嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略-2014年本科数学建模优秀论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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日期：2014 年9月12日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

本文围绕嫦娥三号软着陆过程运行轨道以及控制方案，首先，运用由繁到简思想对问题进行简化理出思路，再由简到繁，应用Pontryagin 极大值原理，求解主减速段运行轨迹。建立基于局部燃料最优的最优评价模型，同时以各阶段任务需求为基础，结合实际，考虑燃料最优和实际着陆安全性，对于结果进行一定的修正。利用MATLAB，实现对于问题的求解。

对于问题一，在主减速阶段建立了以运行轨迹为抛物线为基础的燃料最优简化模型。首先，根据天体物理学知识，结合嫦娥三号着陆准备轨道为长轴为1837.013km,短轴为1752.013km，运用能量法结合开普勒第二定律，得出近月点和远月点的速度大小。然后，由繁到简，逐步分析简化，从建立立体空间的两个月球着陆极坐标系——轨道坐标系和月球惯性坐标系分析，简化到运行轨迹平面分析模型。将运行轨迹的确定问题转化为轨迹为抛物线的前提下燃料最优问题，列出动力学方程，求出运行轨迹。过程消耗燃料1.0988t,末端速度与径向夹角为10.97?，历经428.9333s,水平方向移动距离435.36km。所求得的近月点位置在一个圆上，根据报道椭圆轨道过极点上方，得到近月点位置为（19.51W,29.7595N），高度为1743.013km，速度v1?1.6927km/s，方向沿轨迹切向向北（如图13），远月点（160.49E,29.7595S)，高度为1837.013km,速度为v2?1.6144km/s，方向沿轨迹切向向南（如图13）。

对于问题二，建立基于局部最优的着陆轨迹和6个阶段控制策略最优评价模型。 对于主减速段，根据问题一中的以抛物线为基础的燃料最优简化模型分析思路，利用Pontryagin极大值原理，实行燃料最优制导。耗时438.9s，嫦娥三号质量1301.2kg。

对于快速调整段，可采用重力转弯制导，通过对发动机的开关来控制着陆器的斜向速度。耗时7.43s，1296.4。

对于粗避障段，通过阈值分析将图像分割以方便计算，选择100×100的区域来计算其方差确定平坦程度，选择距离中心点水平距离较近，且相对平坦的位置作为初步的落月地点，本文中得到的初步落月地点极为图像中心点。此过程嫦娥三号做匀减速运动，实现制导。耗时64.54s，嫦娥三号1221.0kg.

对于精避障段，采用中值滤波器对图像进行预处理，然后进行多灰度级阈值分割分析图像，运用障碍圆法求着陆点，选择最近的点（754,643）为圆心作为降落点。同时考虑下一阶段距离以及着陆安全性问题，必须使该阶段末端速度较小。耗时31.11s,嫦娥三号质量1201.0kg.

对于缓速下降阶段，该阶段的控制策略为让发动机推力方向向下，保持匀减速运动，直到在4m处速度减小为0，实现悬停。耗时11.56s,嫦娥三号质量1191.5kg.

对于自由落体阶段，耗时2.22s,嫦娥三号质量1191.5kg.

整个过程的总时间为t=555.76s，燃料消耗量为m=1208.5kg。 由于后面几个阶段高度较低，可以直接采用简化的动力学模型。

对于问题三，结合第二问中最优轨迹和控制策略的求取过程，对各参数进行误差分析，误差主要包括：数据测量误差、截断误差、模型假设误差。然后在参数标称值的基础上加上+-10%的偏差，通过绘出各个轨迹图像，得出比冲偏差，初始速度偏差，初始质量偏差具有较强的敏感性。

在建立模型的过程中，问题的简化是解决问题的一个重点，对于一个复杂的航天问题，简化为我们所熟知的物理数学模型，使得问题理解方便，给予更加清晰的思路，由繁到简，再逐步分析，结合实际情况，由简归繁，就可以解得问题的答案。

在模型评价与推广中提出了评价制度更优越的基于遗传算法的多目标着陆轨迹和6个阶段控制策略最优评价模型。

在建模的过程中主要运用matlab编程。

关键词：燃料最优Pontryagin极大值原理 局部最优 阈值分析 障碍圆法

1

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 附件1： 问题的背景与参考资料；

附件2： 嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求； 附件3：距月面2400m处的数字高程图； 附件4：距月面100m处的数字高程图。

二、问题分析

2.1 问题一

2.1.1 软着陆过程分析

根据题意，嫦娥三号的着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，因此，可以通过计算嫦娥三号软着陆过程的轨迹，进而推出嫦娥三号软着陆的出发点的运动状态，即近月点的位置和速度。计算软着陆轨迹难点主要集中在距离月球表面15km处到距离月球表面3km处的轨迹方程根据附件一我们知道此段轨迹为抛物线，通过分析其动力方程，结合抛物线的终点位置，进而得出轨迹方程。

对于远月点，由于嫦娥三号运行轨道为椭圆轨道，月球处于椭圆轨道的焦点，已知该椭圆轨迹的长轴为100km,短轴为15km,所以椭圆方程可以很快得出，进而得出远月点的位置。根据角动量守恒定理，就可以得到远月点的速度。 2.2 问题二

对于软着陆过程各个阶段的关键点，为了方便描述，我们将其转化为坐标点如下图。

图1 嫦娥三号软着陆轨迹示意图

2

2.2.1主减速阶段

主减速段是软着陆过程用时最长、推进剂消耗最多的任务段。该阶段的主要是减速，消除较大的动力下降段初始水平速度(约1.7 km/s)，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。因此推进剂消耗优化是该段制导律的主要设计目标，另外还要兼顾自主性和工程可实现性要求。 我们通过大量不同模型的筛选，参考张建辉等《月球软着陆轨道优化方法比较研究》等资料，制定嫦娥三号月球软着陆主减速阶段的制导方式。由于彭坤等的《基于混合法的月球软着陆轨迹优化》过程复杂，其他算法需求的测量参数较多，不适合本题，因此利用Pontryagin极大值原理 ，选择共轭方程的初始值，得到着陆器最优着陆轨迹。 2.2.2快速调整阶段

为了平缓地从主减速段过渡到粗调整段，有必要快速调整着陆器的姿态和推力，保证粗调整段入口状态的需求。根据主发动机推力和着陆器姿态匀速过渡的要求，并且要兼顾最优性和安全性，采用重力转弯制导。重力转弯软着陆, 是指在着陆过程中通过姿控系统使制动加速度方向与速度矢量的反方向始终保持一致。它的主要优点是着陆姿控及测量比较简单。 2.2.3粗避障段

粗避障段的主要任务是对着陆区成像，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并粗步避开大陨石坑，初步确定落月地点。终端相对月面速度接近于0 m/s。粗避障段制导必须能够满足制导目标的位置、速度、姿态以及初始高度和速度等多项约束。我们在该阶段考虑如何简化运算来基于粗障碍识别和速度增量综合确定的安全着陆区，避开大障碍选取较为平坦的点，又在原预定着陆点附近，实现综合最优，减少时间消耗以及燃料消耗。 2.2.4 精避障段

精避障段的主要任务是精确避障和下降。区间是距离月面100m到30m。要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图，得到着陆点。根据悬停段给出的安全着陆点相对位置信息，水平移动到选择的安全着陆点上方，30m处使水平速度为0 m/s。精避障段制导律水平方向控制速度和位置,垂直方向控制高度、速度和加速度。

2.2.5 缓速下降段

[2][1]缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m，主要考虑到着陆安全性，主要控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止。为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度,，尽可能以较小的设定速度匀速垂直下降，消除水平速度和加速度，直到收到关机敏感器信号。考虑到推进剂的消耗和导航位置漂移，选择合适的下降速度。 2.3 问题三

测量误差和系统参数偏差是影响软着陆制导精度的主要原因，在存在测量误差和参数偏差的情况下实现软着陆，满足终端条件是对软着陆控制系统的一个基本要求，实际中测量误差可以通过滤波消除，对闭环系统的影响不大。而系统参数如制动发动机的推力，比冲以及着陆舱的质量都是不可测的，它们是在发射以前在地面标定给出的，但在飞行过程中参数会由于一定的影响而产生一定的偏差考察这些偏差对制导过程的影响就显得十分重要。 2.3.1 误差分析

根据问题二中提出的最优着陆轨迹和控制策略，误差来源可能有三种：一是方程中采用预测参数值或者参数的近似值；二是方案选择过程中为了简化计算，对于一些参数或者条件的忽略；三是计算过程的简化，例如采用简化模型。从中选择对于误差影响较大的因素进行分析。 2.3.2 敏感性分析

可对参数进行一定的变化，画出轨迹，分析着陆轨迹对这些参数的敏感性。

三、模型假设

1、忽略月球自转 2、忽略月球摄动力

3、在距月球表面3000m处，基本位于着陆点上方 4、忽略月球形状扁率，将月球看做球体 5、月球为一个均匀引力场

四、符号说明

3

符号 M m G 意义 月球质量 嫦娥三号质量 万有引力常数 近月点速度 远月点速度 比冲 符号 F 意义 推力 动力下降初始速度，即近月点速度 动力下降初始时间 主减速段终端速度 主减速段终端时间 v0 t0 v1 vf tf v2 ve

五、模型建立与求解

5.1 问题一

5.1.1 近月点和远月点速度

嫦娥三号在着陆准备轨道运行情况如图2，为了更好地观察空间运动情况，忽略实际大小。

根据近月点和远月点的机械能守恒和开普勒第二定律面积速度相等可得: Mm11Mm22mv?G?mv?G 122A?C2A?C(机械能守恒：势能和动能相互转化，总能量不变。在远地点，势能最小，动能最大，在近地点，势能最小，动能最大)。 （1） 11(A?C)v1?(A?C)v2（2） 22图2 着陆准备轨道运行示意图

其中，A+C=b+r=100+1737.013=1837.013km, A- C=a+r=15+1737.013=1752.013km. 联立可得，v1?1.6927km/s，v2?1.6144km/s 5.1.2 主减速段基于抛物线的燃料最优轨迹模型

嫦娥三号的着陆转移轨道为100×15km的椭圆轨道。

为了描述嫦娥三号的空间运动，首先定义两个月球软着陆坐标系。第一个是月心惯性坐标系OIxIyIzI：原点OI选在月心，OIxI轴沿月球自转时的纵向轴线，OIyI轴垂直于OIxI轴指向着陆点与赤道的焦点，OIzI轴按右手法则确定。探测器在空间的位置可由r，?，?表示成球坐标的形式，r为从月心到探测器的距离，?，?表示月球经度和纬度。第二个就是嫦娥三号探测器轨道坐标系Oxoyozo：原点O选在嫦娥三号质心，Oxo轴与从月心到嫦娥三号质心的矢径方向重合，背离月心方向为正，Oyo轴垂直于Oxo指向运动方向为正，Ozo按右手法则确定。制动推力F的方向由嫦娥三号姿势发动机决定，?，?为在轨道坐标系中表示的推力方向角，如图3。

N

r

4

着陆点（19.51W，44.12N）

图3 月球软着陆坐标系 嫦娥三号探测器着陆准备轨迹，为椭圆轨道，在近月点嫦娥三号开始动力下降，大致如图4所示。

图4 嫦娥三号着陆准备轨道示意图图5 简化平面轨迹示意图

为简化分析，取主减速过程运行轨迹所在的平面，转化后的平面运行轨迹如图5所示。 对主减速段嫦娥三号进行受力分析，嫦娥三号在运行过程中主要受到推力和万有引力。

根据附件一，得知主减速阶段，运行轨迹为抛物线，这就要求嫦娥三号所受合力为一个恒力。由于万有引力始终指向月心，在平面轨迹内方向不断变化，结合附件二中3km处嫦娥三号基本位于 目标上方的条件，找到月心位置，可以大致估测出万有引力方向变化情况如图6。

图6 运行平面内万有引力方向变化情况示意图

因此，推力也要随之不断发生变化，才能使得合力始终为一个恒力。

假设在3km处，嫦娥三号速度方向与在所受恒力与径向夹角为θ，如图7。根据主减速初始位置速度v0与径向垂直，v0?1.6927 km/s，vf?57m/s。

根据运动学知识，y?12ayt（3） 2vy?ayt（4）

vx?v0?axt （5）

vfx?vfsin?（6）

5

图7 速度与径向夹角

vfy?vfcos?（7）

a?ax?ay速度a,和终端时间tf。根据

22（8）

其中，v0?1.6927km/s，vf?57m/s，yf?1.2km，给定任意θ，均可以求出该过程的加

F合?ma（9）

F?veme（10） m(t)?m0??me(t)dt（11）

0tMm（12） r2tfdm(t)m耗??dt（13）

0dt其中ve?2940m/s，m0?2.4t，M?7.3477?1022kg，G?6.67?10?11N?m2/kg2。可以

F引?G求出推力F和耗费的燃料m耗。

通过不断地改变θ的取值，找出m耗最小时的θ，求出主减速段的运行轨迹，进而求出近月点位置。通过Matlab编程，可以得到在m耗最小下的运行轨迹，关系如图8,9,10,11。

图8 15km-3km数值高度与水平路程关系图9 15km-3km嫦娥三号质量变化 图10 15km-3km嫦娥三号速度方向变化图11 15km-3km推力F变化

通过图8可以得到，运行轨迹为一个抛物线，根据已知条件，该段轨迹为抛物线，验证了我们模型的正确性。

6

最终得到：tf?428.9333s，m(tf)?1.3012t，

m耗?m0?m(tf)?1.0988t，

??10.97?，L(tf)?435.36km

即主减速段结束嫦娥三号的质量变为1.3012t,消耗燃料

1.0988t,末端速度与径向夹角为10.97?历经为428.9333s,水平方向移动距离435.36km。

所以，近月点可能在以着陆点竖直向上15km的映射点为圆心，L(tf)?435.36km为半径的圆环上的任意一点。如图12所示。

这样，嫦娥三号的着陆准备轨道就有无数种可能，根据孙泽洲等的嫦娥三号探测器的技术设计与成就，我们知道嫦娥三号的着陆准备轨道经过极点，因此，我们取过极点并且近月点在圆环上的100×15km椭圆轨道。

可得，近月点的经度为19.51W。根据L(tf)?435.36km，可以求得近月点的纬度为29.7595N。 因此近月点的位置为（19.51W,29.7595N），远月点的位置为（160.49E,29.7595S)。近月点和远月点的速度方向与椭圆轨道相切，近月点沿切向向北，远月点向南。如图13。

图13 近月点和远月点速度方向示意图 5.1.3 模型的验证

基于问题一建立的模型，我们对我们建立的模型进行一定的检验。 首先，通过图8可以得到，运行轨迹为一个抛物线，根据已知条件，该段轨迹为抛物线，验证了我们模型的正确性。

其次，建立终端速度方向与水平方向夹角β与嫦娥三号剩余质量的关系，如图14。

通过观察关系图像，我们可以得出嫦娥三号剩余质量随着β变化的大致趋势，得出我们所得角度的正确性。由于角度变大以后，变化趋势不明显，因此，图像中不易看出，水平方向夹角为79.03?，剩余质量最多，基于Matlab运行结果，我们可以得到该结论。

[3]

5.2 问题二

图14 3km速度与水平方向夹角与剩余质量关系图

最优着陆轨迹的确定基于局部最优轨迹的确定，因此我们以局部最优为基础进行求解，然后进行综合约束，得到综合最优。在确定最优轨迹的过程中，根据不同阶段的任务，实施不同的制导方式，在完成要求的基础上，使得燃料最优，同时，对于除了主减速段的其他各阶段采用简化的动力学模型，以方便计算。 5.2.1 主减速段着陆轨迹

7

根据问题一的分析以及思路，再度回归原来的复杂模型，为简便计算，在原来坐标系基础上建立如图15的坐标系，

取月心o为坐标原点， oY指向着陆转移轨道的近月

???(t)点；r为探测器到月心的距离；θ是oy和or的夹角；为推力F方向与or垂线的夹角；采用可变推力的液体发

动机，则秒耗量与推力方向为控制变量。最优控制就是要确定秒耗量与推力方向的变化规律，使性能指标最优。

着陆器质心运动学方程为着陆器质心运动方程为：

?????r??v,??图15 软着陆极坐标系 F??cosz??2vw ?????m?r?（14） ?F?m????ve?F??v??sin??2?r?2?mr? 其中v是探测器在矢径r方向上的速度；?是探测器方位角?的角速度；m是探测器质量；?是月球引力常数；ve为制动火箭以米/秒为单位的比冲，是一个常值。

假定初始时刻t0?0，终端时刻tf为任意值。软着陆的初始条件由探测器在椭圆轨道近月点处的状态确定，即

r(0)?r0?1742.013km,v(0)?0,?0?0,?(0)??0,m(0)?m0?2.4t

为了在到达月面时实现软着陆，显然应有如下终端条件

r(tf)?rf?1740.013km，v(tf)?vf?57m/s,?(tf)?0

最优软着陆轨道设计的目的是寻找最优控制u(t)?u(t)，其中u(t)??F,??，使得着陆过程

燃耗最小，即使性能指标函数

?T?dt?m0?m(tf)（15） J???mt0tf取最小值。

Pontryagin极大值原理将轨道优化问题归结为终端时间自由的两点边值问题，然后再对此两点边值问题进行求解从而获得最优控制律，这种方法称之为间接法。

用Pontryagin极大值原理求解月球软着陆问题的过程如下，根据上面的模型引入如下变量：

共轭变量：??（?r,?v,??,??,?m)T，状态变量：x?(r,v,?,?,m)T。

???f1?v???F??f?sin???r?2??2m?r2??（16） f??f3?????1Ff??(cos??2v?)?4?rm??F??f??5??C????f。 则式（18）可以写成x构造哈密顿函数

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