吉林省辽源市东辽县第一高级中学2017届高三数学上学期期末考试试

辽源市东辽一中2016-2017学年度上学期高三期末考试

数学（理）试题

本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡和答题纸.

第Ⅰ卷(选择题，共计60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1．已知P??1,0,2Q?yy?sinx,x?R，则P?Q=

A.? B. ?0? C.??1,0? D.?1,0,2 2.复数1?i?i???i等于

A.0 B.i C.?i D.1 3.“x?0”是“ln(x?1)?0”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在?ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于

215??????2211 B.? C.? D.? 333415.等差数列{an}中的a1,a5是函数f(x)?x3?4x2?12x?1的极值点，则log2a3 =

3 A.

A.2 B.3 C.4 D.5 6.我国古代用诗歌形式提出过一个数列问题：

远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？ 请你回答塔顶灯的盏数为 A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，在?ABC中，AN?为 A．3

1

12NC，P是NB上的一点，若AP?mAB?AC，则实数m的值29 B.1 C. 13 D.1 98.设a1?1，an?1?an，n?N?，则a10=

2an?1A.

1111 B. C. D. 101917219．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 1 B.

1 313C. D. 22

10.已知数列?an?满足an??A. (?(3?a)n?2,n?6?an?5,n?6，且?an?是递增数列，则实数a的取值范围是

1616,3) B. [,3) C.(1,3) D. (2,3) 7711.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为32的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为

A.6? B. 54? C.12? D．48?

12. 对于任意实数a,b，定义min?ab,????a,a?b.定义在R上的偶函数f(x)满足

?b,a?b0?x?2时，f(x)?min?2x?1,2?x?，若方程f(x)?mx?0恰有两个f(x?4)?f(x，且当)根，则m的取值范围是

11113333111111 C. ??1,1??[?ln2,?)?(,ln2] D. [?,?)?(,]

222332A.??1,1??[?ln2,?)?(,ln2] B.[?1,?)?(,1]

2

第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若sin2???sin?,??(?2,?),则tan2?的值是 ．

?x?2y?5?0?x?1y?14.已知x,y满足?则的最大值为___________.

x?y?0??x?2y?3?0

15.积分估值定理：如果函数f(x)在[a,b](a?b)上的最大值和最小值分别为M,m，那么

?x，根据上述定理：估计定积分?2dx的取值范围 ． m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)a?1b2216．设G是?ABC的重心，且7sinA?GA?3sinB?GB?37sinC?GC?0，则角B的大小为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）

求经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程.

18.（本小题满分12分）

已知数列?an?的前n项和Sn满足：Sn?n2?n． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式an； （Ⅱ）令bn?

3

?11，数列?bn?的前项和为Tn，证明：对于任意的n?N?，都有Tn?．

2(n?1)an

19. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?|x?3|?2,g(x)??|x?1|?4. （Ⅰ）若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围;

（Ⅱ）若函数f(x)?g(x)?m?1的解集为R,求m的取值范围.

20.（本小题满分12分）

如图,在四棱锥A?BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，?CDE??BED=90?，AB?CD?2，

DE?BE?1，AC?2.

（Ⅰ）证明：DE?平面ACD； （Ⅱ）求二面角B?AD?E的大小．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??)(x?R,??0,0???（Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）判断函数g(x)?f(x?求出其最值.

?2的部分图像如图所示.

?12)?f(x??12)在[???,]的单调性并

44 4

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?1?lnx(a?R)

（Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若f(x)在x?1处取得极值，且对任意的x?(0,??)f(x)?bx?2，恒成立，求实数b的取值范围；

（III）当x?y?e?1时，求证：e

x?y?ln(x?1).

ln(y?1) 5

答案

一.选择题： CABDA ACCBDAA 二.填空题：

13. ____ ____ 14. _____2______ 15. _____ ______ 16. ______ _____ 三解答题：

17.解：当截距为 时，设 ，过点 ，则得 ，即 ； 当截距不为 时，设 过点 ， 则得 ，即 ， 这样的直线有2条： ， 。 18. （Ⅰ） （Ⅱ） 19.

20. 解：（Ⅰ）证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2， 由AC＝2，AB＝2，

得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD. （Ⅱ）方法一：

过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B - AD - E的平面角． 在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2， 得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.

6

在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝2，得AD＝6. 在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝6，得AE＝7.

在Rt△ABD中，由BD＝2，AB＝2，AD＝6，得BF＝2 33，AF＝23AD.从而GF＝23ED＝23. 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝5 714，BG＝23. 在△BFG中，cos∠BFG＝GF2＋BF2－BG22BF?GF＝32. 所以，∠BFG＝π6，即二面角B - AD - E的大小是π6. 方法二：

以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)， A(0，2，2)，B(1，1，0)．

设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．

可算得AD＝(0，－2，－2)，AE＝(1，－2，－2)，DB→＝(1，1，0)． 由m?AD＝0，m?AE→＝0，即－2y1－2z1＝0，x1－2y1－2z1＝0， 可取m＝(0，1，－2)．

由n?AD→＝0，n?DB→＝0，即－2y2－2z2＝0，x2＋y2＝0， 可取n＝(1，－1，2)．

于是|cos〈m，n〉|＝|m?n||m|?|n|＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角， 故二面角B - AD - E的大小是π6. 21.（Ⅰ）由题设图像知，周期 . 因为点 在函数图像上，所以 . 又 即 .

又点 在函数图像上，所以 ，故函数f（x）的解析式为 （Ⅱ）

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