第二章_极限与连续__基础练习题(含解答)

第二章 极限与连续 基础练习题（作业）

§2.1 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

468,,极限为1 35711112．1,?,,?,,极限为0

23451．2,?2n?1n为奇数??2n3．an??极限为1

n?2?1n为偶数??2n§2.2 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：

x1．lime

x???极限为零 2．limtanx

x??2无极限

3．limarctanx

x???极限为??2

lnx 4．lim?x?0无极限，趋于??

x?1?2x?1,?2二、设f(x)??x?x?3,1?x?2，问当x?1，x?2时，f(x)的极限是否存在？

?x2?1,x?2?x?12f(x)?lim(2x?1)?3 limf(x)?lim(x?x?3)?3；lim????x?1x?1x?1?limf(x)?3.

x?1

x?222limf(x)?lim(x?x?3)?5?3 limf(x)?lim(x?1)?3；????x?2x?2x?2?limf(x)不存在。

x?2三、设f?x??11?e1x，求 x?0时的左、右极限，并说明x?0时极限是否存在．

x?0limf?x??lim??x?011?e11x1x?0

x?0limf?x??lim??x?0?1

1?e?limf(x)不存在。

x?0四、试讨论下列函数在x?0时极限是否存在． 1．绝对值函数f?x??|x|，存在极限为零 2．取整函数f?x??[x] 不存在 3．符号函数f?x??sgnx 不存在

§2.3 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由： 1．xsin1是无穷小量． x11?0；当x?1时，xsin?sin1不是无穷小量。 xx错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当x?0时，xsin2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

x?2， 2x?1x??2时，或x??时，为无穷小量； x?1时，或x??1时，为无穷大量。

12． , k?Z

lntanx1．

?1x?(k??)?时，tanx???，则lntanx???，从而?0+为无穷小量；

2lntanx1?0?为无穷小量； x?k??时，tanx?0?，则lntanx???，从而

lntanx?1x?k??时，tanx?1，则lntanx?0，从而??为无穷大量；

4lntanx

三、当x?0时，x，x和3x都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？

?2x2xx2?xx?0，所以当时，是x的高阶无穷小量。 lim?lim?0?x?0?x?01xx2x(3x)2lim?lim?0，所以当x?0?时，x2是3x的高阶无穷小量。 ?3?x?01xx?0lim?6xx?x?0，所以当时， ?lim?0?x?01x?2x?03x是3x的高阶无穷小量。

2通过比较可知，当x?0时，x，x和3x不是同阶无穷小量，其中x是x和3x的高阶无穷小量，因此x是三者中最高阶的无穷小量。x和x都是3x的高阶无穷小量，因此3x是三者中最低阶的无穷小量。

四、利用无穷小量与极限的关系证明：limf(x)g(x)?limf(x)limg(x)．

x?x0x?x0x?x022证明：设limf(x)?A，limg(x)?B，则由无穷小量与极限的关系，f(x)?A??，

x?x0x?x0g(x)?B??，其中?,?为x?x0时的无穷小量。

则limf(x)g(x)?lim(A??)(B??)?lim(AB??B??A???)?AB

x?x0x?x0x?x0?limf(x)limg(x)

x?x0x?x0§2.4 极限的性质与运算法则

一、如果limf(x)?A?0，则存在x0的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．

x?x0（1）f(x)有界；（2）f(x)非负；（3）f(x)落入其中；（4）|f(x)?A|??，??>0． 二、求下列函数的极限

?13n?(?2)n11?1．limn?1 2． lim??????n?1n??3n???(?2)n?n?1???1?22?3

x2?3x?43??13．lim 4．lim? ?3?x?1x??11?xx?11?x??

5．limxx????4x2?1?2x 6．limx?31?x3

x?????原式?limxx???14x?1?2x2 原式?limx??1x?x1?x?(1?x)233332 ?1?11/x20?lim? ?lim??0 x??x??431114?2?21?33?1?(33?1)2xxx?x2?1?三、求a,b，使得lim??ax?b??0.

x???x?1?1bx??ax?a?b?x?1?ax?ax?bx?bxx?0 原式?lim?limx??x??1x?11?x22必有a?1(否则原式??)；同时有a?b?0(否则原式?0)；

x3?ax2?x?4?b为有限值，求a,b. 四、若limx??1x?1x??1

由题意必有limx3?ax2?x?4?（否则商的极限不可存在）0?a?4

x3?4x2?x?4(x?1)(x?1)(x?4)原式?lim=lim?b?b?10

x??1x??1x?1x?1§2.5 极限存在性定理与两个重要极限

一、判断题： 1．limsinx?1错

x?1x

sin(x?1)?1对

x?1x?1sinx?1错 3．limx??x14．limxsin?1对

x??x15．limxsin?1错

x?0x1x6．lim(1?)?e对

x?0x2．lim7．当x?0时，sinx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1?x),ex?1都是x的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：

sin2xsin(x2?4)1．lim 2．limx?0tan3xx?2x?2sin2xx?0，tan3x2x3xx?0，sin(x2?4)x2?4sin2x2x2x2?4?lim?lim?. ?原式?lim?4. x?0tan3xx?03xx?23x?2x?x?1?3．lim 4．lim?? x?0arctanxx??x?1??x?11??2?222???? x ?lim??1?1????x????x?1??x?1????22xx?0，arctanxx?11??2?2xx22?????e2. ?lim?lim?1. ??lim?1?1????x?0arctanxx?0x?x???x?1??x?1????11?x5．limxx?1?lim(1?x?1)x?1?1x?111?x?x2??x??x? 6．lim?2?lim?x?????? x??x?1?x?1??x?1????x?xxxx?lim(1?x?1)x?1?1??1??e?1. ?lim?1???1???ee?1?1.

x???x??x? 7．lim1sin(sinx)ln(1?x?x2?x3) 8． lim x?0xx?0ln(1?x)ln(1?x?x2?x3)x?x2?x3(x?0)

sin(sxin)xsin?;lxn(1x?x) (

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