概率论与数理统计修订版第四章练习答案郝志峰,谢国瑞

9.设随机变量?服从瑞利(Rayleigh)分布，其密度函数为?2x?x2f(x)??2??2e,x?0

???0,x?0试求：E?，D?，P(??E?).x2解：E????????x?f(x)dx????0x?x?2?2?2edx?2?2?????xE?2????x2?f(x)dx??0x2?x2?22?2?2edx?

D??E?2?(E?)2?(2??22)?2?xP(??E?)?P(???2?2??2?)????x??edx?e4.2?2.在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，试用切比雪夫不等式估计，在次独立重复试验中，事件A发生450到550次之间的概率。

解：设在1000次试验中A发生?次，则?~B(1000,0.5)，从而E??np?500，D??npq?250，由切比雪夫不等式得到：

P(450???550)?P(??500?50)?1?D?502?0.9..一个供电网内共有1万盏功率相同的灯，在夜晚的某段时间内每盏灯开着0.7，设各盏灯的开或关彼此独立，试用切比雪夫不等式估算该时段内?在6800到7200之间的概率。解：设?代表同时开着得灯数，从而?~B(10000,0.7)?E??np?7000，D??npq?2100

P(6800???7200)?P(??7000?200)?1?D?2002?0.9475.

6

101000

11的概率是同时开着的灯数由切比雪夫不等式可得

12.设一条自动生产线生产的产品之合格率为0.8，要使一批产品的合格率达到0.76与0.84之间的概率不小于0.9，试用切比雪夫不等式估计这批产品至少

应生产多少件。解：设至少生产n件，其中合格品件数为?~B(n,0.8)，从而E??np?0.8n，D??npq?0.16n又P(0.76??n?0.84)?P(0.76n???0.84n)?P(??0.8n?0.04n)?1?D?(0.04n)2?1?100n

由题意P(0.76??n?0.84)?0.9所以1?100n?0.9，从而n?1000故，至少应生产1000件产品。

13.设随机变量?在(0，1)上服从均匀分布，试求一常数a，使任取4次?的值，至少有1个大于a的概率为0.9。

解：?的密度函数f(x)??1x?(0,1)??0其他令A?“取1次?的值大于a”，则p?P(A)??1?f(x)dx??a?1dx?1?aa

令?代表4次取值中，事件A发生的次数，则?~B(4,p)?P(??1)?1?P(??0)?1?C00444p(1?p)?1?a?0.9从而a4?0.1?a?40.1?0.562.

14.设随机变量?在(1,6)上服从均匀分布，求方程x2??x?1?0有实根的概率。?1解：?的密度函数为f(x)???5x?(1,6)??0其他方程x2??x?1?0有实根，则?2?4?0???2或???2 ?p??)dx???2?1x2?4?0f(x??0dx?625dx?45.15.某次考试中，考生得分?服从（50，90）上的均匀分布，求任意4个考生至少有3人在60分以上的概率。

7

解：分数?服从（50，90）上的均匀分布，其密90?1?,50?x?90,度函数为f(x)??40?0,其他?P(??60)?所求概率为60?40dx1?3/4.设4个人中在60分以上的人数为?，则?~B(4,3/4).

P(??3)?P(??3)?P(??4)?0.738.16.设某连续型随机变量?的分布函数为a,x?1??F(x)??xlnx?bx?d,1?x?e?c,x?e?试求：（1）a、b、c、d之值；（2）P(??2);(3)概率密度f(x).

解：（1）由分布函数的性质，又由连续型随机变量的n???limF(x)?0,得a?0;limF(x)?1,得c?1;n??分布函数的连续性，F(1)?F(1?0)?0,得?b?d?0;(*)F(e)?F(e?0)?1,得e?eb?d?1;(**).由（*），（**）得b?1,d?1.(2)P(??2)?1?P(??2)?1?F(2)?2?2ln2.(3)f(x)?dF(x)dx?lnx,x?[1,e]??.?0,x?[1,e]

17.客车到达某一站的时刻8点到9点间随时到达该站，求为每个整点的第5分、25分、55分钟。设一乘客在早候车时间的数学期望。

解：设乘客到站时刻为?5????25??????55???60???5??E??8点?分，则?~U(0,60)，令候车时间为0???55???2525???5555???60?，则?50(5?x)?160dx??255(25?x)?160dx??5525(55?x)?160dx??6055(65?x)?160dx?11.7（分）

18.假定在国际市场上每年位：t)，设每售出此商品对我国某种出口商品的需求量?~U(2000,4000)(单积，仓库则需1t，可得外汇3万元，若因售不出而囤收益最大。

花保养费1万元/t，问组织多少货源可使 8

解：?~U(2000,4000)，则?的密度函数为?f(x)??1?20002000?x?4000??0其他组织货源x0，再令收益为?，则???3x??x?00?3??(x0??)??x

0E???400010?1x3x0?02000dx??x2000[3x?(x0?x)]2000dx?1?2000?3x(4000?x)?1[9x2?(8000?x)2]??00800??要使E?最大，则d(E?)（d??0，从而x0?3500t）.设随机变量?具有连续的分布函数F(x)，试证??F(?)是(0,1)上的均匀分布。解：因为F(x)单调连续，且0?F(x)?1，从而当y?0时，P(??y)?0当y?1时，P(??y)?1在y?(0,1)时，P(??y)?P(F(?)?y)?P(??F?1(y))?F(F?1(y))?y

?0y?0Fy)??0?y?1?(?y0?y?1从而f(y)??1??其他?1y?1?0??F(?)是(0,1)上的均匀分布。20.设?~N(1,22)，试查表求出下列概率：(1)P(??2.2)；(2)P(?1.6???5.8)； (3)P(??3.5)；(4)P(??4.56).9

?19

?因此，

解：因为?~N(1,2)，所以有：(1)P(??2.2)?P(2??12?2.2?122)?P(???12??0.6)??(0.6)?0.72575.8?12)?P(?1.3?(2)P(?1.6???5.8)?P(?1.6?1??12??12?2.4)??(2.4)??(?1.3)??(2.4)??(1.3)?1?0.8950(3)P(??3.5)?P(?3.5???3.5)?P(?3.5?12???12?3.5?12

)??(1.25)??(2.25)?1?0.8822(4)P(??4.56)?1?P(?4.56???4.56)?1?P(?4.56?12???12?4.56?12)?1?[?(1.78)??(2.78)?1]?0.0402.

21.设?~N(60,9)，试求出分点x1，x2，x3，x4使?落在区间(??,x1),(x1，x2),7：24：38：24：7.(x2，x3),(x3，x4),(x4,??)内的概率值之比为解：由?~N(60,9)，令??由正态分布密度函数的

??603~N(0,1)对称性，可见x4?60??(x1?60)，x3?60??(x2?60)x3?60?x3?60?由???0.69，得到?0.496，从而?33??x4?60?x?60?由??4?1.474，从而??0.93，得到33??2

x3?61.488，x2?58.512x4?64.422，x1?55.578.22.设?~N(2,?)，若P(?1???2??)?0.6826，求?.

2解：由?~N(2,?)，令??P(?1???2??)?P(?1?2??2??~N(0,1)?2???2)?P(3?3???2?3??2?????1)

??(1)??(???(3)?0.8413，从而3?)??(1)??(?)?1?0.6826???1，因此??3.

10

概率论与数理统计第四章习题

1.试根据习题3第1题随机变量?的概率分布列写出?的分布函数，并

画出分布函数的图形。解：概率分布列为??0123???0.0270.1890.4410.343????0x?0??0.0270?x?1其分布函数为F(x)???0.2161?x?2

??0.6572?x?3??1x?3

2.已知离散型随机变量?的分布函数是?0，???x?0??1F(x)??，0?x?1?102?5，1

??102?x?1?11?x???试求?的概率分布列。解：P(??0)?F(0)?F(0?0)?1110?0?10P(??12)?F(12)?F(12?0)?51410?10?10P(??1)?F(1)?F(1?0)?1?5

10?510??011???~?2???145?.??101010??

1

（图形略）。3.已知?的分布函数为?0,???x??1??1,?1?x?0?3F(x)???12,0?x?1

??2?,1?x?2?3?1,2?x???试求???2的分布函数。解：P(???1)?F(?1)?F(?1?0)?1?0?133P(??0)?F(0)?F(0?0)?112?3?16P(??1)?F(1)?F(1?0)?213?2?16P(??2)?F(2)?F(2?0)?1?23?13??1012??~??1111?.?3663???014?而???2，从而?~??111??623???0y?0??10?y?1?的分布函数为F(y)???6.?21?y?4?3??1y?42

??

4.已知离散型随机变量?0?1??31a1.5b?的分布列和分布函数可2163??c?????x??1?1?x?00?x?11?x?22?x?33?x???以写出?0,?r,??s,?F(x)??1?,2?t,???u,

其中a,b,c,r,s,t,u是常数，试先求概率c,r,s,t,u的值。P(??1.2)，P(??0.5),再求常数a,b,解：P(??1.2)?F(1.2)?F(1.2?0)?12?12?013?231316P(??0.5)?1?P(??0.5)?1?P(??0)?1?0?P(???1)?F(?1)?F(?1?0)?r?0?r13?P(??0)?F(0)?F(0?0)?s?r?s12?s?122316316?r?0?s??a?a?P(??1)?F(1)?F(1?0)?16又?P(??2)?F(2)?F(2?0)?t?x?3时，F(x)?1，?u?1?t?2313c?P(??3)?F(3)?F(3?0)?1?而?13?c??ipi?1，16从而1313?a?b??c?1，23?b?0因此，a?，b?0，c?，r?0，s?1，t?，u?1.

5.设连续型随机变量?的分布函数是?x2??F(x)??A?Be?0,?求系数A和B.2,x?0 x?0 3

解：由limF(x)?1，得limA?Bex???x????x22?A，?A?1以lim－F(x)?lim?F(x)

x?0x?0又因为连续型随机变量的分布函数也连续，所2从而0?limA?Be?x2??A?B，?B??1.x?0

6.设随机变量?的密度函数为?Af(x)??,x?1?1?x2??0,x?1试求：（1）系数A；

2）概率P????1??；?2?3）分布函数F(x).解：(1)????f(x)dx?1，??1Adx?1???11?x2解得A?1?1(2)P(??1)?P(?122???112)??21dx?1?2?1?x23??0x??1?0(3)F(x)??x?1dx?1?x?1???11???1?1?x22??arcsinx???1x?1?1

7.设随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为f(x)?Ae?x,???x???试求：（1）系数A；

2）概率P(0???1);3）分布函数F(x).

x??1?1?x?1.x?14

（（（（解：(1)????f(x)dx?1，??????Ae?xdx?1??解得A?12(2)P(0???1)??1112e?xdx?1?x0?12edx?102?2e?1

?x1x???x?0?1x????x?0(3)F(x)????2edx???2e?.?01??exdx?x1?x0?x?????1?12e?x0?x?????2?edx028.设连续型随机变量?的密度函数是?13?xf(x)???2xe2/2,x?0??0,其他 试求：（1）?的分布函数F(x);(2)???2?1的密度函数f?(y).x解：（1）（i）当x?0时，F(x)??f(u)du?0;??xx(ii)当x?0时，F(x)??f(u)du??f(u)du?1?(1x2?1)e?x2/2.??02?综上，F(x)??0,x?0,?12??1?(2x2?1)e?x/2,x?0.(2)F?(y)?P(??y)?P(?2?1?y)?P(?2?y?1).当y?1时，F?(y)?0;当y?1时，F2?(y)?P(??y?1)?P(?y?1???y?1)?F?(y?1)?F?(?y?1)?1?(1?(y?1)/22(y?1)?1)e.?0,y?1综上，F???(y)?1??1?(2(y?1)?1)e?(y?1)/2,y?1.?0,yf)???1?(y?1?(y?1??4(y?1)e)/2,y?1.5

因而，

23.测量到某一目标的距离时发生的随机误差?（米）具有概率密度(x?20)2f(x)?1e?3200402?

求在3次独立的测量中至少有1次误差的绝对值不超过30米的概率。解：由题意，?~N(20,402)令A?“1次误差的绝对值不超过30米”，则P(A)?P(??30)?P(?30???30)?P(?30?20??20?2040?40?3040)?P(?1.25???2040?0.25)??(0.25)??(1.25)?1?0.4931?代表3次独立重复测量中，事件A发生的次数，则?~B(3,0.4931)P(??1)?1?P(??1)?1?P(??0)?1?(1?0.4931)3?0.8698.24.设电视机的使用寿命?是服从参数值??0.1的指数分布，某人买了一台5年以上的概率；若?不服从指数分布，设其分布函

数为F(x)，且已知此电视机已用过s年，则上述的概率将成什么？解：?的密度函数为f(x)???0.1e?0.1xx?0?0其他P(??5)????0.1e?0.1xdx?e?0.5?0.60655

P(??s?5??s)?P(??s?5)1?P(??s?5)1?F(s?5)P(??s)?1?P(??s)?1?F(s).25.设随机变量?服从参数为2的指数分布，试证??1?e?2?在区间(0,1)上

服从均匀分布。解：?~E(2)，?的密度函数为?2e?2xf(x)??x?0?0其他当0?y?1时，P(??y)?P(1?e?2??y)?P(???12ln(1?y))1???2ln(1?y)2e?2xdx?y0

?0y?0F?P(??y)???1?(y)?y0?y?1，f0?y?1?(y)????1y?1?0其他??1?e?2?~U(0,1).11

以

?

旧电视机，问尚能使用?

???

26.某厂产品的寿命T（单位：年）服从指数t?0t?0分布，其概率密度函数为?1?t?e5,f(t)??5??0,工厂规定，售出的产品若在1年内损坏可以调换。若工厂售出1件产品可1件产品获利的

获利100元，调换1件产品工厂要损失数学期望值。300元，试求工厂售出?100解：由题意，1件产品获利p????300则E(p)?T?10?T?1100?15e?t5?10(?300)?15e?t5

?0.2dt????1dt?400e?300?27.49

27.已知随机变量?有P(??1)?1/4极其分布函数为0,x??1???1/8,x??1F(x)???ax?b,?1?x?1?1,x?1?

试求参数a,b的值。解：由P(??1)?F(1)?F（1-0）?1（-a?b）?1/4,(*);又由分布函数的右连续F(?1)?F(?1?0),得1/8??a?b,(**).由（*），（**）得a?5/16,b?7/16.性

28.设某个卫星的寿命长度是服从指数分布的随机3年后，至少还有变量，期望寿命是2年，若同时发射3颗这样的卫星，问的概率。1颗卫星仍在轨道上运行

解：令?代表某个卫星的寿命长1所以?~E()，其密度函数为2?0.5e?0.5xf(x)??0?令A?“3年后，此卫星还正常运P(A)?P(??3)???度，由于E(?)?2，从而??12，x?0其他行”，则dx?e?1.5

?30.5e?0.5x令?代表“3年后，仍在轨道运行的卫星数量”，则?1.5?~B(3,e)?0.5323?1.5)?P(??1)?1?P(??1)?1?P(??0)?1?(1?e

12

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