巴蜀中学2019届高一（上）期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin??690???（ ） A.1 2 B.?1 2 C.3 2 D.?3 2?2x?1?2.设集合A??x?0?，B??xx?1?，则A?B?（ ）
?x?2??1??1? 1? B.??1 ， 2? A.?? ， D.?? ， 1???1 ， 2? C.??1 ， 2? ?2??2??????? 1?，b??x ， ?2?，c??0 ， 2?，若a?b?c，则实数x的值为（ ） 3.已知向量a??3 ，??A.
4 3 B.
3 4 C.?3 4 D.?4 34.已知a?sin153?，b?cos62?，c?log121，则（ ） 3A.a?b?c B.c?a?b C.b?c?a D.c?b?a
????????????????????5.在△ABC中，点E满足BE?3EC，且AE?mAB?nAC，则m?n?（ ）
A.
1 2 B.?1 2
1C.?
3
1D. 36.已知函数f?x??Asin??x???，?A?0 ， ??0 ， 0?????，其部分图象如下图，则函数f?x?的解析式为（ ）
???1A.f?x??2sin?x??
4??23???1C.f?x??2sin?x??
4??42?7.函数f?x???1?x?1?2
3???1B.f?x??2sin?x??
4??2???D.f?x??2sin?2x??
4????tanx的图象（ ） ?A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于y?x轴对称 D.关于原点轴对称
第页 1
???8.为了得到函数y?sin?2x??的图象，可以将函数y?cos2x的图象（ ）
6????A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
63C.向左平移
?6个单位长度 D.向左平移
?3个单位长度
9.不等式x?3?x?1?a2?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A.??? ， 1???4 ， ??? C.??4 ， 1? 10.将函数y?
B.??1 ， 4?
D.??? ， ?4???1 ， ???
x?3的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f?x?，则函数f?x?的图象与x?2函数y?2sin?x??2?x?4?的图象的所有交点的横坐标之和等于（ ） A.2
B.4
C.6
D.8
11.设函数f?x??ex?ln??x?的两个零点为x1 ， x2，则（ ） A.x1x2?0
B.x1x2?1
C.x1x2?1
D.0?x1x2?1
312.已知定义在R上的偶函数f?x?满足f?x?1???f?x?，且当x???1 ， 0?时，f?x??4x?，函数
81g?x??log1x?1?，则关于x的不等式f?x??g?x?的解集为（ ）
82A.??2 ， ?1????1 ， 0?
3??5?? ?1????1 ， ?? C.?? ，4??4??1??7?? ?1????1 ， ?? B.?? ，4??4??1??3?? ?1????1 ， ?? D.?? ，2??2??第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.8?13?log3tan210?? ．
???????14.已知向量a?1 ， b?2，a?a?b，则向量a与b的夹角为 ．
??15.某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）变化近似地满足函数关系：
????f?t??20?2sin?t??，t??0 ， 24?，则该天教室的最大温差为 ℃．
6??24x? x?1?3?a ，16.若函数f?x???2恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ． 2 x?1??x?3ax?2a ，三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知0????，sin??????cos??????m.
第页
2
（1）当m?1时，求?； （2）当m?5时，求tan?的值. 52?x1???ln?3x??的定义域为M. 3?x3??18.已知函数f?x??（1）求M；
（2）当x?M时，求g?x??4x?12?2x?2?1的值域.
????19.已知函数f?x??2sin??x???，???0 ， ???的最小正周期为?，且图象关于x?对称.
2?3?（1）求?和?的值；
（2）将函数f?x?的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移g?x?的单调递增区间以及g?x??1的x取值范围.
?3个单位得到函数g?x?的图象，求
20.已知f?x??xx?a?a?R?. （1）若a?1，解不等式f?x??2x；
（2）若对任意的x??1 ， 4?，都有f?x??4?x成立，求实数a的取值范围.
21.已知函数f?x?为R上的偶函数，g?x?为R上的奇函数，且f?x??g?x??log4?4x?1?. （1）求f?x? ， g?x?的解析式；
1（2）若函数h?x??f?x??log2a?2x?22a?a?0?在R上只有一个零点，求实数a的取值范围.
2??22.已知f?x??ax2?2?a?1?x?3?a?R?.
?3? 3?单调递减，求实数a的取值范围； （1）若函数f?x?在? ，?2?（2）令h?x??
f?x?a?1?3? x2?? ， 3?，使得f?x1??f?x2??，若存在x1 ，成立，求实数a的取值范围.
x?12?2?巴蜀中学2019届高一（上）期末考试
数学试题答案
一、选择题
1-5:ACADB 6-10:BBBAD 11、12：DD
二、填空题
第页
3
?1?13.0 14.120 15.3 16.? ， 1???3 ， ???
?2?三、解答题
17.解：（1）由已知得：sin??cos??1，所以1?2sin?cos??1，∴sin?cos??0， 又0????，∴cos??0，∴??（2）当m??2.
55时，sin??cos??.① 5512?法1：1?2sin?cos??，∴sin?cos???0，∴0???，
552∵?sin??cos???1?2sin?cos??由①②可得sin??2359，∴sin??cos??.②
55255，cos??，∴tan??2. 5511法2：sin2??2sin?cos??cos2????sin2??cos2??
55∴2sin2??5sin?cos??2cos2??0，∴2tan2??5tan??2?0， ∴tan??2，tan??∴tan??2.
?2?x?0???3?x?2?3?x18.解：（1）由已知可得?，∴?1?x?2，所以M???1 ， 2?. ??1x??1?3x??0??3?51??，又1?sin??cos???0，∴???，∴tan??1，
5242（2）g?x??4x?12?2x?2?1?2?22x?4?2x?1?2?2x?1??1，
2∵?1?x?2，∴
1所以当2x?1，即x?0时，g?x?max??1，当2x?4，即x?2时，g?x?max?17，?2x?4，
2所以g?x?的值域为??1 ， 17?. 19.解：（1）由已知可得又f?x?的图象关于x?∴2?2???，∴??2，
??3
对称，
?3???k???2，∴??k???6，∵??2????2，∴????6.
??????1（2）由（1）可得f?x??2sin?2x??，∴g?x??2sin?x??，
6?3???2?1???5?由2k???x??2k??，得4k???x?4k??，
223233?5??? 4k??g?x?的单调递增区间为?4k?? ，?，k?Z. 33????1?1?5??1∴sin?x???，∴2k???x??2k??，
3?26236?2第页
4
∴4k????x?4k??7?，k?Z. 3??x?0?x?0???0?x?3， 20.解：（1）由已知得：xx?1?2x，∴?x?1?2?1?x?3????x?0?x?0?????x??1， 或?x?1?2x??1或x?3???所以不等式的解为：0?x?3或x??1. （2）因为1?x?4，所以x?a?令g?x??x?令h?x??x?444?1，∴x??1?a?x??1， xxx4 4?上是增函数，g?x?max?g?4??2， ?1，显然g?x?在x??1 ，x4 2?单减，在?2 ， 4?单增，所以h?x?max?h?2??5， ?1，则h?x?在?1 ，x∴2?g?x?max?a?h?x?max?5，∴2?a?5.
21.解：（1）因为，f?x??g?x??log4?4x?1?……①，
∴f??x??g??x??log4?4?x?1?，∴f?x??g??x??log4?4x?1??x……② 由①②得，f?x??log4?4x?1??xx，g?x??. 221x1（2）由h?x??f?x??log2a?2x?22a?log4?4x?1???log2a?2x?22a
222?????1x1log2?22x?1???log2a?2x?22a?0. 222??22x?1?log2a?2x?22a??a?1?22x?22a?2x?1?0， 得：log2x2??令t?2x，则t?0，即方程?a?1?t2?22at?1?0……（*）只有一个大于0的根， ①当a?1时，t?2?0，满足条件； 4?1?0，∴a?1， a?11，a??1（舍） 2②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则
③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则??8a2?4?a?1??0，∴a?a?11时，t?22?0，综上：a?或a?1. 2222.解：（1）①当a?0时，f?x???2x?3，显然满足，
?a?0?a?011???0?a?，③?a?13?a?0，综上：a?. ②?a?122?3???2?a?aa?1?3? x2?? ， 3?，使得f?x1??f?x2??（2）存在x1 ，成立即：
2?2?第页
5
a?1?3?在x?? ，， 3?上，f?x?max?f?x?min?2?2?因为h?x??f?x?x?1?a?x?1??1?a?1? 2?， ?2，令t?x?1?? ，x?1?2?则g?t??a?t?1?a?1? 2?. ?2，t?? ，t?2?a?1?1?（i）当a?0时，g?t?在t?? ，， 2?单调递减，所以g?t?max?g?t?min?2?2?a?12?1?等价于g???g?2???a?，所以a?0.
27?2??1?a???（ii）当0?a?1时，g?t??a?t?a??2，
t????????1?a?1?a?0 ， ， ??上单调递减，在g?t?在??????上单调递增. aa????①当1?a14?1? 2?单调递增. ?时，即?a?1，g?t?在t?? ，a25?2?4a?14?1?a?1?a?，所以?a?1. 得到g?2??g???2525?2?由g?t?max?g?t?min?②当1?a1?1? 2?单调递减， ?2时，0?a?时，g?t?在t?? ，a5?2?a?12a?11?1??a?，所以0?a?. 得到g???g?2??2725?2?由g?t?max?g?t?min?③当
?1?a?11?a14?1?g，最大值则在与??2，即?a?时，g?t?min?g?g2?????中取较大者，作差比??a2a55?2???3?1?较g?2??g???3a?，得到分类讨论标准：
2?2?311?1??1?a. 当?a?时，g?2??g???3a??0，此时g?t?max?g??，
252?2??2?a?1由g?t?max?g?t?min?，
2?1?a?a?15?75?7?1?2??32a?40a?9?0?a?a?得到g???g?或， ???a288?2???15?7所以?a?. 58314?1?b. 当?a?时，g?2??g???3a??0，此时g?t?max?g?2?，
225?2?由g?t?max?g?t?min?第页
?1?a?a?14a?1??a?2a1?a?a?，得到g?2??g?，所以此时a??， ?????a252??6
a?1?3?在x?? ，， 3?上，f?x?max?f?x?min?2?2?因为h?x??f?x?x?1?a?x?1??1?a?1? 2?， ?2，令t?x?1?? ，x?1?2?则g?t??a?t?1?a?1? 2?. ?2，t?? ，t?2?a?1?1?（i）当a?0时，g?t?在t?? ，， 2?单调递减，所以g?t?max?g?t?min?2?2?a?12?1?等价于g???g?2???a?，所以a?0.
27?2??1?a???（ii）当0?a?1时，g?t??a?t?a??2，
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?1?a?11?a14?1?g，最大值则在与??2，即?a?时，g?t?min?g?g2?????中取较大者，作差比??a2a55?2???3?1?较g?2??g???3a?，得到分类讨论标准：
2?2?311?1??1?a. 当?a?时，g?2??g???3a??0，此时g?t?max?g??，
252?2??2?a?1由g?t?max?g?t?min?，
2?1?a?a?15?75?7?1?2??32a?40a?9?0?a?a?得到g???g?或， ???a288?2???15?7所以?a?. 58314?1?b. 当?a?时，g?2??g???3a??0，此时g?t?max?g?2?，
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