71?(?)9?1 ………………………4分 29 又∴cos?=?(2)
∵
???(,?)
21 ………………………6分 3由
(Ⅰ)
知
：
sin?=1?cos2??1?(?)2?22 …………………………8分 3?3???由??(0,)、??(,?)得（???）?（,）
2222???cos（
13）
=-1?sin(???)??1?()??7242 …………………………10分
99sin?=sin(???-?)=sin(???)cos?-cos(???)sin?
7142)(? =×-×(?)939222 3=
1 …………………………14分 316． 证明：⑴在?APC中，因为E,F分别是PA,AC的中点，
所
以
EF∥PC ………………………………3分
又PC?平面PAC，EF?平面PAC，
所以EF∥平面
PBC； ………………………………6分 ⑵ 因为AB?PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE； ………………………………9分
又PA?PC，EF∥PC，所以
PA?EF， ………………………………12分
因为BE?平面BEF，EF?平面BEF，BE?EF?E，PA?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面
BEF. ………………………………14分
π2π
17． 解：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.
33
CDAD
由正弦定理知＝＝π2πsinsin?－α?3?3?
10
， …………………………2分 sin α
53即CD＝， AD＝
sin α
10sin?2π?3－α??
sin α
， …………………………4分
所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a 603－40sin?2π?3－α?
＝[?sin α]a＋80a ＝[2033－cos αsin α
]a＋
60a??????2???33?? ………7分 (2) S′＝203
1－3cos 2α
sinα
·a，
令S′＝0得cos α＝
1
3
…………………………9分 当cos α>13时，S′<0； 当cos α<1
3时，S′>0，
所以当cos α＝1
3
时，S取得最小
值， …………………………12分
此时sin α＝2253cos α＋5sin α3，AD＝56sin α＝5＋4，
所以中转点C距A处20＋56
4
km时，运输成本S最
小． …………………………14分 18．解：（1）
e?ca?12，且过点P(1,32)， ?19?a2?4b2?1,???a?2c, 解得??a?2,?? ?a2?b2?c2,?椭圆方程为
?b?3,??x24?y23?1. …………………………4 分 （2）设点M(4,y1),N(4,y2) 则
F1M?(5,y1),F2N?(3,y2),F1M?F2N?15?y1y2?0， ………6分
?y15151y2??15， 又MN?y2?y1?－y?y1?+y1≥215，1y1 ?MN的最小值为
215． …………………………10分 （3）圆心C的坐标为(4,y1?y22)，半径r?y2?y12. 圆
C的方程为
y1?y22(y2?y1)2(x?4)?(y?)?，…… ……………………12分
242整理得：x2?y2?8x?(y1?y2)y?16?y1y2?0.
y1y2??15，?x2?y2?8x?(y1?y2)y?1?0
令
y?0，得
x2?8x??10，?x?4?15. ?圆C过定点
(4?15,0). ……………16分
19． 解：（1）由题意，2an?1?an?n, a1?分
同
理
13, 2a2?a1?1, a2?. ………224a3?1135,a4?, …………………………………3分 816 （2）因为2an?1?an?n,
所
以
bn?1?an?2?an?1?1?
an?1?n?1n?an?1?1?an?1?1?, …………… 5分
22b1bn?an?1?an?1?an?1?(2an?1?n)?1?n?an?1?1?2bn?1, n?1? ………… 7分
bn2又b1?a2?a1?1??9分
133，所以数列?bn?是以?为首项，为公比的等比数列. ………
24431??(1?n)3112?3?(1)n?1?3. （3）由（2）得，bn???()n?1??3?()n?1,Tn?41422221?21n?11n 又an?1?n?1?bn?n?1?3?(),所以an?n?2?3?(),
2211?(1?n)n(n?1)n2?3n322 所以Sn??2n?3???3?n. ……………………
12221?213分
由题意，记cn?Sn??Tn.要使数列{cn}为等差数列,只要cn?1?cn为常数. nn2?3n3131(?3?n)??[3?()n?1?]1?nS??Tn222?n?3?(3?3?)?22. cn?n?nn22n cn?1?n?432n?1, ?(3??)?22n?11?1 则cn?cn?115分
111?n1?n?1132). …………………… ??(3??)?(2?22nn?1S??Tn1为常数,即数列{n}为等差数列. …………………… 2n故当??2时,cn?cn?1?16分
(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?11a(x?1)?a(x?1)20．解: （1）f?(x)??………… 2??.222x(x?1)x(x?1)x(x?1)
分
由题意知f'(2)?0，代入得a?从而切线斜率切
9，经检验，符合题意。 41k?f'(1)??，切点为?1,0?，
8线
方
程
为
x?8y?1?0 …………………………………………4分
x2?(2?2a)x?1（2）f?(x)?.
x(x?1)2
因为f(x在)(??0,上为单调增函数，所以f?(x)?0在(0,??)上恒成立. ………6分
即x2?(2?2a)x?1?0在(0,??)上恒成立.1当x?(0,??)时,由x2?(2?2a)x?1?0,得2a?2?x?.x111设g(x)?x?,x?(0,??).g(x)?x??2x??2.xxx1所以当且仅当x?,即x?1时,g(x)有最小值2.x所以2a?2?2.所以a?2.
所
以
范
围
是
a的取值(??,2]. …………………………10分
mm?1?1m?nm?nnn（3）要证，只需证， ??lnm?lnn2m2lnn即证
m2?(ml?nnmn?1n1只.)需
证
m?1)mnln??0.mn?1n2( …………………………12分
16分
…………………………
2018届高三学情调研数学试卷
．．．．．．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在卷纸相应位置上． 1．设集合A??2,3?,B??1,2?,则A
B? ▲ ．
2．已知复数z1?1?3i，z2?3?i(i为虚数单位)．在复平面内，z1?z2对应的点在第 ▲ 象限．
3．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 ▲ ．
5．已知点F为抛物线y?4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为 ▲ ．
开始
6．若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，
若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数m的值为 ▲ ．
7．已知等比数列?an?的公比q?2,且2a4,a6,48成等差数列, 则 ?an?的前8项和为 ▲ ．
8．按右面的程序框图运行后,输出的S应为 ▲ ．
3
，则3
2S=0,i=1 T=3i－1 S=S+T i= i+1 i>5? 是 输出S 结束 否 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝
△ABC的面积为 ▲ ．
10．已知直线l?平面?，直线m?平面?，给出下列命题： ①若?//?，则l?m； ②若???，则l//m； ③若l//m，则???； ④若l?m，则?//?. 其中正确命题的序号是 ▲ ．
?lnx+ ex－3，x≥1
11．已知函数f(x)=?2有且仅有2个零点，则a的范围是 ▲ ．
?x＋ax+2，x＜1
12．已知对满足x?y?4?2xy的任意正实数x,y，都有x2?2xy?y2?ax?ay?1?0，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
科网ZXXK]
PB
13．P为圆C:( x－1)2+y2=5上任意一点，异于点A(2,3)的定点B满足为常数，则点B的坐
PA标为 ▲ ．
??14．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，BA·BC＝12，当角A最大时，△ABC面积为 ▲ ．
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知??(0,??77),??(,?),cos2???,sin(???)?. 2299 (1) 求cos?的值；
(2) 求sin?的值.
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PC，AB?PB，E,F分别是PA，AC的中点． 求证：（1）EF∥平面PBC；
（2）平面BEF⊥平面PAB．
F
A B
C
E
P
17．（本小题满分14分）
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．（其中a是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； (2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？
18． (本小题满分16分)
x2y231如图，椭圆2?2?1(a?b?0)过点P(1,)，其左、右焦点分别为F1,F2，离心率e?，
ab22M,N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M?F2N?0．
M （1）求椭圆的方程； （2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．
F1 y O F2 x N （第18题）
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}中,a1?1,点(n,2an?1?an)(n?N*)在直线y?x上, 2 （1）计算a2,a3,a4的值;
（2）令bn?an?1?an?1,求证:数列{bn}是等比数列；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数?，使得数列
{
Sn??Tn}为等差数列？若存在，试求出?的值；若不存在，请说明理由. n20．（本小题满分16分） 已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，a?R． x?1(1)若x?2是函数f(x)的极值点，求曲线y?f(x)在点?1,f(1)?处的切线方程； (2)若函数f(x)在(0,??)上为单调增函数，求a的取值范围； (3)设m,n为正实数，且m?n，求证：
m?nm?n?．
lnm?lnn2
高三数学试卷答案 2017.8
一、填空题
1423
1．{1，2，3} 2．二 3．150 4． 5． 6． 7． 255
4388．40 9．33
13．(，).
22
解：设P(x,y), ( x－1)2+y2=5,x2+y2=4+2x
22222222
PB2(x－m)+(y－n)x+y－2mx－2ny+m+n(2－2m)x－2ny+m+n+4
B(m,n), 2====定值，
PA (x－2)2+(y－3)2 x2+y2－4x－6y+13－2x－6y+172－2m－2n m2+n2+43333
则==,解得m=2，n=3，或m=，n=，B异于点A，所以B(，).
172222－2－614． 3
????解：过A作AD⊥BC，垂足为D，则BA·BC＝|BA||BC|cosB＝BDBC＝3BD＝12，
所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．
41
－yy33
设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝＝≤，
4441＋2y＋
yy
A
317
10．①③ 11．a＝22或a＜－3 12．（－∞，] 64
B C D
4
且仅当y＝，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．
y
二、解答题 15
．
解
:(1)∵cos
2??1?cos2?2 =
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