重庆市2017届高三学业质量调研抽测(第一次)数学(理)试题Word版含

重庆市2017届高三学业质量调研抽测

（第一次） 数学（理）试题

（第二次） 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足?z?i??1?2i??2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合A?x|x2?3x?2?0,B?x|1?2x?4，则A?B?（ ）

A．?x|1?x?2? B．?x|1?x?2? C．?x|1?x?2? D．?x|0?x?2? 3.若过点M?1,1?的直线l与圆?x?2??y2?4相较于两点A,B，且M为弦的中点AB，则AB为

2????（ ）

A．22 B．4 C．2 D．2 4. ?2?x??1?2x?展开式中，x2项的系数为（ ） A．30 B．70 C.90 D．-150 5.已知函数f?x??sin?2x??????单调递增区间是（ ） A．??5????2??的图象向左平移

?6个单位后关于y轴对称，则函数f?x?的一个

?5?????????????2??,? B．??,? C. ??,? D．?,? ?612??36??63??63?6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?a2?a3?a4?a5,S5?60，则a10?（ ） A．16 B．20 C.24 D．26

x2y217.设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?2相切，则该双曲线的离心率为（ ）

ab2A． 5 B．5 C. 3 D．6 28.将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有

（ ）

A．18种 B．36种 C.48种 D．60种 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．14 B．15 C. 16 D．17

?x?y?4y?10.设实数x,y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?的取值范围是（ ）

x?1?x?1?0?A．(??,?]??0,? B．?,? C. ??,? D．??,?

2242242211.已知函数f?x?的导函数为f??x?，且f??x??f?x?对任意的x?R恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）

A．f?ln2??2f?0?,f?2??ef?0? B．f?ln2??2f?0?,f?2??ef?0?

221?3????13????11????13???C. f?ln2??2f?0?,f?2??ef?0? D．f?ln2??2f?0?,f?2??ef?0?

22?2?x,x?0,212.已知函数f?x???若关于x的方程f?x??f?x??m?0有三个不同实数根，则m的取值

??lnx,x?0,范围是（ ） A． m?11 B．m??2 C. ?2?m? D．m?2 44第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

???????13.设向量a,b的夹角为?，已知向量a?x,3,b?x,?3，若2a?b?b，则?? ．

??????14.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a,b，且

a?2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 ．

15.已知???3???,??，且cos2??sin???2???，则tan?? ．

10?2?216.设抛物线y?4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B，若点M满足

?????1????????过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若PF?2，则M点的横坐标为 ． OM?OA?OB，

2??三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn?3an?2nn?N*. （Ⅰ）证明数列?an?1?是等比数列，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?an?2n?1，求证：

??111111???????n?1. b1b2b3bn22

18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人.

（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；

平均车数超过 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 平均车速不超过 合计 100km/h人数 100km/h人数 （Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为?，若每次抽取的结果是相互独立的，求?的分布列和数学期望.

n(ad?bc)2参考公式：k?，其中n?a?b?c?d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据：

P(K2?k0) 0.150 2.072 0．100 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0

19.已知?ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c. （Ⅰ）若C?2B，求证：cosA?3cosB?4cos3B；

b2?c2?a2（Ⅱ）若bsinB?csinC?a，且?ABC的面积S?，求角B.

4

x2y220.已知F1,F2分别为椭圆C:??1的左、右焦点，点P?x0,y0?在椭圆C上.

32?????????（Ⅰ）求PF1?PF2的最小值；

?????????（Ⅱ）若y0?0且PF1?PF2?0，已知直线l:y?k?x?1?与椭圆C交于两点A,B，过点P且平行于直线

l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；

若不能，请说明理由.

21.已知函数f?x??ln?x?1?,g?x??12x?x. 2（Ⅰ）求过点??1,0?且与曲线y?f?x?相切的直线方程；

（Ⅱ）设h?x??af?x??g?x?，其中a为非零实数，若y?h?x?有两个极值点x1,x2，且x1?x2，求证：

2h?x2??x1?0.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

?2x?1?s??x?tcos??222.在直角坐标系中，曲线C1:?（?为参数，t?0），曲线C2:?（s为参数）.

y?tsin??1??y??1?2s??2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为：?cos???sin??2，记曲线C2与C3的交点为P. （Ⅰ）求点P的直角坐标；

（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相较于A,B两点，求PA?PB的值.

23.设f?x??x?1?2x?1的最小值为m. （Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设a,b?R,a?b?m，求

222214的最小值. ?22a?1b?1重庆市2017届高三学业质量调研抽测 （第一次）数学（理）试题答案

一、选择题

1-5: DCABB 6-10: DBDCD 11、12：AB

二、填空题

13. ? 14.

231 15.-7 16.3 5三、解答题

17.解：（Ⅰ）由2Sn?3an?2n得：2Sn?1?3an?1?2?n?1?

2Sn?2Sn?1?3an?3an?1?2，即：an?3an?1?2

an?1?3?an?1?1?，所以?an?1?是以a1?1为首项，公比为3的等比数列，

由2S1?3a1?2知a1?2

an?1??a1?1??3n?1?3n，即an?3n?1

（Ⅱ）?bn?an?2n?1?3n?2n

?3n?2n?2n?2n?2n?1?11 ?nnn?13?22?11111111 ???????2????233nnb1b2b3bn3?23?23?23?21?1?1???1111122?2n?1?2?3?4???n?1???n?1

12222221?218. 解：（Ⅰ）

平均车数超过 人数 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 20 5 25 人数 10 15 25 30 20 50 平均车速不超过 合计 50?20?15?10?5?252?K???8.333?7.879，

30?20?25?253?所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关.

（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为

2153?. 5010?3???的可能取值为0,1,2,3，且??B?3,?，

?10?343441?3??7?1?3??7?， ?P???0??C?????,P???1??C3??????10??10?1000?10??10?1000030312189?3??7?3?3?P???2??C32?????,P???3??C3???10??10?1000?10?分布列为：

21327?7?， ???101000??0? P 0 1 2 3 343441 10001000343441189279E????0??1??2??3???0.9.

1000100010001000103或E????np?3??0.9.

1019. 解：（Ⅰ）?C?2B,?A???3B，

189 100027 1000?cosA?cos???3B???cos?B?2B?

??cosBcos2B?sinBsin2B

??cosB?2cos2B?1??2sin2BcosB ?cosB?2cos3B?2cosB?1?cos2B? ?3cosB?4cos3B， ?cosA?3cosB?4cos3B

b2?c2?a2b2?c2?a21,?S??bcsinA （Ⅱ）在?ABC中，?S?442b2?c2?a21由余弦定理知：?bccosA

4211?bccosA?bcsinA?tanA?1?A?45? 22?bsinB?csinC?a,?sin2B?sin2C?sinA??cos2C?cos2B?2,?2C?2??2A?2B?2 23??2B 2?????sin2B?cos2B?2,?sin?2B????1

4???2B??B??4?3? 25??112.5? 820. 解：（Ⅰ）由题意可知，F1??1,0?,F2?1,0?,

??????????PF1???1?x0,?y0?,PF2??1?x0,?y0?

??????????PF1?PF2?x02?y02?1

2x02y022x02 ??1，即y0?2??点P?x0,y0?是椭圆C上，?323?????????21?PF1?PF2?x02?2?x02?1?x02?1，且?3?x0?3 33??????????PF1?PF2最小值1.

??????????23?（Ⅱ）?PF1?PF2?0,?x0??1,?y0?0?P??1, ???3??设A?x1,y1?,B?x2,y2?.

?y??k?1??由?x2y2得，?2?3k2?x2?6k2x?3k2?6?0，

?1??2?36k23k2?6?x1?x2??,x1,x2?， 222?3k2?3k?x1?x2??x1?x2?243?1?k2?4x1x2?， 22?3k?AB?1?k2?x1?x2?43??1?k2?2?3k2 ?2323?直线的方程为y??k?x?1?. PQ?P??1.,PQ//AB,????33???232y??k?x?1??????2323?3由?得，?2?3k2?x2?6k?k?x?3?k??6?0， ??????223?3????x?y?1?2?32?3k2?43k， ?xP??1,?xQ?22?3k?PQ?1?k?xP?xQ?1?k?224?43k2?3k2，

若四边形PABQ能成为平行四边形，则AB?PQ，

?43?1?k2?4?43k，解得k??3. 3?符合条件的直线l的方程为y??21. 解：（Ⅰ）f??x??3?x?1?，即x?3y?1?0. 31 x?1设切点为?x0,y0?，则切线的斜率为k?1 x0?1点?x0,y0?在f?x??ln?x?1?上，?y0?ln?x0?1?

ln?x0?1?1，解得x0?e?1 ??x0?1x0?11?切线的斜率为，?切线方程为x?ey?1?0

e1（Ⅱ）h?x??af?x??g?x??aln?x?1??x2?x

2x2??a?1?ah??x???x?1?,x??1

x?1x?1当a?1?0时，即a?1时，h??x??0,h?x?在??1,???上单调递增；

当0?a?1时，由h??x??0得，x1??1?a,x2?1?a，故h?x?在?1,?1?a上单调递增，在

????1?a,1?a上单调递减，在

??1?a,??上单调递增；

?当a?0时，由h??x??0得，x0?1?a,h?x?在?1?a,1?a上单调递减，在递增.

当0?a?1时，h?x?有两个极值点，即x1??1?a,x2?1?a，

???1?a,??上单调

??x1?x2?0,x1x2?a?1，由0?a?1得，?1?x1?0,0?x2?1

由2h?x2??x1?0?2h?x2??x2?0?2aln?x2?1??x2?x2?0

222?x2?1?a,?a?1?x2，即证明2?1?x22?ln?x2?1??x2?x2?0

即证明2?1?x2?ln?x2?1??x2?0

构造函数t?x??2?1?x?ln?x?1??x,x??0,1?，

t??x??1?2ln?1?x??0,t?x?在?0,1?上单调递增，

又t?0??0，所以t?x??0在x??0,1?时恒成立，即2?1?x2?ln?x2?1??x2?0成立

?2lnx2?x1?0.

?2x?1?s??222. 解：（Ⅰ）由曲线C2:?可得普通方程x?y?0. ?y??1?2s??2由曲线C3:?cos???sin??2可得直角坐标方程：x?y?2?0.

?x?y?0由?得P?1,?1?，

x?y?2?0?（Ⅱ）曲线C1:?2?x?tcos?（?为参数，t?0）消去参数?可得普通方程：

?y?tsin??1x2??y?1??t2，圆C1的圆心C1?0,1?半径为t， ?曲线C1与C2有且只有一个公共点，?0?1?22?t，即t?32， 2设A?x1,?x1?,B?x2,?x2?

?x?y?07?2联立?2得 4x?4x?7?0,?x?x??1,xx??9212124x??y?1????22?PA?PB?2?x1?1??2?x2?1??2?x12?x2??4?x1?x2??4

22222?2?x12?x2??4?x1?x2??4x1x2?4?17.

23. 解：（Ⅰ）当x??1时，f?x???3x?1?2 当?1?x?1时，f?x??x?3?2 当x?1时，f?x??3x?1?4

?当x??1时，f?x?取得最小值m?2

（Ⅱ）由题意知a?b?2,a?1?b?1?4

2222?14124??12??a?1?b?1????2? 222a?1b?14?a?1b?1?21?b2?14?a?1??9?? ??5?2?24?a?1b?1?4??2b2?14?a?1?1252当且仅当2时，即?a?,b?等号成立，

a?1b2?133?

149的最小值为. ?22a?1b?14

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