数列综合题4(经典分类)

数列

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

b成1,a2?b2,a3?3（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b等比数列，求Tn.

例题3. 已知数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且a?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列.

1???2a2?22a3?...

⑴求数列?an?与?bn?的通项公式；

?⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.

例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn

2. 研究前n项和的性质

n例题5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2?b，且a1?3.

（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式； （2）设

1例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足

1bk?(lga1?lga2??lgak)*(k?N)， k

bn?nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

?（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.

例题7. 已知递增的等比数列{an}满足a2?a3?a4?28，且a3?2是a2，a4的等差中项.

an（1）求{an}的通项公式an；（2）若bn?anlog1，Sn?b1?b2?2?bn求使Sn?n?2n?1?30成立的n的最小值.

*例题8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且?1,Sn,an?1成等差数列，n?N,a1?1. 函数

f(x)?log3x.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）设数列{bn}满足

bn?1(n?3)[f(an)?2]，记数列{bn}的前n项和为T，试比较 n

52n?5Tn与?12312的大小.

3. 研究生成数列的性质

nn例题9. （I） 已知数列?cn?，其中cn?2?3，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p；

（II） 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是等比数列.

例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

13a42?,a43?816 等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，

求S=a11 + a22 + a33 + ? + ann

f(n)*f(x)?log(ax?b)a?3,n?N. A(2,1)B(5,2)3例题11. 已知函数的图象经过点和，记n（1）求数列{an}的通项公式；

abn?n,Tn?b1?b2???bnn2（2）设，若Tn?m(m?Z)，求m的最小值；

111(1?)(1?)?(1?)?p2n?1a1a2an（3）求使不等式对一切n?N*成立的最大实数p.

（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.

*例题12. 数列{an}中，a1?8,a4?2且满足an?2?2an?1?an，n?N.

⑴求数列{an}的通项公式；

⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn；

1*⑶设bn=n(12?an)(n?N),Tn?b1?b2??bn(n?N*)，是否存在最大的整数m，使得对任

m*意n?N，均有Tn?32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

例题13. 已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn?3a,n?N*. （1）判断{an}是何种数列，并给出证明； （2）若a8?a13?m,求b1b2b20.

2. 由简单递推关系证明等差等比数列

例题14. 已知数列{an}和{bn}满足：a1?1，a2?2，an?0，bn?anan?1（n?N*），

n且{bn}是以q为公比的等比数列.

2a?aqn?2n（I）证明：；

（II）若cn?a2n?1?2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；

1111????a（III）求和：1a2a3a4?1a2n?1?1a2n.

例题15. 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?(1??)??an,其中???1,0 （1）证明：数列{an}是等比数列；

（2）设数列{an}的公比q?f(?)，数列{bn}满足b1?，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列{bn}的通项公式；

（3）设??1，Cn?an(

【模拟试题】 一、填空题

1. 在等差数列｛an｝中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= . 2. 已知数列的通项an??5n?2，则其前n项和Sn? .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 .

24. 在等比数列{an}中，a3和 a5 是二次方程 x?kx?5?0 的两个根，则a2a4a6 的值为 .

5. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_______

a7An7n?45?n?3，b7= 7. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且Bn1?1)，求数列{Cn}的前n项和Ｔn. bnan ，若bn为正整数，n的取值个数为___________。

8. 已知数列?an?对于任意p，q?N，有ap?aq?ap?q，若

9. 记数列{an}所有项的和为S(1)，第二项及以后各项的和为S(2)，第三项及以后各项的

*a1?19，则a36? .

和为 S(3),?，第n项及以后各项的和为S(n)，若S(1)?2，S(2)1S??1，(3)2,，

S(n)?12n?2,，

则an等于 .

10. 等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为____.

211. 等差数列{an}中，an?0，若m?1且am?1?am?am?1?0，S2m?1?38，则m的值为 . 12. 设Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于 .

13. 已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有

f(x?2)?2f(x??1f(x)，且f(1)?2,f(3)?6，则f(2005)?__ __.

14. 三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是 . 15. 等差数列{an}中，前n项和为Sn，首项a1?4,S9?0.

（1）若an?Sn??10，求n

（2） 设bn?2a，求使不等式b1?b2??bn?2007的最小正整数n的值.

点拨：在等差数列中an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首

n项a1与公差d，把an,Sn分别用首项a1与公差d，表示即可. 对于求和公式Sn?Sn?na1?n(a1?an)，2n(n?1)d采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简2单一些. 例如：已知a9?0,a10?0,a9?a10?0,判断S17,S18,S20的正负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32. （I）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn； （II）设

bn?Sn*n（n?N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17. 在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)函数

y?3x?，对一切正整数n，点Pn位于

513?4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，?1为公差的等差数列{xn}.

⑴求点Pn的坐标；

⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶

2D(0n,?1)Pnn点为，且过点，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：

111???k1k2kkkn?kn231.

?，等差数列{an}的任一项an?S?T，⑶设S??x|x?2xn,n?N,n?1?,T??y|y?4yn,n?1其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求{an}的通项公式.

*18. 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N)，

（1）求数列?an?的通项公式；

b?1b?1（2）若数列?an?满足44124bn?1?(an?1)bn(n?N*)（n∈N*），证明：?bn?是等差数列.

【试题答案】 1. 42

n(5n?1)22. 8(,3]3. 3 ?4. ?55 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式

ap?aqa??m2” “若2m?p?q,m,p,q?N，则

(a1?a13)?13A13172a7(b?b)?13?B?211313b2解析：7=

2aS?an?bn”这个结论，根据条件 解法2： 点拨 利用“若{n}为等差数列，那么nSn?(a1?an)n2及等差数列的性质

找出an和bn的通项.

解析：可设An?kn(7n?45)，Bn?kn(n?3)，则an?An?An?1?k(14n?38)，

a7k(14?7?38)17?2 bn?k(2n?2)，则b7=k(2?7?2)ank(14n?38)1212?7?n?1，显然只需使n?1为正整数即可， 由上面的解法2可知bn=k(2n?2)故n?1,2,3,5,11，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.

8. 4 9. 解：

an?S(n)?S(n?1)?12n?2?11?2n?12n?1.

?(n?1)an?1?319?an?110. 解：依题意，中间项为，于是有?nan?1?290解得an?1?29.

211. 解：由题设得am?am?1?am?1?2am，而am?0，?am?2，又

S2m?1?38，

?38?(a1?a2m?1)(2m?1)2am(2m?1)??2(2m?1)22，m?10.

12. 解：S6?(Sn?Sn?6)?6(a1?an)?36?(324?144)?216， a1?an?36， Sn?n(a1?an)?3242. ∴n?18。

*f(x?2)?f(x)?2f(x?1)f(x)(x?N)当x从小到大依次取值时对应的一13. 解：由知函数

系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),,f(2005)形成一个首项为2，公差为4的等差数

列，f(2005)?2?(1003?1)?4?4010.

bb1ma?,c?bq?b?bq?m,b?0,??q?1?qqb. 14. 解：设，则有qm1m??q?1?3?0?b?3； 当q?0时，bq，而b?0，

m1m??q?1??1??1bqq?0b当时，，即，而m?0，?b?0，则?m?b?0，

mb?[?m,0)?(0,]3. 故

15. 解：（1）由S9?9a1?36d?0，得：d??1,an?5?n， 又由an?Sn??10,4?(n?1)(?1)?4n?即n2?7n?30?0，得到n?10.

（2）由bn?25?n 若n≤5，则b1?b2?故n>5，b1?b2??bn≤b1?b2??b5?31，不合题意

n(n?1)?(?1)??10. 22(2n?5?1)bn?31??2007

2?1即2n?5?989，所以n≥15，使不等式成立的最小正整数n的值为15

??a1?2?1，??3a1?3d?9?32，?d?2， 16. 解答：（I）由已知得?故an?2n?1?2，Sn?n(n?2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得

bn?Sn?n?2n.

2bb,b,b{b}p,q,rqpqr假设数列n中存在三项（互不相等）成等比数列，则?bpbr.

2即(q?2)?(p?2)(r?2).

?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0

p，q，r?N?，

?q2?pr?0，p?r22???()?pr，(p?r)?0，?p?r?2q?p?r?0，2 .

与p?r矛盾.

53xn???(n?1)?(?1)??n?22 17. 解：（1）13535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)4424

?cn的对称轴垂直于x轴，（2）且顶点为Pn. ?设cn的方程为：2D(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x2?(2n?3)x?n2?1. n把

kn?y'|x?0?2n?3，kn?1kn?11??k1k2k2k3?1?1?1111?(?)(2n?1)(2n?3)22n?12n?3

y?a(x?2n?3212n?5)?,24

11111?[(?)?(?)?kn?1kn2577911111(?)??=252n?3104n?6.

（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}，

?(11?)]2n?12n?3

T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1} ?ST?T,T 中最大数a1??17.

设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得

?248?d??12,又an?T?d??12m(m?N*)9

?d??24,?an?7?24n(n?N*)

*a?2a?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1), n?1n18. （1）解：

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列.

n?a?1?2. 即 an?2n?1(n?N*). n

kn?1knk1?1k2?144...4?(a?1). ?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn. n（2）证：

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,③

nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④

③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,

*b?2b?b?0,?b?b?b?b(n?N), n?2n?1nn?2n?1n?1n 即

??bn?是等差数列.

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