广东省湛江一中2014-2015学年高二（下）期中考试（文）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.请把答案填写在答题卷中）. 1．（5分）a=0是复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（ ）条件． A． 充分 B． 必要 C． 充要 D． 非充分非必要 考点： 复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数?解答： 解：复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数?
，即可判断出．
，
因此a=0是复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件． 故选：B．
点评： 本题考查了复数为纯虚数的充要条件，属于基础题．
2．（5分）设复数z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，则z1﹣z2在复平面内对应的点位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数代数形式的加减运算；复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： 先求两个复数的差的运算，要复数的实部和虚部分别相减，得到差对应的复数，写出点的坐标，看出所在的位置．
解答： 解：∵复数z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i， ∴z1﹣z2=（3﹣4i）﹣（﹣2+3i） =5﹣7i．
∴复数z1﹣z2在复平面内对应的点的坐标是（5，﹣7） ∴复数对应的点在第四象限 故选D．
点评： 考查复数的运算和几何意义，解题的关键是写出对应的点的坐标，有点的坐标以后，点的位置就显而易见．
3．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A． 模型1的相关指数R为0.96 B． 模型2的相关指数R为0.86 C． 模型3的相关指数R为0.73 D． 模型4的相关指数R为0.66
1
2
2
2
2
2
考点： 回归分析． 专题： 阅读型．
分析： R越接近1，拟合效果越好，由此可作出判断．
解答： 解：由相关指数R的意义可知，R越接近1，拟合效果越好， 综合选项可知：模型1的相关指数R为0.96为最大，故拟合效果最好 故选A
点评： 本题查看相关指数的意义，属基础题．
4．（5分）设0＜θ＜ A． 2cos
考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 规律型．
分析： 利用排除法分别进行验证排除即可得到结论． 解答： 解：当n=1时，A选项2cos当n=2时，C选项2cosa2=故选：B．
点评： 本题主要考查数列的通项公式的求解，利用已知条件进行排除即可，比较基础．
5．（5分）（2014?民乐县校级三模）下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤
2
2
2
2
2
，已知a1=2cosθ，an+1=
C． 2cos
（n∈N），猜想an等于（ ） D． 2sin
*
B． 2cos
=2cos，∴排除A．
=2cos=
，∴排除C．
，此时D选项2sin
=
，∴排除D．
考点： 归纳推理；演绎推理的意义． 专题： 阅读型．
分析： 本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答： 解：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 故选D
点评： 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
6．（5分）在线性回归模型中，下列叙述正确的是（ ）
A． 比较两个模型的拟合效果，可以通过比较它们的残差平方和的大小来确定，残差平方和越大的模型，拟合效果越好
B． 在残差图中，残差点所在的带状区域的宽度越窄，拟合效果越好 C． 在残差图中，残差点所在的带状区域的宽度越宽，拟合效果越好 D． 通过回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 概率与统计．
分析： 利用由残差平方和、残差点所在的带状区域的意义以及利用回归方程进行预报的特点逐一分析四个答案的正误，可得结论．
解答： 解：比较两个模型的拟合效果，可以通过比较它们的残差平方和的大小来确定，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故A错误；
在残差图中，残差点所在的带状区域的宽度越窄，拟合效果越好，故B正确；C错误； 通过回归方程得到的预报值就是预报变量的估计值，故C错误； 故选：B
3
点评： 本题以命题的真假判断为载体考查了残差平方和、残差点所在的带状区域的意义以及利用回归方程，难度不大，属于基础题．
7．（5分） “因为对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数（大前提），而y=log数函数（小前提），所以y=log（ ）
A． 大前提错误导致结论错 B． 小前提错误导致结论错 C． 推理形式错误导致结论错
D． 大前提和小前提错误都导致结论错
考点： 进行简单的合情推理． 专题： 规律型．
分析： 当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故可得结论．
解答： 解：当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，
故推理的大前提是错误的 故选A．
点评： 本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．
8．（5分）由平面内性质类比出空间几何的下列命题，你认为正确的是（ ） A． 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B． 同垂直于一条直线的两条直线互相平行 C． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
考点： 类比推理．
专题： 空间位置关系与距离．
4
x是对
x在（0，+∞）上是增函数（结论）”，上面推理错误的是
分析： 根据课本定理即可判断．
解答： 解：A．空间中过直线上一点有无数条直线与已知直线垂直，故不正确； B．空间中同垂直于一条直线的两条直线不一定互相平行，故不正确；
C．与平面中一样，空间中过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确； D．在空间中两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，故不正确； 故选：C．
点评： 本题考查空间中直线与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于基础题．
9．（5分）圆ρ= A． （1，
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．
分析： 先在极坐标方程ρ=
（cosθ+sinθ）的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间
2
2
2
（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（ ） ） B． （，
） C． （
，
） D． （2，
）
的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换化成直角坐标方程求解即得． 解答： 解：将方程ρ=
2
（cosθ+sinθ）两边都乘以ρ得：ρ=
2
2
pcosθ+，
）．
ρsinθ，
化成直角坐标方程为x+y﹣化成极坐标为（1，故选C．
）．
x﹣y=0．圆心的坐标为（
点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
10．（5分）点P（1，0）到曲线 A． 0
考点： 两点间距离公式的应用．
分析： 直接求距离的表达式，然后求最值．
5
（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）
C．
D． 2
B． 1
解答： 解：点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的距离：
∵t+1≥1 故选B．
点评： 本题考查两点间的距离公式，以及参数方程的理解，是基础题．
二、填空题（每小题5分，共20分） 11．（5分）设复数
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件． 专题： 计算题．
分析： 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，根据复数相等的充要条件写出a，b的值． 解答： 解：∵复数∴
∴a=0，b=﹣1， 则a+b的值是﹣1 故答案为：﹣1．
点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件，本题解题的关键是把复数整理成代数形式的标准形式．
12．（5分）柱坐标（2，
考点： 柱坐标系与球坐标系． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 利用柱坐标与直角坐标的关系即可得出．
，1）对应的点的直角坐标是 ．
=a+bi
=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值是 ﹣1 ．
2
6
解答： 解：柱坐标（2，即故答案为：
．
，1）对应的点的直角坐标是，
．
点评： 本题考查了柱坐标与直角坐标的关系，属于基础题．
13．（5分）（2014?陕西模拟）已知直线的极坐标方程为该直线的距离是
考点： 简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先将原极坐标方程
中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化
．
，则极点到
成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得． 解答： 解：将原极坐标方程ρsinθ+ρcosθ=1，
化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0， 则极点到该直线的距离是故填；
．
=
．
，化为：
点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（参数t∈R），圆C
2
2
2
的参数方程为心到直线l的距离为
，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为 （0，2） ，圆 ．
考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题： 计算题．
7
分析： 先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sinθ+cosθ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可．
解答： 解：直线l的参数方程为∴直线的普通方程为x+y﹣6=0 圆C的参数方程为
2
22
（参数t∈R），
（参数θ∈[0，2π]），
2
∴圆C的普通方程为x+（y﹣2）=4 ∴圆C的圆心为（0，2），d=故答案为：（0，2），
点评： 本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法．本题出现最多的问题应该是计算上的问题，平时要强化基本功的练习，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（12分）用综合法或分析法证明： （1）如果a＞0，b＞0，则（2）求证：
考点： 综合法与分析法(选修）． 专题： 证明题．
分析： （1）利用基本不等式可得而有
．
，再由y=lgx在（0，+∞）上增函数，从
．
；
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．
解答： （1）证明：∵a＞0，b＞0，∴（当且仅当a=b时，取“=”号） 即：又 y=lgx在（0，+∞）上增函数，…（5分）
． …（3分） ． …（4分）
8
所以，
（2）证明：要证只需证只需证：
=
，
，…（9分）
，故成立．…（7分）
，只需证：42＞40．…（12分）
．…（14分）
因为42＞40显然成立，所以
点评： 本题主要考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，用分析法证明不等式，属于中档题．
16．（12分）（2014春?福清市校级期中）已知复数（1）求复数z的实部和虚部；
（2）若z+az+b=1﹣i，求实数a，b的值．
考点： 复数相等的充要条件；复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： （1）由复数的运算法则，把复数够得到复数z的实部和虚部．
（2）把z=1+i代入z+az+b=1﹣i，得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i，由复数相等的充要条件，能够求出实数a，b的值． 解答： 解：（1）∵
∴复数z的实部为1，虚部为1． （2）由（1）知z=1+i， 代入z+az+b=1﹣i， 得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i， ∴
，
2
2
2
．
等价转化为z=1+i，能
，…（7分）
所以实数a，b的值分别为﹣3，4．…（14分）
9
点评： 本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
17．（14分）（2013?锦州二模）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后， 得到如下的列联表： 甲班 乙班 合计 优秀 10 非优秀 30 总计 105 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为 （Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （Ⅲ）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．
考点： 独立性检验的应用；等可能事件的概率． 专题： 计算题；图表型．
分析： （Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值． （Ⅱ）我们可以根据列联表中的数据，代入公式计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案
（Ⅲ）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解． 解答： 解：（Ⅰ）
优秀 非优秀 总计
10
，
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