x

132111x的最大值不大于,又当x?[,]时,f(x)?,62428像、单调性等;求分式函数的值域(自变量没有限制)常用“逆求”(即判别式法);求分式函数的值域(自变量受限制)通常分子、分母同除一个式子,变分子(分母)为常数. [举例1]已知函数f(x)?ax?

求实数a的值.

[举例2]求函数f(x)?x?3在区间[?2,2]上的最大值与最小值. x2?6x?13

21、遇到含参不等式(或含参方程)求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法,转化为

求某函数的最大值(或最小值);但是若该参数分离不出来(或很难分离),那么也可以整体研究函数y?f(a,x)的最值.特别注意:双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量,另一个作为参数.

[举例]已知不等式4?a?2?2?0对于x?[?1,??)恒成立,求实数a的取值范围. xx

第三部分 三角函数

22、若??(0,?

2),则sin????tg?;角的终边越“靠近”y轴时,角的正弦、正切的绝

对值就较大,角的终边“靠近”x轴时,角的余弦、余切的绝对值就较大.

[举例1]已知??[0,?],若sin??|cos?|?0,则?的取值范围是_______. [举例2]方程sinx?x的解的个数为____个.

23、求某个角或比较两角的大小:通常是求该角的某个三角函数值(或比较两个角的三角函数

值的大小),然后再定区间、求角(或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小).比如:由tg??tg?未必有???;由???同样未必有tg??tg?;两个角的三角函数值相等,这两个角未必相等,如sin??sin?;则??2k???;或??2k?????,k?Z;若cos??cos?,则??2k???,k?Z;若tg??tg?,则??k???,k?Z.

[举例1]已知?,?都是第一象限的角,则“???”是“sin??sin?”的――( )

A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. [举例2]已知??0,??0,?????,则“???”是“sin??sin?”的―――( )

A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件.

24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小,一定要根据角的范围来确定;

能熟练掌握由tg?的值求sin?,cos?的值的操作程序;给(一个角的三角函数)值求(另一个三角函数)值的问题,一般要用“给值”的角表示“求值”的角,再用两角和(差)的三角公式求得.

[举例1]已知?是第二象限的角,且cos??a,利用a表示tg??_____;

[举例2]已知6sin??sin?cos??2cos??0,??(22?

2,?),求sin(2???

3)的值.

25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等,应注意运用二倍角正(余)弦公式,半角公式降次即:sinx?211??(1?cos2x),cos2x?(1?cos2x);引入辅助角(特别注意,2236经常弄错)使用两角和、差的正弦、余弦公式(合二为一),将所给的三角函数式化为y?Asin(?x??)?B的形式.函数y?|Asin(?x??)|的周期是函数y?Asin(?x??)周期的一半.

[举例]函数f(x)?2cos2x?23sinxcosx?1的最小正周期为_____;最大值为_

_;单调递增区间为_______;在区间[0,2?]上,方程f(x)?1的解集为_

26、当自变量x的取值受限制时,求函数y?Asin(?x??)的值域,应先确定?x??的取值

范围,再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(?x??)的取值范围,并注意A的正负;千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.

[举例]已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx),x?[0,?],求f(x)的最大值与最小值.

27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角(或边)处理.有关a,b,c的齐

次式(等式或不等式),可以直接用正弦定理转化为三角式;当知道△ABC三边a,b,c平方的和差关系,常联想到余弦定理解题;正弦定理应记为abc???2R(其sinAsinBsinC

中R是△ABC外接圆半径.

[举例]在△ABC中,a,b,c分别是?A,?B,?C对边的长.已知a,b,c成等比数列,且a2?c2?ac?bc,求?A的大小及bsinB的值. c

28、在△ABC中:a?b?A?B?sinA?sinB;sin(B?C)?sinA,cos(B?C)?

B?CAB?CA?sin,sin?cos等常用的结论须记住.三角形三内角A、2222

?B、C成等差数列,当且仅当B?. 3

[举例1]在△ABC中,若2cosBsinA?sinC,则△ABC的形状一定是――――( ) ?cosA,cos

A、等腰直角三角形; B、直角三角形; C、等腰三角形; D、等边三角形.

29、sinx?cosx,sinx?cosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本

关系式,但是它们在求值过程中经常会用到,要能熟练地掌握它们之间的关系式:(sinx?cosx)2?1?2sinxcosx.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.

[举例1]关于x的方程sin2x?a(sinx?cosx)?2?0有实数根,求实数a的取值范围.

1[举例2]已知??(0,?),且sin??cos???,则tg??_____. 5

篇三:高三数学知识点总结

高中数学知识点总结

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A??x|y?lgx?,B??y|y?lgx?,C??(x,y)|y?lgx?,A、B、C 中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 如:集合A??x|x2?2x?3?0?,B??x|ax?1? 若B?A,则实数a的值构成的集合为

??

1??) 3?

(答:??1,0, 3. 注意下列性质:

(1)集合?a1,a2,??,an?的所有子集的个数是2n; (2)若A?B?A?B?A,A?B?B; (3)德摩根定律:

CU?A?B???CUA???CUB?,CU?A?B???CUA???CUB?

ax?5x?a

2

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式的取值范围。

(∵3?M,∴

a·3?53?aa·5?55?a

22

?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a

?0

5??

?a?1,???9,25?) ?3???0

∵5?M,∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和

“非”(?).

若p?q为真,当且仅当p、q均为真

若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真 若?p为真,当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?

(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 例:函数y?

x?4?x?lg?x?3?

2

的定义域是

(答:?0,2???2,3???3,4?)10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f(x)的定义域是?a,b?,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。 (答:?a,?a?)

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 如:f 令t?

?

x?1?e?x,求f(x). x?1,则t?0

2

?

x

∴x?t?1 ∴f(t)?et ∴f(x)?e

2

?1

?t?1 ?x?1?x?0?

2

2

x?1

2

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗?

(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

??1?x

如:求函数f(x)??2

???x

?x?0??x?0??x?0?

的反函数

(答:f

?1

??x?1

(x)??

????x

?x?1?

13. 反函数的性质有哪些?

①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f?1(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a,ff?1(b)?f(a)?b14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

(y?f(u),u??(x),则y?f??(x)?(外层)(内层)

??

当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数,否则f??(x)?为减函数。) 如:求y?log1??x?2x?的单调区间

2

2

(设u??x2?2x,由u?0则0?x?2 且log1u?,u???x?1??1,如图:

2

2

2

当x?(0,1]时,u?,又log1u?,∴y? 当x?[1,2)时,u?,又log1u?,∴y?

2

∴??)

15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b?内,若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?

如:已知a?0,函数f(x)?x?ax在?1,???上是单调增函数,则a的最大

3

值是( ) A. 0

B. 1

2

C. 2D. 3 a?

??0 3?

?

(令f'(x)?3x?a?3?x?

?a????x?3??

则x??

a3

或x?

a3

由已知f(x)在[1,??)上为增函数,则 ∴a的最大值为3)

a3

?1,即a?3

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论:

(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。

a·2?a?2

2?1

xx

如:若f(x)?为奇函数,则实数a?

(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0

a·2?a?2

2?1

00

即?0,∴a?1)

又如:f(x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?求f(x)在??1,1?上的解析式。

2

x

x

4?1

(令x???1,0?,则?x??0,1?,f(?x)?

24

?x?x

24

xx?x

?x

?1

又f(x)为奇函数,∴f(x)??

?1

??

2

1?4

x

?2??x

?4?1

又f(0)?0,∴f(x)??

x

?2x??4?1

x?(?1,0)x?0x??0,1?

17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T?0),在定义域内总有f?x?T??f(x),则f(x)为周期

函数,T是一个周期。)

如:若f?x?a???f(x),则

(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期) 又如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b??? 即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数,2a?b为一个周期 如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗? f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称 y?f(x?a)左移a(a?0)个单位?? 将y?f(x)图象????????

y?f(x?a)右移a(a?0)个单位y?f(x?a)?b上移b(b?0)个单位

?? ????????

y?f(x?a)?b下移b(b?0)个单位

注意如下“翻折”变换:

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