2013年福建省高一数学竞赛试题及参考答案

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点。定义P、Q两点间的距离PQ的最小值为曲线C1与C2间的距离。已知曲线C1：y?x2?1，曲线C2：x2?(y?r)2?r2（r?0）。

（1）求曲线C1与曲线C2间的距离f(r)的表达式； （2）若关于r的方程f(r)?m有解，求m的取值范围。 【解答】（1）曲线C2表示以A(0，r)为圆心，r为半径的圆。 设P(t，t2?1)为曲线C1：y?x2?1上任意一点。 则PA2?t2?(t2?1?r)2?t4?(2r?1)t2?(r?1)2?(t2?2r?1时，PA222r?124r?3)?。 24由于r?0，所以当t2?有最小值

4r?3。 4∴ PA的最小值为当当

4r?3。 ………………… 4分 234r?3?r，即r?时，f(r)?0。 ………………… 8分

2234r?34r?3?r，即0?r?时，f(r)??r。

222???∴ f(r)?????0r?324r?33?r0?r?22。 ………………… 12分

（2）问题等价于求函数f(r)的值域。 设0?r1?r2?3，则r1?r2?0，2?(4r1?3?4r2?3)?0。 2∴ f(r1)?f(r2)??4r1?34r2?3(4r1?3)?(4r2?3)?r1??r2??(r1?r2) 222(4r1?3?4r2?3)?(r1?r2)?0

2?(4r1?3?4r2?3)4r1?3?4r2?3333∴ f(r1)?f(r2)，f(r)在区间(0，)上为减函数，r?(0，)时，f(r)的值域为(0，)。

222又r??33?时，f(r)?0。因此，f(r)的值域为?0，??。 22???3? ∴ m的取值范围为?0，??。 ………………… 16分 2??2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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914．过坐标原点O作圆C：(x?)2?y2?9的两条切线，设切点为A，B。

2（1）求直线AB的方程以及线段AB的长； （2）求△OAB内切圆的方程。

【解答】（1）依题意，A，B为以OC为直径的圆与圆C的交点。

9929（）∵ 以OC为直径的圆的方程为(x?)2?y2?，即x2?y2?x?0。

442又圆C方程化为x2?y2?9x?将两圆方程相减得，

x?5。 245?0， 4945x??0，即24∴ 直线AB的方程为x?5。 2第14题答题图

…………… 4分

95易知，圆心C到直线AB的距离d???2。

22∴ AB?232?22?25。………………… 8分

（2）设△OAB内切圆的半径为r，圆心为I，AB中点为D，圆I切边OA于E。 则由OA?OB，CA?CB，知O、I、D、C四点共线，且CD?2。 由CA?OA，IE?OA，IE?ID?r知，IE∥CA，OI?95?r?2??r。 225?rIEOIr2?∴ ，?，解得r?1。………………… 12分

9CAOC32∴ OI?330)。 ，内心I的坐标为(，223∴ △OAB内切圆的方程为(x?)2?y2?1。………………… 16分

2

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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15．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆。直线BO和CO分别与边AC、AB交于点D、E，直线DE交△ABC的外接圆于点M、N，且AM?AN。

（1）求证：AM2?AE?AB； （2）求证：AO?BC。

【解答】（1）如图，连接MB，NC。则

?ABM??MNA。

∵ AM?AN， ∴ ?AMN??MNA。

∴ ?AME??ABM。 ………………… 4分 又∵ ?MAE??BAM， ∴ △AME∽△ABM。 ∴

AMAB?AEAM， ∴ AM2?AE?AB。 ………………… 8分 （2）仿（1）可知，AN2?AD?AC。 ∴ AE?AB?AD?AC。 ∴ E、B、C、D四点共圆。

∴ ?EBO??DCO。 ……………… 12分 又O为△ABC的外心，OA?OB?OC。 ∴ △AOB≌△AOC。 ∴ AB?AC。

∴ AO?BC。 ………………… 16分

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第15题图

第15题答题图

4716．已知直线l：y??x?与幂函数f(x)?xm（m?0）的图像交于A，B两点，且

33AB?5。 4（1）求m的值；

（2）设符号?x?表示不超过x的最大整数。记Sn?f(1)?f(2)?f(3)???f(n)（n?N*）。求?S100?的值。

【解答】（1）∵ 直线l过点(1，1)，幂函数f(x)?xm的图像也过点(1，1)。 ∴ 点(1，1)是直线l与幂函数f(x)?xm图像的一个交点，不妨设此点为A。

………………… 4分

47?x0?)是直线l与幂函数f(x)?xm图像的另一个交点。 设B(x0，33则由AB?∴ x0?54753知，(x0?1)2?(?x0??1)2?()2，整理得，(x0?1)2?()2。 4334417172)或B(，0)。 或x0?，B(，444470)不在幂函数f(x)?xm的图像上，因此，幂函数f(x)?xm的图像过点显然点B(，41B(，2)。 411∴ ()m?2，m??。 ………………… 8分

42（2）由（1）知，f(x)?x∵ 对任意的正整数n，?12?11111?????，Sn?。 123nx122???2(n?1?n)， nn?nn?n?1∴ S100?2(2?1)?2(3?2)?2(4?3)???2(101?100)?2(101?1)?18。

………………… 12分

∵ 对任意的正整数n，122???2(n?n?1)， nn?nn?n?1∴ S100?1?2(2?1)?2(3?2)???2(100?99)?1?2(100?1)?19。 ∴ 18?S100?19，?S100??18。 ………………… 16分

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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17．对任意的实数x，定义?x??x??x?，其中?x?表示不超过x的最大整数。 （1）求函数f(x)??x????x?的值域；

（2）设x1，x2，…，xn是任意给定的n个互不相等的实数。 求

证

：

存

在

某

个

正

整

数

k（1?k?n），使得

?x1?xk???x2?xk???x3?xk?????xn?xk??n?1。 2【解答】（1）当x为整数时，由?x??x，??x???x知，?x??0，??x??0。 此时，f(x)??x????x??0。 ………………… 2分 当x不是整数时，由?x??x??x??1知，??x??1??x???x?， 可见不超过?x的最大整数为??x??1，即??x????x??1。 ∴ 由?x?的定义，?x??x??x?可知，

??x???x???x???x?(??x??1)?1?x??x?。 此时，f(x)??x????x??x??x??1?x??x??1。

?0当x为整数时∴ f(x)??，f(x)的值域为?0，1?。 ………………… 6分

?1当x不是整数时（2）设g(k)??x1?xk???x2?xk???x3?xk?????xn?xk? 由（1）知，对任意的正整数i，j（1?i?n，1?j?n）， 当i?j时，?xi?xj???xj?xi当i?j时，?xi?xj???xj?xi??0或1。即?x?x???xijj?xi??1。

??0。

∴ 2?g(1)?g(?2?)gn?( )?2???x1?x1???x2?x1????xn?x1????2???x1?x2???x2?x2?????xn?x2??? ???2???x1?xn???x2?xn?????xn?xn???

????x1?x1???x1?x1???????x1?x2???x2?x1?????????x1?xn???xn?x1??? ????x2?x1???x1?x2???????x2?x2???x2?x2?????????x2?xn???xn?x2??? ??????xn?x1???x1?xn???????xn?x2???x2?xn?????????xn?xn???xn?xn???

?n?0?n(n?1)?1?n(n?1)。

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 10

n(n?1)?g(2??)?gn?()∴ g(1)。 ………………… 12分

2∴ g(1)，g(2)，…，g(n)中，至少有一个数不大于∴ 存在正整数k（1?k?n），使得

n?1n?1。不妨设g(k)?。 22?x1?xk???x2?xk???x3?xk?????xn?xk??n?1。 ………………… 14分 2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 211

2013年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

（考试时间：5月12日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合A?x空真子集有（ ）

A．31个 B．30个 C．15个 D．14个 【答案】 D

【解答】由条件知，A???2， ?1，，01，，，234?，B????，1?，A?B???2，?1，，01?。∴ A?B的非空真子集有24?2?14个。 2．给出下列四个命题：

① 若平面?内有不在一条直线上的三个点到平面?的距离相等，则?∥?。 ② 三个平面可以把空间分成七个部分。

③ 正方体ABCD?A1BC11D1中与对角线DB1成异面直线的棱共有5条。 ④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中假命题的个数为（ ） ．A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 C

【解答】易知，命题②为真命题，①、③、④为假命题

113．设方程log3x?()x?0与log1x?()x?0的根分别为x1，x2，则（ ）

344?x?1?10，x?Z，B??yy??x2?1，x?R?，则A?B的非

?A．0?x1x2?1 B．x1x2?1 C．1?x1x2?2 D．x1x2?2 【答案】 A 【解答】易知x?111是方程log1x?()x?0的根，即x2?。 2244111设f(x)?log3x?()x，则f(1)?0??0，f(2)?log32??0。

339∴ 1?x1?2，0?x1x2?1。 4．函数f(x)?1111?????图像的对称中心是（ ） x?1x?2x?3x?20130) B．(?1007，0) C．(1006，0) D．(1007，0) A．(?1006，【答案】 B

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 1

【解答】设g(x)?f(x?1007)?则g(?x)?1111?????。

x?1006x?1005x?1005x?10061111???????g(x)。

?x?1006?x?1005?x?1005?x?10060)对称。 ∴ g(x)为奇函数，g(x)的图像关于原点(0，0)对称。 ∴ f(x)的图像关于点(?1007，5．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60?角，且分别与球O相切于A，B，

C三点。若球O的体积为36?，则O，P两点间的距离为（ ）

A．32 B．33 C．3 D．6 【答案】 B

【解答】由条件知，PA?OA，PB?OB，PC?OC，

PA?PB?PC?AB?BC?CA。设OP交平面ABC于点

，O1为△ABC的中心，且O1。则PO1?平面ABC2333O1A??AB?AB?PA。

3233∴ sin?APO1?O1A3OA3，。 ??sin?APO1?PA3OP34又由球O的体积为36?知，??OA3?36?，OA?3。

3∴ PO?33。

第4题答题图

?2)。若存在两条都过点P且互相垂直的直线6．已知二次函数y?ax2（a?0），点P(1，l1和l2，它们与二次函数y?ax2（a?0）的图像都没有公共点，则a的取值范围为（ ）

11?1??1???) B．?，A．(，??? C．(0，) D．?0，? 88?8??8?【答案】 A

【解答】易知l1斜率存在，且不为0。设l1的斜率为k，则l1的方程为y?2?k(x?1)。

?y?ax2由?得，ax2?kx?k?2?0。 ?y?2?k(x?1)由l1与二次函数y?ax2（a?0）的图像没有公共点知，△1?k2?4a(k?2)?0。

11△2?(?)2?4a(??2)?0。同理，由l2与二次函数y?ax2（a?0）的图像没有公共点知，

kk由△1?0，得2a?2a2?2a?k?2a?2a2?2a；

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 2

a?a2?2aa?a2?2a由△2?0，得8ak?4a?1?0，k?或k?。

4a4a2?△1?0依题意，方程组?有解。

△?0?2?a?22a?2a?2a???△1?0?∵ 方程组?无解???△2?0a??22a?2a?2a???a2?2a4aa2?2a4a1。 8，解得0?a??△1?011??)。 ∴ 方程组?有解?a?。故，a的取值范围为(，88△?0?2

二、填空题（每小题6分，共36分）

4)。若△ABC7．已知△ABC的顶点B、C在直线l：x?y?m?0上，点A的坐标为(3，2)，则m? 。 重心G的坐标为(1，【答案】 ?1

【解答】依题意有xB?xC?3?3，yB?yC?4?6。 ∴ xB?xC?0，yB?yC?2。

1)。 设BC中点为D，则点D的坐标为(0，1)代入直线l：x?y?m?0的方程，得0?1?m?0。 将点D的坐标(0，∴ m??1。

8．已知ABCD?A1BC点O1是底面A1B1C1D1的中心，M是棱BB111D1是棱长为2的正方体，的中点。则四面体O1ADM的体积为 。

【答案】 1

【解答】由正方体的性质知，O1B1∥DB，且O1B1?1DB。 2∴ DO1与BB1延长后相交，设交点为P，由M是棱BB1的中点知，

MP3?。 BP4MP3331VB?O1AD?VB?O1AD?VO1?ADB??(?2?2)?1。 BP4443第8题答题图

∴ VM?O1AD?∴ 四面体O1ADM的体积为1。

9．已知函数f(x)满足：（1）对任意的实数x，f(x?2)?f(x)；（2）对任意的实数x，

f(1?x)?f(1?x)；（3）当0?x?1时，f(x)?x。若关于x的方程f(x)?loga(x?1)?0（a?0，

且a?1）在区间?0，8?内恰有6个不同的实根，则a的取值范围为 。

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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【答案】 (6，8)

【解答】在同一坐标系内分别作出函数y?f(x)与

g(x)?loga(x?1)的图像。由两函数图像在区间?0，8?内

?g(5)?1恰有6个不同的交点知，?。

?g(7)?1g?61?loa∴ ?，解得6?a?8。a的取值范围为

log?81a?第9题答题图

(6，8)。

10．已知关于x的不等式(x?1)2?ax2有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围为 。

?169?【答案】 ?，?

?94?【解答】易知，a?0，x?0是不等式的解，x?1不是不等式的解。 ∴ 不等式的三个整数解只能为?2，?1，0。 不等式(x?1)2?ax2化为，(a?1)x2?2x?1?0。

设f(x)?(a?1)x2?2x?1，则依题意，方程f(x)?0的两根满足?3?x1??2，0?x2?1。

?9a(??1)?6?1?f(?3)?f(0)??1?0169∴ ?，且?。解得?a?。

94?4a(??1)?4?10?f(1)?(a?1)?2?1?0?f(?2)?169?∴ a的取值范围为?，?。

?94?11．对正整数n，记f(n)为数3n2?n?1的十进制表示的数码和（如，n?10时，由

3n2?n?1?311，得f(10)?3?1?1?5）。则f(n)的最小值为 。

【答案】 3

【解答】（1）易知，3n2?n?1为大于3的奇数，故，f(n)?1。

（2）若f(n)?2，则3n2?n?1只能是首位和末位为1，其余数码为0的数，即

k3n2?n?1?10?1（其中k为正整数）。

由3n2?n?1?11无正整数解，知k是大于1的整数。 由3n2?n?1?10k?1知，3n2?n?10k，n(3n?1)?2k?5k。 由于n与3n?1互质，3n?1?n。因此，n?2k，3n?1?5k。

结合3n?1?4n得，5k?4?2k。但当k为大于1的整数时，5k?4?2k。两者矛盾。 因此，f(n)?2。

（3）n?8时，3n2?n?1?201，f(8)?3。

所以，由（1）、（2）、（3）可得，f(n)的最小值为3。

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12．对给定的正整数n（n?6），由不大于n的连续5个正整数的和组成集合A，由不大于n的连续6个正整数的和组成集合B，若集合A?B的元素个数为2013，则n的最大值为 。

【答案】 12088

【解答】由条件知集合A由形如k?(k?1)?(k?2)?(k?3)?(k?4)?5k?10的数构成，其中k为正整数，且k?n?4。

集合B由形如l?(l?1)?(l?2)?(l?3)?(l?4)?(l?5)?6l?15的数构成，其中l为正整数，且l?n?5。

由5k?10?6l?15知，6l?5(k?1)，所以6(k?1)。

设k?1?6t（t为正整数），则k?6t?1，l?5t，5k?10?6l?15?30t?15。 由l?n?5，k?n?4知，t?n?5。 6n?5。 6∴ A?B由形如30t?15的数构成，其中t为正整数，且t??n?5∴ 集合A?B的元素个数为??6?。 ????2013。 ???n?5由A?B的元素个数为2013知，??63∴ 201?n?5?6?n?12089。n的最大值为12088。 20，1120834

2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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n(n?1)?g(2??)?gn?()∴ g(1)。 ………………… 12分

2∴ g(1)，g(2)，…，g(n)中，至少有一个数不大于∴ 存在正整数k（1?k?n），使得

n?1n?1。不妨设g(k)?。 22?x1?xk???x2?xk???x3?xk?????xn?xk??n?1。 ………………… 14分 2013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 211

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