考虑随机因素的欧式期权二叉树定价

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考虑随机因素的欧式期权二叉树定价

作者：俞灏

来源：《商情》2014年第29期

【摘要】在新型二叉树参数模型的基础上，引入随机的系数变量，推导欧式期权价格。 【关键词】期权定价；二叉树图定价方法；随机性

期权是一种赋予持有人在某给定时间或该日期之前的任何时间以固定价格购进或售出某项标的资产的权利的合约。1979年Cox、Ross和Rubinstein提出二叉树期权定价（CRR）模型，最初是为Black-Scholes模型提供一种简单的推导方法，但随着研究的深入，二叉树期权定价（CRR）模型不仅成为解释Black-Scholes模型的一种辅助工具，而且也是建立复杂期权定价模型的重要手段。其后，推导出新型二叉树参数模型[3]，以克服二叉树期权定价（CRR）模型的不足。

本文就二叉树模型的系数变量的随机性进行探讨，并在新型二叉树参数模型的基础上，引入随机的系数变量，推导欧式期权价格。为方便，假设市场股票不分红且没有税费、交易成本和边际成本。

一、原有二叉树参数模型的构造

构造二叉树参数模型的基本思路就是让Δt时间间隔内二叉树模型中的均值和方差与股票价格的行为模式中推导出的均值和方差相等，以此建立方程组，进而求出参数p，u，d。二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt，并假设在每一个时间间隔Δt内证券价格只有两种变化：从开始的S上升到原来的u倍，即到达Su；下降到原来的d倍，即Sd。其中，u>1，d

（1）所有可交易证券的期望收益率都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

在风险中性的条件下，设当前时刻t的股票价格为S，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r，已知股票价格行为模型（有时也称为几何布朗运动）为： dS=rSdt+σSdZ

其中r是股票价格的预期收益率，σ是股票价格的波动率，dW=εXΔt是标准维纳过程，ε为从标准正态分布中抽取的随机值。假定期初的股价为St，则在很短的时间间隔Δt末的股票价格为St+Δt，于是

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