4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0 （2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 解：（1）P (X=k)=qk1p －k=1,2,?? （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功} P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 ??n?0,1,2,?,其中 q=1－p， r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p) k=1,2… 2k?1P (X取偶数)= ?P(X?2k)??(0.55)k?1k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ 225?22P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729 （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ 345P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5?0.00856 （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ 01P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C52?(0.1)2?(0.9)3 3?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954 （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951 [五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。 （1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。 以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，? P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} 21 =()n?1?， n=1，2，?? 33（2）Y的可能取值为1，2，3 1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= = 211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} 2!1? 3!3 = (3)P{X?Y}???P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?133?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?2?全概率公式并注意?到 ??P{X?Y|Y?1}?0?? ??? ?P{Y?k}P{X?k}k?23注意到X,Y独立即 P{X?Y|Y?k} ?111?121?8??????27333??333???P{X?k}同上，P{X?Y}? ??P{Y?k}P{X?Y|Y?k} k?133?k?1P{Y?k}P{X?k}?11121419?????? 333932781故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?38 818.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数 由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) 11 = (0.4)3× (0.3)3+ [C3?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] 22?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?[C3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 12?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8? =[C3 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6) 1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3 22123 ?[C3?(0.7)?0.3]?0.243 9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。） 解：（1）P (一次成功)= 2211? 470C83（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(136973。此概率太小，按实)()?707010000际推断原理，就认为他确有区分能力。 [九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率 （3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 （4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率 解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349 21（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.120.98?C100.10.99?0.581 （3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0 ({0 = P {0 12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二： 48?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算） 8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。 = 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算） [十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。 P{X?3}?P{X?4}?0.566530 [十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是 ?1?e?0.4x,x?0FX(x)?? x?0?0求下述概率： （1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6 （3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3 0,x?1,??18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,， ??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0 P(2?X?5555?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln 22241??,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x ??0,其它20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为 ?2?1?x2（1）f(x)????0??1?x?1其它 0?x?1?x?（2）f(x)??2?x1?x?2 ?其他?0求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时： X2211?2F(x)?0dx?1?x2dx??x1?x?arcsinx????1ππ?2?2??1 111?x1?x2?arcsinx?ππ2??1?x当1 ??1??0dx??x21?x2dx?0dx?1 ?1π11??0?111F(x)??x1?x2?arcsinx?ππ2?1? x??1?1?x?1 1?x 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） o1n?100?S???,???，n表小班人数 n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，???，n，???} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为： ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C) （2）A，B都发生，而C不发生。 表示为： ABC或AB－ABC或AB－C 表示为：A+B+C （3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都发生， 表示为：ABC 表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C （5）A，B，C都不发生， （6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二个发生。 相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC 6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*) （1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 315??0? 4888.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记A表“能排成上述单词” 2∵ 从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。 字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴ P(A)?5511 ?2130A269. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9） 记A表“后四个数全不同” ∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。 4后四个数全不同的排法有A10 ∴ 4A10P(A)?4?0.504 1010.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。 ??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2? ??∴ 5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的号码为5的概率。 10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种 4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为A。 9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。 432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10 故 432C10?C4?C3252 P(A)??62431C17【扩】：现有1,2,2,2,3,3,4,4,5,6十个数字，从中选四个， 问其中最大数恰为4的概率？ 解：记所求事件为A。 则 12.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A 322c12.c6?c2c6P(A)= 4c101500?∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。 ?? 400??1100?200个产品恰有90个次品，取法有??90??110?种 ????∴ ?400??1100??90??110????? P(A)??1500??200???（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品” B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法 1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种 ??????∵ A?B0?B1且B0，B1互不相容。 ∴ ??1100??400??1100???1??199????200?????? P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1?????15001500????????200??200????????13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对” 10?∵ 从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。 ??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有 ?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121 P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能 对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列) P(A1)?4?3?26 ?16432?4?3种。 对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C32(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4 种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。 2C3?4?3P(A2)?43?9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此 3个球，选法有4种) P(A3)?41 ?316416.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部 件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作： 把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序） 3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能 3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10 种 3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作 把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序） 3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能 对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29， 327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。这种铆法有A3种 P(A)?32710?A3?A4730A50?1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一： P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有 P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理， P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25 P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)? 故 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定义???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5 18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。 解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为 S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。 A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能 A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则 P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)216??? 故P(A|B)?P(B)1636 20.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18. 21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。 （1）二只都是正品（记为事件A） 法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。 C8228P(A)?2??0.62 C1045法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。 2A82A10P(A)? ?28 45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。 P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（记为事件B） 8728 ??10945法一： P(B)?2C22C10?1 45 2A22A10法二： P(B)??1 45法三： P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211 ??10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C） 法一： P(C)?11C8?C22C10?16 45法二： P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45法三： P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ???10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D） 法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作， 法二： P(D)?11A9?A22A10?1 5法三： P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 ??H?A1?A1A2?A1A2A3 三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。 P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B) ?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313?????? 554543524.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)） 记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ ∴ B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = nN?1mN ???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。 C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”， D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 112C525C4?C47C5653?2???? ?2? 21199C911C911C926.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有 1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000 [二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次 P及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少 2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。 解：Ai={他第i次及格}，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P 2（1）B={至少有一次及格} }?A1A2 所以B?{两次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222 定义P(A1A2)（2）P(A1A2) P(A2) （*） 由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?P?P?(1?P)? P2P2P??22 将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 乘地铁到 0.10 家的概率 乘汽车到 0.30 家的概率 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。 解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有 0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923 110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一 只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。 解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ 1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解） 2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857 2P(B1)5 （先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。 记Ai表第i个接点接通 记A表从L到R是构成通路的。 ∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥 ∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5) + P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5) 又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4] L 1 3 4 5 2 R +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5 [二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2， P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。 记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4， 2 1 4 3 A表示系统正常。 ∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥 (加法公式) ∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) = P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立) 34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？ 解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有 m1rn()??1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? （条件概率定义与乘法公式） 35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。 解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机 ∵ H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三种情况互斥 H3?B2B2B3 又 B1，B2，B2独立。 ∴ P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3) ?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3) ?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥 故由全概率公式，有 P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地） ∵ B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥 由全概率公式，有 ∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624 P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8?(0.98)3P(A1|B)????0.8731P(B)P(B)0.8624 P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)3P(A2|B)????0.1268 P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05?(0.1)3P(A3|B)????0.0001P(B)P(B)0.862437.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。） 解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α， P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)= 1?α 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得 P(D)??P(B)P(D|B)iii?13 ?p1a2(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = P(B1)P(D|B1) P(D) = 2αP1 2αP1?(1?α)(P2?P3)[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。 解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。 （1）记C={至少有一只蓝球} C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得 P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B) 1112132131?32333422225??????????79797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥 P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(D)16??P(C)P(C)35 （3）P(D|C)?(注意到CD?D) [三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，221C的电话的概率分别为,。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概,555111率分别为,，设三人的行动相互独立，求 244（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。 解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?21,P(C3)? 5511,P(D2)?P(D3)? 24（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = 1111 ???24432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式 P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与???? ?P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和来电话无关??故P(D|C)?P(D)??21231313kkk?????????52545420（3）H为“这3个电话打给同一个人” P(H)?22222211117 ?????????555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人” R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为 2214 ???555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在 1的概率为，且各次情况相互独立 411于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=()3? 464 第二章 随机变量及其分布 1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律 解：X可以取值3，4，5，分布律为 21?C23C5P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)??11021?C33C5 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610 P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X： 3， 4，5 P： 21?C43C5136 ,,1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。 P(X?0)?3C133C15?22 3512? 351 35O 1 2 x P P(X?1)?12C2?C133C1521C2?C133C15P(X?2)?再列为下表 ?X： 0， 1， 2 P： 22121 ,,353535 解：（2）F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt 当x?0时,F(x)??x??0dt?0x2当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02?0?x当1?x?2时,F(x)?当2?x时,F(x)?故分布函数为 ?0??0dt??10tdt??x1(2?t)dt?2x?x?122 ?0??0dt??10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1?0?x2??F(x)??22?2x?x?12??1?x?00?x?1 1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： ?1000?f(x)??x2??0x?1000其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为 P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000?1000(?1)1500?dx?1???x1000??x2 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，321??11P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()5?C5?()?()4?33??3 1?5?211232?1??1??2432433523.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为： x?1?5?FX(x)??5e,x?0 ??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。 解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 ???1???5P(X?10)?fX(x)dx?edx??e510?e?2 10510?5?因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5 ?k?15P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?1?(1?)?1?(1?0.1353363)57.389?1?0.86775?1?0.4833?0.5167.????xx 24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率 1?? ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??00?K?5其他 要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴ ??25P(K?2)??f(x)dx??1dx?25???50dx?3 5 25.[二十三] 设X～N（3.22） （1）求P (2 β?μ??α?μ? ∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α ∴ 10?3???4?3?=φ(3.5)－φ(－3.5) P (－4 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) ?2?3???2?3?? =1???????????2????2?? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 ?3?3?P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??=1－0.5=0.5 2??（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又 P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )= 1=0.5 2C?3?C?3P (X≤C )=φ??0 ∴ C =3 ???0.5,查表可得22??226.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求 （1）P (X≤105)，P (100 105?110解:(1)P(X?105)??()??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 12120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)121266 5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小的X?129.74.12 27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？ 设螺栓长度为X P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12) =1－P (10.05－0.12 ??(10.05?0.12)?10.05??(10.05?0.12)?10.05?? =1－????????? 0.060.06?????? =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？ 200?160??120?160????40?????40??0.80 ∵ P (120＜X≤200)=????????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) 40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ???40??40??0.9 解出????便得:????σ??σ? 再查表，得 4040?1.281σ??31.25 σ1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2， P： －1， 0， 1， 3 1， 5111， ， ， 6515 (－1)2 (0)2 11 30(1)2 (3)2 求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 P： 1 5111 6515 4 9 11 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 P： 1 1111 ?6155511 3031.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度 ∵ X的分布密度为：f(x)???10?x?1?0x为其他 Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在 且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 ??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e ?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1?1y1?y?e ??0y为其他（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 Y又 X?h(Y)?e?2 反函数存在。 且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞ ?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1??1?yy22e?12e?2??032.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 x2∵ X的概率密度是f(x)?1?22πe,???x??? Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： ?ψ(y)??f[h(y)]?|h'(y)|?1?(lny)22πe2?1?y0?y??? ??0y为其他0?y???y为其他 （2）求Y=2X2+1的概率密度。 在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) ? =P????当y<1时：FY ( y)=0 y?1?X?2y?12?? ???当y≥1时：Fy(y)?P????故Y的分布密度ψ( y)是： y?1?X?2y?1???2???y?12?y?12?1e2πx22dx 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????y?12y?1212?ex2?2??dx? ???1e = 2π(y?1)y?14 （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0 当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为： 当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?y?y1e2π?x22dx ?y2x2?y1???2当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?e2dx??e2 ??y2π?π??33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ?∵ 又 且 Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在， α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ 13 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f1(y321?)?y3,???y???,但y?0 3?(0)?0 （2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。 ?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=x2是非单调函数 当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?2 x?0x?0 y=x2 y y O ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y y x ?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0 法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y) ?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0 ?1e??∴ Y～ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0. 34.[三十一] 设X的概率密度为 ?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0 当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =当1 ?arcsiny02xdx?2π?2xdx π?arcsinyπ2π?0 ?arcsiny02xdx?π2 ??2x?dx? π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0 36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃) 5的概率密度。[已知θ?(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t??? 又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 9(θ?32?98.6)2?54eψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π29e10π??9 5 ?81(θ?37)2100,???θ??? 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2） 2?5??333?5?2?5160160?5?~N??98.6?,???2??N?,???2? 故 θ?T?999?9??????9??9?9?? 故θ的概率密度为： ?333?????9???22?(?)? 1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,??????? 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ,??0,若第一次取出的是正品X?? ??1,若第一次取出的是次品?,??0,若第二次取出的是正品Y?? ??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )= 或写成 X Y 0 101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221 ??1212360 1 25 365 36 1 （2）不放回抽样的情况 5 361 36P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }= 或写成 X Y 0 1 0 10945 ??12116610210 ??12116621010 ??121166211 ??1211661 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 3 3512 353 352 352 350 6 356 351 35解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 22C2C24C7?1 356 35P {X=1, Y=1 }= 112C3C2C24C7? 121C3C2C24C722C3C24C7P {X=1, Y=2 }=?6 35P {X=2, Y=0 }=?3 3512 35P {X=2, Y=1 }= 211C3C2C24C722C3C24C731C3C24C731C3C24C7?P {X=2, Y=2 }=?3 352 352 35P {X=3, Y=0 }=?P {X=3, Y=1 }=?P {X=3, Y=2 }=0 ??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)?? ?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5} （2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4} 分析：利用P {(X, Y)∈G}= ??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中 GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)? 2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)??dx?0213128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127 (6?x?y)dy?2832412(6?x?y)dy? 00836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y ?dx?4?x （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题） X Y 0 1 2 1 0 25536 36 o 1 5136 36 边缘分布律为 X 0 1 Y 0 Pi2 5 166 P2j 56 ② 不放回抽样（第1题） X Y 0 1 0 451066 66 1 10166 66 边缘分布为 X 0 1 Y 0 Pi2 5 166 P2j 56 （2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 1 2 3 0 0 338 8 0 3 10 0 18 8 解： X的边缘分布律 Y的边缘分布律 X 0 1 2 3 Y 1 3 Pi2 1 3 3 1 6 28888 P2j 88 7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为 x+y=4 x 1 16 1 16 ??4.8y(2?x)f(x,y)????0解：fX(x)?0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度. ??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它 fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?08.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?y??e,0?x?y求边缘概率密度。 f(x,y)????0,其它.??y x=y 解:fX(x)???????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)????????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye?y,y?0,0,y?0,o x 22?cxy,x?y?1?9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l= ??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?Y~fY(y)????y4dydx?2y?0?0?y?1 其它o y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} = 25 36 P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}= 在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况： P {X=0, Y=0 } =P {X=0}= 5 365 361 3610945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }= 1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} P {X=0}2P {Y=0} = ∴ X和Y不独立 16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y ?1y?e2,y?0的概率密度为fY(y)??2 ?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。 ??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)?? ??0,其它Y的概率密度为 y y=x2 D o 1 x ?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立， ?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为 y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0 其它 （2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0 即：Y?X2 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x} 22P(Y?X2)???f(x,y)dxdy??dx?D01x201edy???dx?de002?1x2y2?y2?1??e01?x22dx ?1?2??12??1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.14450?0e?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5) 19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 ?t??te,f(t)????0t?0t?0 并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为 ?t??te,f(t)????0t?0t?0 Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知： ?xe?xye?yf(x,y)??0?∵ z≥0 x?0,y?0其它 ∴ 当z<0时，fz (z) = 0 当z>0时，由和的概率公式知 ????zfz(z)??fx(z?y)fy(y)dy z3?z?(z?y)?y??(z?y)e?yedy?e06 ?4?P (X=3)=?0.26393×0.7361=0.0541, P (X=4)= ?3??× ??E (X)=np=4×0.2639=1.0556 ?4??0.2639×0.73610=0.0049.从而 ?4??×??3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。 ∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥） ∴ 13?3?1?37?1? P(X?1)?3??????3????????4?4?4?4?64?4?223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒” ∴ 12?2?1?19?1? P(X?2)?3??????3????????4?4?44464????11?1?1?7?1? P(X?3)?3??????3????????4?4?4?4?64?4?1?1 P(X?4)?????464??3223223同理： 故 E(X)?1?37197125 ?2??3??4??64646464165.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为 1?0?x?1500?(1500)2x,???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)? ?????xf(x)dx ??15000x?xdx?2(1500)?30001500x?(3000?x)(1500)2dx1x315001? ?(1500)230(1500)2?1500(分)6.[六] 设随机变量X的分布为 求 E (X)， E (3X2+5) 解： X Pk －2 0.4 ?x3?30002?1500x?3?1500 ??0 0.3 2 0.3 E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4 7.[七] 设随机变量X的概率密度为 ?e?x,x?0f(x)?? 0,x?0?求（1）Y=2X 解：（1）E(y)?（2）Y=e ??－2x 的数学期望。 ?????2xf(x)dx??02xe?xdx ??2xe?x?2e?x?????0??2 ???0 （2）E(Y)????e?2xf(x)dx?e?2xe?xex ??1?3x?1e? 3038.[八] 设（X，Y）的分布律为 X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 (1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。 解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为 X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 0.4 －1 2 0.1 0 0.1 0.2 3 0 0.3 0.1 0.4 0.3 0.4 0.3 1 0 E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4 =0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0. 1/3 1/2 1 （2） Z=Y/X －1/2 －1/3 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3） 0 1 4 9 16 Z (X－Y)2 (1-1)2 (1- 0)2或(2-1)2 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 (3- 0)2或(2-(-1))2 (3-(-1))2 pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0 E (Z )=030.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5 10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为 ?1?1x?e4,x?0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一f(x)??4??0,x?0台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。 1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则 ?14?1?1xe4dx0??e?x41?1?0e?14 )?e?14.设Y表示出售一台设备的净赢利 ?(?300?100)??200,(X?1)Y?f(X)?? 100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e ?300e?14?100e?14 ?200?33.64 11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。 解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为 1??,x?(a,b) f(x)??b?a?0,其它.?用Y表示圆盘的面积，则Y?1πX2,从而 4E(Y)? ???1??ππxf(x)dx?442?ba(b3?a3)π1π2xdx???(a2?ab?b2).b?a4(b?a)31212.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为 ?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)?? 0,x?0?2求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2) 解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx ??11311 =??xe?2x?e?2x????xe?4x?e?4x???? ???24??0???024422 （2）E(2X1?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?1?32??0x2?4e?4xdx ?x135 =1?3??x2e?4x?e?4x?e?4x??1?? ??2888??0 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?111?? 24813.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X ) ?1第i号盒装第i号球解：引进随机变量Xi?? 0第i号盒装非i号球? i=1, 2, ? n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为 ?Xi?1ni Xi: P: 1 0 1n n?1 nE(Xi)1 nni=1, 2 ?? n ∴ i=1, 2 ?? n E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?n?i?1i?1n1?1n14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。 （1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1） X P 1 2 3 ??n ??1 nn?11 ?nn?1n?1n?21 ??nn?1n?21 n1111?2???nn?1 ?2????n???nnnn2（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。 E(X)?1??i第i次试开能开门设 Xi?? i=1, 2 ?? n 0第i次试开不能开门?则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?Xi?1ni 0 ∵ n?1n?211???? nn?1n?innnn?1 n1 ni=1, 2??n E (Xi)=i?∴ E(X)?i12nn?1??????? ?E(X)??nnnn2ii?1i?115. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1 X?E(X)D(X) 百度搜索“yundocx”或“云文档网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，云文档网，提供经典综合文库概率论与数理统计答案(浙江大学)1在线全文阅读。
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