1.数的整除

目

1.等差数列 2.数的整除(一) 3.数的整除(二) 4.质数与合数 5.奇数与偶数

录

6.长方体和正方体的认识 7.长方体和正方体的表面枳 8.长方体和正方体的体积 9.分数的意义和性质 10.期中考试 11.分数的加、减法 12.分数加、减法应用题 13.最大公因数和最小公倍数 14.最大公因数和最小公倍数的应用 15.最简分数的个数及其和 16.分数大小的比较 17.分、小数的互化 18.分数串 19.排列与组合 20.期末考试

2015年(春季)yanghoupei编

第 1 讲 等差数列

知识要点:

1. 等差数列:如果一个数列从第二项开始,每一项与它前面一项的差都相等,就叫做等差数列;第一个数叫首项,最后一个数叫末项,这个相等的差叫公差,数的个数叫项。

2. 总和=(首项+末项)×项数÷ 2 项数=(末项-首项)÷公差＋1

首项=末项－公差×(项数-1) 末项=首项＋公差×(项数-1) 公差=(末项-首项)÷(项数-1) 例1. 求下面各数列的总和:

(1) 1+2+3+??+35+36 (2) 21+22+23+??+49+50

(3)计算:3+8+13+18+23+??+2003+2008

例2．求数列4、10、16、22、??前50个数的和。

例3．一个等差数列从小到大共100项,末项是2003,公差是3,求这个等差数列的总和。

例4．一堆木料有18层,最上一层是1根,往下每一层都比上一层多1根,这堆木料共有多少根?

例5．某学生看一本故事书,第一天看了8页,以后每天都比前一天多看3页,刚好7天看完,这本故事书共有多少页?

练习题:

1. 计算下面各题:

(1)1+2+3+??+99 (2)31+32+33+??+77+78

(3) 3+8+13+18+??+198+203

2. 求数列1、5、9、13、17、21??前50个数的和。

3.一个等差数列从小到大共30项,已知末项是124,公差是4,求总和。

4.求所有十位数字比个位数字大1的两位数的和。

5..求100以内所有7的倍数的和是多少?

6.求3+1、5+4、7+7、9+10、??这50个算式的和。

7.某体育馆两侧看台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位,体育馆两侧看台共有多少个座位?

8.电影院的座位是按后一排总比前一排多2个座位,如果某电影院第一排有32个座位,共36排,那么这个电影院共有多少个座位?

9..某学生读一本书,第一天读了15页,以后每天都比前一天多读7页,最后一天读了120页,这本书共有多少页?

第 2 讲 数的整除

【知识要点】

1.能被2、3、5整除数的特征：略

2.能被9整除数的特征：若一个数的各位上数字之和能被9整除,则这个数就能被9整除；

3.能被4或25整除数的特征：若一个数的末两位数字所表示的数能被4或25整除,则这个数就能被4或25整除;

4.能被8或125整除数的特征：若一个数的末三位数字所表示的数能被8或125整除,则这个数就能被8或125整除; 5.能被11整除数的特征：若一个数的奇位上数字之和与偶位上数字之和的差(大的减去小的)能被11整除,则这个数就能被11整除; 6.能被7或13整除数的特征：若一个数的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大的减去小的)能被7或13整除,则这个数就能被7或13整除;

【例题剖析】

例1.写出能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的四位数。

思路点拔：能同时被2、3、5整除的数，个位只能是0,再考虑最高位上的数应选什么数，最后考虑其它位上的数。

例2.已知3aa1能被9整除，求a=？

思路点拨：将3、a、a、1这四个数字相加的和等于9的倍数,列方程求解。

例3.已知497x能被8整除,求x＝？

例4.已知1a2a3a4a5a能被11整除,求a=?

思路点拨:根据被11整除数的特征得5 a－（1+2+3+4+5）=11的倍数列方程求解。

例5.已知58x438能被7整除,求这个多位数?

思路点拨:根据能被7整除数的特征可得58x－438的差能被7整除进行推算。

【分层训练】 ★

1.判断题

（1）一个数能同时被2、3、5整除,它的个位数字一定是0;（ ） （2）能被3整除的数也一定能被9整除; ( ) （3）一个数能同时被2和3整除,它一定能被6整除;( )

（4）用0、1、3、5四个数字组成的所有四位数都能被3整除;( ) 2.填空题

(1)写出一个能同时被2、3、5整除的最小三位数是______________,最大四位数是_______________。。

(2)在0、1、4、6、7这五个数中,选取四个数字组成一个四位数,且同时能被2、3、5整除,其中最小的一个是______________，最大的一个是_____________。 (3)在□中填上适合的数字,使3□56□能同时被2、3、5整除,共有_____种填法。 ★★

3.解答题

(1)已知一个六位数1992AB能被25整除,求这个六位数？

(2)已知2xx1能被9整除,求x。

(3)巳知1x197377能被11整除,求x 。

(4)已知9710a能被7整除,求这个多位数

(5)已知六位数27A162能被13整除，求这个六位数？

★★★

(6)一个四位数7a1b能同时被2、3、5整除,求这个四位数？

(7)四位数45AB能同时被2、3、4、5、9整除,求这个四位数？

第 3 讲 数的整除

【知识要点】

1.能被6整除数的特征：若一个数既能被2整除，又能被3整除,则这个数就能被6整除。

2.能被15整除数的特征：若一个数既能被3整除,又能被5整除,则这个数就能被15整除。

3.能被a×b整除数的特征：若一个数既能被3整除,又能被b整除,则这个数就能被a×b(a与b的积)整除。(a、b均为除0以外的整数) 【例题剖析】

例1.在568的后面中补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，并且要求这个数尽可能小，这个六位数是多少？

思路点拨：能被3、4、5整除的数,个位一定是0,要使该数尽可能小,百位上的数字也应是0,再推出十位上的数字。

例2.一个五位数4D97D能被6整除,求这个五位数。

思路点拔：因为4D97D能被6整除,而6＝2×3，所以4D97D既能被2整除，也能被3整除。从而可求出此五位数。

例3.已知七位数A1992BC能同时被9、25、8整除,求这个七位数;

思路点拨：根据能被25和8整除的特征可知,BC能被4整除,2BC能被8整除，可推出B和C都为0，再将各位上数字相加之和等于9的倍数推出A即可。

例4.已知四位数A37B能被56整除,这个四位数是多少？

思路点拨：因为56＝7×8，所以A37B能同时被8和7整除，那么37B就能被8整除,可推B＝6,再由376－A能被7整除求出A。

【分层训练】

1.在93的后面补上三个不同的数字,组成一个五位数,使它能分别被2、3、5整除,且这个数要尽可能小,这个五位数是多少？

2.一个五位数25A4B能被15整除,求这个的五位数

3.一个六位数能被11整除,首位是7,其余各位数字各不相同,这个六位数最小是多少？

4.已知六位数A4273B能被72整除,求这个六位数是多少？

Y能被45整除,求这个六位数是多少？ 5.已知六位数X2008

6.已知五位数A691B能被55整除,求此五位数。

7.已知四位数X73Y能被24整除,求符合条件的四位数。

第 4 讲 质数与合数

【知识要点】

1.质数：一个自然数只有1和它本身两个约数外再没有其它的约数,这样的数叫做质数。

2.合数：一个自然数除了1和它本身两个约数外还有其它的约数,这样的数叫做合数。

3.1既不质数也不是合数。 【例题剖析】

例1.两个质数的和是50,求这两个质数的乘积最大值是多少？ 思路点拨：由50＝3＋47＝7＋43＝13＋37＝19＋31中,和一定,两个数越接近(即差越小),积就越大。

例2.四个连续奇数,它们的积是19305,求这四个连续奇数？ 思路点拨：只要将19305分解质因数即可推出。

例3.一个两位数去除310,余数是37,求这样的两位数？

思路点拨:因为310－37=273=3×7×13,所以这个两位数一定是273的因数，且一定是3×7、3×13、7×13的乘积中找出符合条件的两位数。

例4.有糖果224块,要分成块数相等的包数,每包要在5块以上,10以下,共有几种分法？怎样分？

思路点拨:将224分解质因数后,分两种方法进行推算。

【分层训练】 1.选择题

（1）一个合数至少有（ ）个约数;

A.1; B.2; C.3; D.许多; （2）两个质数的乘积一定是( );

A.质数; B.合数; C.奇数; D.偶数;

（3）某数分解质因数是2×2×2×5×5×5×7×7。这些约数中,质数有( );

A.3; B.8; C.48; D.52;

（4）把8、10、11、15中的每两个数组成一对互质数,可组成( );

A.1对; B.2对; C.3对; D.4对;

（5）最小的质数与最大的两位合数相乘的积是( );

A.99; B.198; C.98; D.196;

（6）把78分解质因数是( );

A.2×31×3=78 B.78=2×3×13×1 C.78=2×3×13 D.1×2×3×13=78 （7）在前100个自然数中,有25个质数,那么有( )个合数;

A.75; B.76; C.74; D.25;

2.两个质数的和是30,求这两个质数的乘积最大是多少？

3.把91个学生分成人数相等的几个小组,应怎样分？

4.一个两位数去除638余数是43,求这个两位数？

5.有四个连续自然数,它们的乘积是11880,求这四个数？

6.有四个小朋友,他们一个比一个大1岁,四人年龄的乘积是360,其中最大的多少岁？

7.不计算,求48×925×38×435的积末几位有几个连续的“0”？

第 5 讲 奇数和偶数

【知识要点】

1.奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，用2n表示(n是整数);不能被2整除 的数叫做奇数,用2n＋1表示(n是整数)。 2.奇偶性：

（1） 奇数＋奇数=偶数 奇数－奇数=偶数

偶数＋偶数=偶数 偶数－偶数=偶数

（2） 奇数＋偶数=奇数 奇数－偶数=奇数

偶数＋奇数=奇数 偶数－奇数=奇数

（3） 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 【例题剖析】

例1.王丹在计算一道题时,写出下面一个等式：168×9054＋73=1521046,她的结果对吗？

思路点拨：算式的左边为偶十奇＝奇,而箅式的右边为偶数。

例2.从3开始,依次后一个数比前一个数多3,写出2000个数排成一行,3、6、9、12、15、18??,在这行数中,第1995个数是奇数还是偶数？

思路点拨:在这2000个数中,排列的规律是一奇一偶,从而很容易判断。

例3.小华买了一本共有96页的练习本,并依次将它的各面编号(由第1面到第192面),小丽从该练习本中撕下了某25页,并将50个编号相加,所得的和能否为1994?为什么?

思路点拨:因为每页上的两个数为连续的自然数,其和为奇数,所以25页的总和也是奇数,从而可得结论。

例4.某班同学参加数学竟赛,试题共50道,规定答对一题给3分,不答给1分,答错倒扣1分。问:全班同学得分总和是奇数还是偶数?

思路点拨:根据题意,无论学生怎样答题或答题的对错情况,每个学生的得分一定是偶数,从而可得出结论。

【分层训练】 1.判断题

（1）两个不相同的自然数相乘,积一定是偶数; （ ） （2）两个不相同的自然数相乘,积－定是合数; ( ) （3）在自然数中,唯－的偶数质数就是2; ( ) （4）a是自然数,那么2a＋1－定是奇数; ( ) 2.选择题

（1）从1开始算起50个连续奇数的和( );

A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.可能是奇数也可能是偶数 例2. 一个奇数与一个偶数相乘的积是( )

A.奇数 B.偶数 C奇数或偶数 （3）一个奇数与一个偶数的和是( )

A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数

（4）若干个自然数相乘,其中这些自然数里只有一个因数是偶数,其余都是奇数,那么这些自然数的乘积是( );

A.奇数 B.偶数 C.两种都有可能

3.李芳在计算－题时,写成642218=1002003－456×789,她算对了吗？

4.已知83＋95＋77＋89＋a=1993,请你判断a的奇偶性？

5.5×3×a×9×b=1345,请你判断a和b的奇偶性？

6.任意取出2002个连续自然数,它们的和是奇数还是偶数？

7.一串数排成一行：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、??到这串数的第100个数为止,有多少个偶数？

8.已知A、B、C中有一个是7,一个是8,一个是9,则（A－3）×（B－4）×（C－5）的结果是奇数还是偶数？

【分层训练】 1.判断题

（1）两个不相同的自然数相乘,积一定是偶数; （ ） （2）两个不相同的自然数相乘,积－定是合数; ( ) （3）在自然数中,唯－的偶数质数就是2; ( ) （4）a是自然数,那么2a＋1－定是奇数; ( ) 2.选择题

（1）从1开始算起50个连续奇数的和( );

A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.可能是奇数也可能是偶数 例2. 一个奇数与一个偶数相乘的积是( )

A.奇数 B.偶数 C奇数或偶数 （3）一个奇数与一个偶数的和是( )

A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数

（4）若干个自然数相乘,其中这些自然数里只有一个因数是偶数,其余都是奇数,那么这些自然数的乘积是( );

A.奇数 B.偶数 C.两种都有可能

3.李芳在计算－题时,写成642218=1002003－456×789,她算对了吗？

4.已知83＋95＋77＋89＋a=1993,请你判断a的奇偶性？

5.5×3×a×9×b=1345,请你判断a和b的奇偶性？

6.任意取出2002个连续自然数,它们的和是奇数还是偶数？

7.一串数排成一行：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、??到这串数的第100个数为止,有多少个偶数？

8.已知A、B、C中有一个是7,一个是8,一个是9,则（A－3）×（B－4）×（C－5）的结果是奇数还是偶数？

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