高中数学教师基本功大赛(笔试)

《数学教师基本功大赛》笔试试题

一、单项选择题（每题5分，共60分）

1、《高中数学新课程标准》的三维目标要求包括三个方面，其中正确的是（ ） A.观察与发现，数学思想方法，情感、态度与价值观 B.过程与方法，抽象与概括，知识与技能

C. 过程与方法，知识与技能，情感、态度与价值观 D.观察与发现，抽象与概括，数学思想方法 2、不属于课程具体目标的一项是（ ） A. 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心；

B. 提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解等基本能力； C. 发展数学应用意识和创新意识

D. 使学生了解数学在高中学习中的地位和不可替代性

m?????????????o3、正三角形ABC内一点M满足CM?mCA?nCB，?MCA?45，则n的值为（ ）

3?13?1A.

3?1

8 B.

3?1

2 C.

782 D.

2

4、 2(1x?12)?a0?a1x?a2x???a7x?a8x,其中 a，k(k=0，1，2，…，

7，8)都是常数，则a1?2a2?3a3?????7a7?8a8的值为 （ ） A.4

B.3

2

2 C.2 D. 1

225、如图所示，向圆x?y所投的点落在圆、

1y?2内随机投一点（该点落在圆x?y2?2内任何一点是等可能的），则

轴及曲线y?x1（x?0）围成的图形S内部的概率是 1 y?x2A.

4?16?1 B.12?C.

8 D.8?112?y

S x O 2 6、设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A B C D 7、若点O和点F(?2,0)分别是双曲线

xa22?y?1(a>0)的中心和左焦点,点

2P为

????????双曲线右支上的任意一点,则OP?FP的取值范围为 ( )

A．[3-23,??) B．[3?23,??) C．[-,??) D．[,??)

44778、 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种

9、对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”则当a=1且b2=1且c2=b时，b+c+d=( )

A.1 B.-1 C. 0 D. i

10、记实数x1,x2,…xn中的最大数为max{x1,x2,…xn}，最小数为min{x1,x2,…xn}.已知?ABC的三边边长为a、b、c（a?b?c）,定义它的倾斜度为t?max{,,}?min{,,},则“t=1”是“?ABCbcabcaabcabc为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件 C.充要条件

22 B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

11、直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M,N两点，若MN?23，则k的取值范围是

?3?0???4，??3????，???0，?????4?? C.

?33??，??33??2A. B. D.

?2?0???3，??

12、设a?b?c?0，则2a2?1ab?1a(a?b)?10ac?25c的最小值是

（A）2 （B）4 （C） 25 （D）5

二、填空题：（每题5分，共20分）

)13、已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?（0，??）（0，??），恒有f(2x)=2f(x成立；当

x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：

n??）；③存在n?Z，使得f(2+1)=9；④“函①对任意m?Z，有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得(a,b)?(2k,2k?1)。” 其中所有正确结论的序号是 。 14、设函数f(x)?x2?1，对任意x??,???，f??3??2??x?2??4mf(x)?f(x?1)?4f(m)?m?恒成立，则实数

m的取值范围是 .

15、中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a?A，都有a~a；

（2）对称性：对于a，b?A，若a~b，则有b~a；

（3）传递性：对于a，b，c?A，若a~b，b~c，则有a~c．

则称“~”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______

16、如图的茎叶图是7名评委给参加“五四”演讲比赛冠亚军决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，下图是用来统计每位选手成绩（各评委所给有效分数的平均值）的程序框图，其中k表示评委人数，a表示选手的成绩，则①处应填入_________________,获得冠军的是_______.

否 输入x s?s?x a?s15开始 甲 乙 s=0,k=1 8 5 7 9 max=100,min=0 是 ① s1?s?max?min

三、解答题（共70分）

17、（10

(?分）已知a?(?2sinx,?2cosx?1),b?(3cosx,??2cosx?1),f(x)?a?b(x?R),f(x)在点

?12,f(?12))处的切线为l：（1）求直线l的方程；（2）求证直线l与f(x)只有一个公共点；（3）求

?3直线l、曲线f(x)以及直线x?

所围成的区域的面积.

18、（10分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有

312334是

持银卡。

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量?，求?的分布列及

数学期望E?。

19、（要求用两种方法解答，每种解法8分，共16分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一

直角梯，?BAD??90,AD//BC,AB?BC?a，AD?2a,PA?底面ABCD,PD与底面成30°角.

（1）若AE?PD,E为垂足，求证：BE?PD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值； （3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.

20、（12分）如图，已知椭圆

x2a2?y2b2?1(a＞b＞0)的离心率为

22，以该椭圆上的点和椭圆的左、

右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(2?1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2?1； （Ⅲ）是否存在常数?，使得AB?CD??AB·CD恒成立？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由.

21、（12

?cos??x?sin??y?x?,分）定义变换T：?可把平面直角坐标系上的点P(x,y)?sin??x?cos??y?y,?变换到这一平

面上的点P?(x?,y?).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P?与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.

（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C的标准方程. 并求出当??arctan34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得

到的点F1?和F2?的坐标； （2）当??arctan34时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；[来源:学+科+网]

（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

T：??cos??x?sin??y?x?,?sin??x?cos??y?y?,（??k?2，k?Z）下的不动点的存在情况和个数.

（三选一）

22、（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

ABOCD

23、（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

24、（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：a?b?33ab(a?b)。

22

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