广东省东莞市松山湖莞美学校2014-2015学年高二下学期第一次月考

广东省东莞市松山湖莞美学校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在曲线y=x+x上取点P（2，6）及邻近点Q（2+△x，6+△y），那么

2

2

为 ( )

2

A．△x+2 B．2△x+（△x） C．△x+5 D．3△x+（△x）

考点：变化的快慢与变化率． 专题：导数的概念及应用．

分析：转化成函数值的变化量与自变量的变化量的比值进行求解，化简变形即可求出所求，求解时需细心．

22

解答： 解：△y=f（2+△x）﹣f（2）=（2+△x）+（2+△x）﹣4﹣2=△x+5△x，

∴==△x+5，

故选：C．

点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可，同时考查了计算能力，属于基础题．

2．函数y=xcosx的导数为( )

22

A．y′=2xcosx﹣xsinx B．y′=2xcosx+xsinx

22

C．y′=xcosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣xsinx

考点：导数的乘法与除法法则． 专题：计算题．

分析：利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数．

222

解答： 解：y′=（x）′cosx+x（cosx）′=2xcosx﹣xsinx 故选A 点评：求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则．

2

3．已知曲线y=2x上一点A（1，2），则A处的切线斜率为( ) A．16 B．8 C．4 D．2

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的概念及应用．

分析：求出函数的导数，将x换成1，即可得到所求A处的切线的斜率．

2

解答： 解：y=2x的导数为y′=4x， 则在A处的切线斜率为k=4×1=4． 故选：C．

2

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，属于基础题． 4．已知

，则f′（1）等于( )

A．0 B．﹣1 C．2 D．1

考点：导数的运算． 专题：计算题．

分析：求出f（x）导函数，令导函数中的x=0得到关于f′（0）的方程求出f′（0），将其值代入f′（x），令其中的x=1求出f′（1）．

2

解答： 解：f′（x）=x+3f′（0） ∴f′（0）=3f′（0） ∴f′（0）=0

2

∴f′（x）=x ∴f′（1）=1 故选D

点评：求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再令导函数中的x取自变量的值即得到导函数值．

5．函数f（x）=x﹣x+1是减函数的区间为( )

A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，0） D．（0，2）

考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的概念及应用．

分析：先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．

2

解答： 解：f′（x）=x﹣2x=x（x﹣2）， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故选：D．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．

32

6．设P为曲线C：y=x+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是则点P横坐标的取值范围是( ) A．

B．[﹣1，0]

C．[0，1]

D．[，1]

2

，

考点：导数的几何意义． 专题：压轴题．

分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．

解答： 解：设点P的横坐标为x0，

2

∵y=x+2x+3，

∴y′

=2x0+2，

利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角）， 又∵∴

，∴0≤2x0+2≤1， ．

故选：A．

点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．

7．若f（n）为n+1（n∈N）的各位数字之和，如14+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，

*

记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n）），fk+1（n）=f（fk（n））k∈N则f2012（8）=( ) A．3 B．5 C．8 D．11

考点：函数的值． 专题：计算题．

*

分析：通过计算f1（8）、f2（8）和f3（8），得到fn+2（8）=fn（8）对任意n∈N成立，由此可得f2012（8）=f2（8）=5，得到本题答案． 解答： 解：根据题意，可得 2

∵8+1=64+1=65，∴f1（8）=6+5=11

2

又∵11+1=122，f2（8）=f（f1（8）） ∴f2（8）=f（11）=1+2+2=5 2

∵5+1=26，f3（8）=f（f2（8）） ∴f3（8）=f（5）=2+6=8=f1（8）

*

因此，可得fn+2（8）=fn（8）对任意n∈N成立， ∴f2012（8）=f2+1005×2（8）=f2（8）=5 故选B

2*2

点评：本题给出“f（n）为n+1（n∈N）的各位数字之和”的模型，求f2012（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．

8．曲线y=e，y=e和直线x=1围成的图形面积是( )

﹣1﹣1﹣1﹣1

A．e﹣e B．e+e C．e﹣e﹣2 D．e+e﹣2

考点：定积分在求面积中的应用．

2*

x﹣x

分析：由题意可知曲线y=e，y=e积分的运算公式进行求解即可． 解答： 解：曲线y=e，y=e

﹣x1x

就是：∫0（e﹣e）dx

x﹣x1=（e+e）|0

﹣1

=e+e﹣2． 故选D．

x

﹣x

x﹣x

和直线x=1围成的图形面积是e﹣e

x﹣x

积分，然后根据

和直线x=1围成的图形面积，

点评：本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分．

9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是( )

A． B．

C． D．

考点：函数的单调性与导数的关系． 专题：压轴题；数形结合．

分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．

解答： 解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0， 故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；

当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减； 故选C． 点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

10．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）＞g′（x），则当a＜x＜b时有( ) A．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a） B．f（x）＜g（x） C．f（x）＞g（x） D．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b）

考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：证明题．

分析：比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．

解答： 解：设F（x）=f（x）﹣g（x）， ∵在[a，b]上f'（x）＞g'（x）， F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，

∴F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数． ∴当x＞a时，F（x）＞F（a）， 即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a） 即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a） 故选A．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） 11．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题．

分析：在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．

解答： 解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）

所以切线方程为：3x+y﹣4=0 故答案为：3x+y﹣4=0

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．

12．计算：

=

．

考点：定积分． 专题：计算题．

22

分析：由该定积分的几何意义可知为半圆：x+y=1（y≥0）的面积．据此可算出答案．

22

解答： 解：由该定积分的几何意义可知为半圆：x+y=1（y≥0）的面积．

所以==．

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