高三数学练习题（理科） 2011.5
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
21.若集合A=x|x?1，x?R，B=y|y?x，x?R，则A?B=
????（A）?x|?1?x?1? （B） ?x|x?0? （C）?x|0?x?1? （D） ? 2.设l，m是两条不同的直线，?是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若l?m，m??，则l?? （B）若l??，l//m，则m?? （C）若l//?，m??，则l//m （D）若l//?，m//?，则l//m
3．已知ξ～N( 0，?2)，若P( ξ >2 ) = 0.023，则P( -2?ξ?2 ) =
（A）0.477 （B）0.628 (C) 0.954 (D) 0.977
4．(x?26)的展开式中常数项是 x (A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 160
5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
积为 （A）
212 （B） 335 3 （D）
211正视图
1 侧视图
（C）
4 3俯视图
6.a，b为非零向量，“函数f(x)?(ax?b)2 为偶函数”是“a?b”的 （A） 充分但不必要条件 （C） 充要条件
（B） 必要但不充分条件 （D） 既不充分也不必要条件.
7．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1??11，a4?a6??6，则当Sn取最小值时，n等于
（A）6 （B） 7 (C) 8 (D)9
8. 已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA?PB?PC?0，且AB?AC?mAP，
那么 实数m的值为
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
29.由直线y?x与曲线y?x所围图形的面积S? ．
10．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3. 若该样本的平均值为1，则样本方差为 ．
11．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ．
开始 a =2，i=1 是 i≥2010 否 a?1?1 a输出a 结束 i=i+1 l C D A B O
12. 如图，已知⊙O的直径AB?5，C为圆周上一 点，BC?4，过点C作⊙O的切线l，过点A作
l的垂线AD，垂足为D，则CD?___________．
3?x?1?t,??513.若直线l的参数方程为?（t为参数），则直线l的斜率为 ； 在极
4?y?t?5?坐标系中，直线m的方程为?sin(???4)?7?2)到直线m的距离为____．，则点A(2, 42?x?y??1?14．已知点A(4, 1)和坐标原点O，若点B(x,y)满足?x?y?1，则OA?OB的最大值
?3x?y?3?是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题共13分）
设函数f(x)?cos(2x??6)?sin2x.
（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）设A，B，C为?ABC的三个内角，若AB=1，sinB=
1C3， f()=，求AC的322长.
16 （本小题共13分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
17 （本小题共13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ； （Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM = tMC，试确定t的值．
1AD=1，CD=3． 2P
M D Q A B C
18 （本小题共13分）
已知数列{an}，其前n项和为Sn?327n?n22(n?N?).
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}满足an?log2bn，请证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和.
19（本小题共14分）
已知函数f(x)?lnx?a?x，其中a为大于零的常数. x（I）若曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y?1?2x平行，求a的值； （II）求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值.
20 （本小题共14分）
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的长轴长为22，离心率e?.
ab2（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若过点B（2，0）的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E，F（E在
B，F之间），且?OBE与?OBF的面积之比为
1，求直线l的2方程.
高三数学 参考答案 （理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）C （4）A （5）D （6）C （7）A （8）C
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） 2 （11）-1 （12）
161242 （13）?； （14）11 532
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题共13分） 解：f(x)?cos(2x??6)?sin2x
=cos2xcos分
（I）令2k???6?sin2xsin?6?sin2x?31?cos2x?sin2x?sin(2x?)......3223?2?2x??3?2k???2,k?Z，则k??5???x?k??,k?Z 1212所以函数f(x)的单调递增区间为[k??5??,k??](k?Z). ....................................6分 1212（II）由已知f()=sin(C?C２?3)?3， ……………………………………………….8分 ２?4? 3因为0?C??,??3?C??3所以C??3?2??3，C?，所以sinC =. …………………………………………10分 3321ACABAB?sinB23?在?ABC中，由正弦定理，，得AC?. …..13?3?sinBsinCsinC932分
16（本小题共13分）
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A. …………………………1分
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分
p(A)?分
64213??? …………………………41010315(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0，1，2，3.
3021C4C6C4C13P(X?0)?3?,P(X?1)?36?,
C1030C10101203C4C61C4C1P(X?2)?3?,P(X?3)?36?. ………………8分
C102C106 X P 0 1 2 3 1 303 101 21 6 ……………9分
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B， ……………10分 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?1131?()?. ………………………………………………………13分 30381017（本小题共13分）
证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ………………………………………1分 ∵BC∥AD且BC=
1AD，即BC//AQ， 2∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点， 又∵点M在是棱PC的中点，
∴ MN // PA. ……………………………………………………………………2分 ∵ MN?平面MQB，PA?平面MQB， …………………………………3分 ∴ PA // 平面MBQ． …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵AD // BC，BC=
1AD，Q为AD的中点， 2∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．……………………………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， ………………………………………………7分 ∴BQ⊥平面PAD． …………………………………………………………8分
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …………………………………………………………9分 另证：AD // BC，BC=
1AD，Q为AD的中点 2∴ BC // DQ 且BC= DQ，
∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………………………6分 ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． …………………………………………………7分 ∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ………………………………………………8分 ∵ AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面z ABCD．…10分
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分） 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为n?(0,0,1)；
P M D Q A x N B C Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?1,3,0)．………
11分
设M(x,y,z)，
则PM?(x,y,z?3)，MC?(?1?x,3?y,?z)， ∵PM?tMC，
y t?x???1?tx?t(?1?x)???3t?∴ ?y?t(3?y)， ∴ ?y? …………………12分
1?t???z?3?t(?z）?3z???1?t在平面MBQ中，QB?(0,3,0)，QM?(?t3t3,,)， 1?t1?t1?t∴ 平面MBQ法向量为m?(3,0,t)． ∵二面角M-BQ-C为30°， cos30??n?mnm?t3?0?t2?3， 2∴ t?3． …………………………………………………………13分
18（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?5， ……………………………………………………1分
当n?2时，an?Sn?Sn?1?327[n?(n?1)2]?[n?(n?1)] 2237?(2n?1)??3n?2． ……………………………3分 22又a1?5满足an?3n?2， ……………………………………………………5分 ?an?3n?2(n?N?)． ………………………………………………………6分 ∵an?an?1?3n?2?[3(n?1)?2]?3 (n?2,n?N)，
∴数列?an?是以5为首项，3为公差的等差数列． ……………………………7分
（Ⅱ）由已知得bn?2n (n?N)， …………………………………………8分
a??bn+12an+1=an=2an+1-an=23=8 (n?N?)， ……………………10分 ∵ bn2又b1?21?32，
a∴数列{bn}是以32为首项，8为公比的等比数列. ………………………12分
32(1?8n)32n?(8?1). …………………………13分 ∴数列{bn}前n项和为
1?87
19（本小题共14分）
解：f'(x)?1?x?(a?x)1ax?a???2?2(x?0) ………………………………..4分 xx2xxx （I）因为曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y?1-2x平行，
所以f'(1)?-2，即1?a??2,解得a?3. ……………………………………6分
(II)当0?a?1时，f'(x)?0在（1，2）上恒成立，
这时f(x)在[1，2]上为增函数
?f(x)min?f(1)?a?. 1 ………………………………………………….8分 当1?a?2时，由f'(x)?0得，x?a?(1,2)
对于x?(1,a)有f'(x)?0,f(x)在[1，a]上为减函数，
对于x?(a,2)有f'(x)?0,f(x)在[a，2]上为增函数，
?f(x)min?f(a)?lna. …………………………………………………..11分
当a?2时，f'(x)?0在（1，2）上恒成立，
这时f(x)在[1，2]上为减函数，
? ?f(x)min?f(2)?ln2
a?. 12综上，f(x)在[1，2]上的最小值为
①当0?a?1时，f(x)min?a?1, ②当1?a?2时，f(x)min?lna， ③当a?2时，f(x)min?ln2?a?1. ……………………………………….14分 2
20（本小题共14分）
?c2e???a2?22?xy.解：（I）椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，由已知得?2a?22 ……..3分
ab?a2?b2?c2??? 解得a?2, b?1,c?1
x2?y2?1. ………………………………………………… 5分 ∴所求椭圆的方程为2(II)由题意知l的斜率存在且不为零，
x2?y2?1，整理得 设l方程为x?my?2(m?0) ①，将①代入2(m2?2)y2?4my?2?0，由??0得m2?2. ………….……………….……….7分
?4m?y?y?2??1m2?2设E(x1,y1)，F(x2,y2)，则? ②. …………………………8分
2?yy??12m2?2?由已知，
S?OBE1|BE|1?， 则?
|BF|2S?OBF2由此可知，BF?2BE，即y2?2y1. …………………………………………….10分
?4m?3y?1?216m22?m2?2代入②得，?，消去y1得?2 ?229(m?2)m?2?2y2?21?m2?2?解得，m?2182，满足m?2. 7即m??314. ………………………………………………………….13分 7所以，所求直线l的方程为7x?314y?14?0或7x?314y?14?0. …….14分 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)
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