21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在
1﹣x
．（a∈R，e为自然对数的底数）
上无零点，求a的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）
=g（x0）成立，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题；压轴题． 分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；
（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值； （Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣， 由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的立． 令
，则
上恒成立不可能，
上无零点，
，f（x）＞0恒成立，即对
恒成
，
再令
，
则，故m（x）在上为减函数，于是
，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使
上为增函数，所以
，
恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；
综上，若函数f（x）在
（Ⅲ）g′（x）=e﹣xe=（1﹣x）e，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e?e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
1﹣e
1﹣x1﹣x1﹣x
当a≠2时，f′（x）=当x=
时，f′（x）=0．
，即
①
，x∈（0，e]
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故
此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： ??x ??（0，??（
） ，e]
??f′（x） ﹣ ??0 +
??f（x） ↘ ??最小值 ↗
又因为，当x→0时，f（x）→+∞，
，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=则h
，
，令h′（a）=0，得a=0或
a=2，
故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当
所以，对任意即②对任意由③式解得：综合①④可知，当
．④
时，对任意给定的x0∈（0，e]，
时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．
，有h（a）≤h（0）=0， 恒成立．
在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使f（xi）=g（x0）成立． 点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．
四、选做题（本题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB． （Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线； （Ⅱ）若AD=2，AE=6，求EC的长．
考点：圆的切线的性质定理的证明． 专题：综合题． 分析：（Ⅰ）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可
222
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA=OE+AE，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通过EC与BE的关系可求
解答： 证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． … （Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA=OE+AE，即解得，… ∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴在Rt△BCE中，可得EC=
． …
2
2
2
，
点评：本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合．
【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=
，直线l的参数方程为
（t为参
数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状； （Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）利用（2）直线l的参数方程
即可得出直角坐标方程；
（ t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直
线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t
为参数）．代入抛物线方程可得|AB|=
即可得出．
．设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用
解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=
2
化为ρsinθ=4ρcosθ，
22
得到曲线C的直角坐标方程为y=4x， 故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为故l经过点（0，1）； 若直线l经过点（1，0），则
，
（ t为参数，0≤α＜π）．
∴直线l的参数方程为（t为参数）．
代入y=4x，得
2
．
=
=4．
设A、B对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|=
点评：本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R． （1）求不等式f（x）≤2x的解集；
（2）如果关于x的不等式loga2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）根据绝对值不等式的解法即可求出不等式f（x）≤2x的解集；
（2）求出函数f（x）的最值，将不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论． 解答： 解：设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R． （1）若当x≥5时，f（x）=x+1+x﹣5=2x﹣4， 当﹣1＜x＜5，f（x）=x+1﹣x+5=6，
当x≤﹣1时，f（x）═﹣x﹣1﹣x+5=﹣2x+4，
即f（x）=，
则不等式f（x）≤2x等价为：
当x≥5时，f（x）=2x﹣4≤2x，即﹣4≤0恒成立，此时x≥5， 当﹣1＜x＜5时，f（x）=6≤2x，解得x≥3，此时3≤x＜5， 当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x+4≤2x，即x≥1，此时x无解， 综上不等式的解集为{x|x≥5或3≤x＜5}．
（2）如果关于x的不等式loga2＜f（x）在R上恒成立， 则只需loga2＜f（x）min即可，
∵f（x）=，
∴函数f（x）的最小值为6， ∴loga2＜6，
6
若0＜a＜1，则a＞2，此时不成立． 若a＞1，则a＜2，解得1＜a即实数a的取值范围是1＜a
6
， ．
点评：本题主要考查绝对值函数的性质，利用绝对值函数的特点求出函数的最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力．
江西省南昌市八一中学2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．设复数z1=1+i，z2=2+ai，若 A．﹣2
B．2
为纯虚数，则实数a=( )
C．﹣1
x
D．1
2．已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：?x＞﹣1，e＞ln（x+1），则( ) A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
3．已知某随机变量X的概率密度函数为P（x）=（1，2）内的概率为( ) A．e+e
2
，则随机变量X落在区间
B． C．e﹣e
2
D．
4．下列命题中正确的是( ) A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C．平面a不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β D．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线
5．设ω＞0，函数y=sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移图象，则ω，φ的值为( )
个单位后，得到下面的
A．
B．
C．
D．
6．ABCDEF6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫．若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( ) A．72 B．192 C．112 D．160
7．设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则( ) A．3f（ln2）＞2f（ln3） B．3f（ln2）=2f（ln3） C．3f（ln2）＜2f（ln3） D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定
8．过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x+y=a的切线，切点为T，延长
2
2
2
FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．x±y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±2y=0 9．已知
，则
的值( )
A．随着k的增大而增大 B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小 C．随着k的增大而减小 D．是一个与k无关的常数
|x﹣1|
10．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣（2﹣3）的零
点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
11．平面α、β、γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β、γ的距离都是3，P是α内的动点，P到β的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A．3﹣ B．3+ C．1 D．3
12．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s﹣2s）
2
≥﹣f（2t﹣t），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是( ) A．[﹣2，10] B．[﹣2，16] C．[4，10] D．[4，16]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
x
13．如图所示的程序框图中，已知f0（x）=xe，则输出的结果是__________；
2
14．已{x1，x2，x3，x4}?{x＞0|（x﹣3）?sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为__________．
15．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
=__________．
16．某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为__________；（2R=
，其中R为三角形外接圆半径）
，则
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=2a1+3，且3a2，a4，5a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn． 18．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N；
（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求
19．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
，
，
的值．
f3（x）=2，
，
，f6（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在
1﹣x
．
．（a∈R，e为自然对数的底数）
上无零点，求a的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）
=g（x0）成立，求a的取值范围．
四、选做题（本题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB． （Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线； （Ⅱ）若AD=2，AE=6，求EC的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=
，直线l的参数方程为
（t为参
数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状； （Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R． （1）求不等式f（x）≤2x的解集；
（2）如果关于x的不等式loga2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．
江西省南昌市八一中学2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．设复数z1=1+i，z2=2+ai，若
为纯虚数，则实数a=( )
C．﹣1
D．1
A．﹣2 B．2
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．
分析：通过分母有理化可知=，利用“复数为纯虚数等价于复数的
实部为0且虚部不为0”计算即得结论． 解答： 解：∵z1=1+i，z2=2+ai， ∴
=
=
=
，
∵为纯虚数，
∴a+2=0且2﹣a≠0，即a=﹣2， 故选：A．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
2．已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：?x＞﹣1，e＞ln（x+1），则( ) A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
考点：复合命题的真假． 专题：简易逻辑．
分析：分别判断命题p，q的真假，从而判断其复合命题的真假． 解答： 解：已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx， 如：x=10时，10﹣2=8＞lg10=1， 故命题P是真命题；
x
命题q：?x＞﹣1，e＞ln（x+1），
x
画出函数y=e和函数y=ln（x+1）的图象，如图示：
x
，
故命题q是真命题， ∴命题p∧q是真命题， 故选：B． 点评：本题考查了复合命题的真假的判断，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．
3．已知某随机变量X的概率密度函数为P（x）=（1，2）内的概率为( ) A．e+e
2
，则随机变量X落在区间
B． C．e﹣e
2
D．
考点：几何概型． 专题：概率与统计．
分析：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：概率密度函数图象与x轴所围曲边梯形的面积即为随机变量在某区间取值的概率，由此将问题转化为计算定积分问题，利用微积分基本定理计算定积分即可．
解答： 解：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：
随机变量X落在区间（1，2）内的概率为（e）dx=（﹣e）
﹣x﹣x
=．
故选 D 点评：本题考查了连续性随机变量概率密度函数的意义，连续性随机变量在某区间取值的概率的计算方法，定积分的意义及计算方法．
4．下列命题中正确的是( )
A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C．平面a不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β
D．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线
考点：平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用． 专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线平行、相交或异面；由平面与平面垂直的判定定理，知B正确；由平面与平面垂直的判定定理，知C不正确；由直线与平面垂直的性质定理，知D不正确．
解答： 解：如果两条直线都平行于同一个平面， 那么这两条直线平行、相交或异面，故A不正确； 由平面与平面垂直的判定定理，
知过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，故B正确； 由平面与平面垂直的判定定理，知平面a不垂直平面β， 则平面α内不存在直线垂直于平面β，故C不正确；
由直线与平面垂直的性质定理，知若直线l不垂直于平面α， 则在平面α内存在与l垂直的直线，故D不正确．
点评：本题考查平面的基本定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养．
5．设ω＞0，函数y=sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移图象，则ω，φ的值为( )
个单位后，得到下面的
A． B． C． D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题：计算题．
分析：函数y=sin（x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移由函数的图象可求周期，根据周期公式（
个单位后可得y=sin（ωx++φ）
可求ω=2，观察图象可知函数的图象过
代入结合已知﹣π＜φ＜π可求φ．
解答： 解：函数y=sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移（ωx+
+φ）
，∴T=π
个单位后可得y=sin
由函数的图象可知，根据周期公式可得，∴y=sin（2x+φ+又∵函数的图象过∵﹣π＜φ＜π∴φ=
）
∴sin（φ）=﹣1
故选B 点评：本题主要考查了三角函数的图象变换的平移变换，由函数的部分图象求解函数的解析式，三角函数的周期公式的综合运用，属于中档试题，具有一定的综合性，但难度不大．
6．ABCDEF6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫．若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( ) A．72 B．192 C．112 D．160
考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：概率与统计．
分析：由4个同学CDEF全排列共有，再把老师安排在中间，其安排方法不变．从穿着
）安排在左边可有2种安排方法，剩下
白色文化衫的AB两名同学中任选一名（方法为
的另外一位同学安排在右边也有2种安排方法，再由乘法原理即可得出． 解答： 解：由4个同学CDEF全排列共有
，再把老师安排在中间，其安排方法不变．如
CD师EF．从穿着白色文化衫的AB两名同学中任选一名安排在左边可有两种安排方法，剩
下的另外一位同学安排在右边也有两种安排方法，如ACD师EFB或CAD师EBF等，由乘法原理可得
=192．
故选：C．
点评：本题考查了“捆绑法”、“插空法”及排列与组合的计算公式研究排列组合问题，考查了乘法原理及分类讨论思想方法，属于难题．
7．设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则( ) A．3f（ln2）＞2f（ln3） B．3f（ln2）=2f（ln3） C．3f（ln2）＜2f（ln3） D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 专题：综合题；导数的综合应用．
分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）
与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案． 解答： 解：令g（x）=
，则
=
因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增， 又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即
，
，
所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），
故选C．
点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
8．过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x+y=a的切线，切点为T，延长
2
2
2
FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．x±y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±2y=0
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x+y=a的切线，切点为T，
222
知OT=a，设双曲线的右焦点为F′，由T为线段FP的中点，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由双曲线的定义知：2b﹣2a=2a，由此能求出双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程．
解答： 解：∵过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x+y=a的切线，切点
222
为T， ∴OT=a，
设双曲线的右焦点为F′， ∵T为线段FP的中点， ∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由双曲线的定义知：2b﹣2a=2a， ∴b=2a． ∴双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，
即2ax±ay=0， ∴2x±y=0． 故选B．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化． 9．已知
，则
的值( )
A．随着k的增大而增大
B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小 C．随着k的增大而减小 D．是一个与k无关的常数
考点：两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用三角恒等变化可得函数k=sin2θ在（0，数的单调性可得解答： 解：∵故函数k=sin2θ在（0，则
）上为增函数，再利用正弦函
的值随着k的增大而增大，从而得出结论． =
）上为增函数，
=sin2θ=k θ∈（0，
），
的值随着k的增大而增大，
故选：A．
点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．
|x﹣1|
10．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣（2﹣3）的零
点个数为( ) A．1 B．2
考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用．
C．3 D．4
分析：将函数f（x）=sgn（lnx）﹣（2﹣3）的零点可化为方程sgn（lnx）﹣（2=0的根，从而求出方程的根，得到零点个数． 解答： 解：函数f（x）=sgn（lnx）﹣（21|
﹣3）=0的根；
|x﹣1|
|x﹣1||x﹣1|
﹣3）
|x﹣
﹣3）的零点可化为方程sgn（lnx）﹣（2
又∵符号函数sgn（x）=，
则，解得：x=3；
或，解方程组无解；
或，解方程组无解；
函数的零点只有一个． 故选：A． 点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了转化的思想，属于中档题．
11．平面α、β、γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β、γ的距离都是3，P是α内的动点，P到β的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A．3﹣ B．3+ C．1 D．3
考点：轨迹方程．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据P到β的距离是到点A距离的2倍，即P到两个面的交线的距离是到点A距离的2倍，得到P的轨迹是以A为焦点的椭圆，根据椭圆的几何性质，得到短轴的长度，得到结果．
解答： 解：由题意知，P到β的距离是到点A距离的2倍， 即P到两个面的交线的距离是到点A距离的2倍，
∴P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是．
当点P的轨迹上的点到γ的距离的最小时，点应该在短轴的端点处， ∵=，a﹣c=1，
∴a=2，c=1， ∴b=
∴点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是3﹣， 故选：A．
点评：本题考查点线面之间的距离的计算，考查点的轨迹问题，考查椭圆的几何性质，椭圆的离心率，a，b，c之间的关系，是一个综合题目．
12．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s﹣2s）
2
≥﹣f（2t﹣t），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是( ) A．[﹣2，10] B．[﹣2，16] C．[4，10] D．[4，16]
考点：函数单调性的性质；奇函数． 专题：压轴题．
分析：首先由奇函数定义与增函数性质得出s与t的关系式，然后利用函数图象进一步明确s与t的关系及s、t的范围，最后通过求3t+s的最大值和最小值进而解决3t+s的取值范围．
22
解答： 解：因为f（x）是奇函数，所以﹣f（2t﹣t）=f（t﹣2t）
2222
则f（s﹣2s）≥﹣f（2t﹣t）可变形为f（s﹣2s）≥f（t﹣2t）
22
又因为f（x）是增函数，所以s﹣2s≥t﹣2t
2
根据y=x﹣2x的图象
22
可见，当1≤s≤4时，﹣2≤t≤4，又s﹣2s≥t﹣2t
所以当s=t=4时，3t+s取得最大值16；当t=﹣2，s=4时，3t+s取得最小值﹣2 所以3s+t的取值范围是﹣2≤3t+s≤16 故选B．
2
点评：本题综合考查函数的奇偶性、单调性知识及数形结合方法；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
xxx
13．如图所示的程序框图中，已知f0（x）=xe，则输出的结果是2013e+xe；
考点：程序框图．
专题：导数的概念及应用；算法和程序框图．
分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行后输出的是f2012′（x）的值，再由求导法则，求出f2012′（x）的值即可．
解答： 解：模拟程序框图的运行过程，得出程序框图运行后输出f2012′（x）的值，
x
∵f0（x）=xe，
xxx
∴i=1时，f1（x）=f0′（x）=（xe）′=e+xe，
xxxx
i=2时，f2（x）=f1′（x）=（e+xe）′=2e+xe， …，
xx
i=2013时，f2013（x）=f2012′（x）=′=2013e+xe；
xx
∴输出的结果是2013e+xe．
xx
故答案为：2013e+xe．
点评：本题考查了程序框图的应用问题，也考查了导数的应用问题，是综合性题目．
14．已{x1，x2，x3，x4}?{x＞0|（x﹣3）?sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为12．
考点：函数的零点；集合的包含关系判断及应用． 专题：函数的性质及应用．
分析：利用数形结合求出方程（x﹣3）?sinπx=1根的分布情况，利用f（x）=sinπx，g（x）
=
同时关于（3，0）对称，得到x1+x2+x3+x4的最小值．
，
解答： 解：由（x﹣3）?sinπx=1，得sinπx=设y=f（x）=sinπx，g（x）=
，
则g（x）关于（3，0）成中心对称． 当x=3时，f（0）=sinx3π=0，
即f（x）关于（3，0）成中心对称． 作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
当x＞0时，要使x1+x2+x3+x4的值最小，则两个函数前四个交点的横坐标之后最小， 此时四个交点关于（3，0）成中心对称． ∴此时最小值为x1+x2+x3+x4=4×3=12． 故答案为：12．
点评：本题主要考查函数方程的应用，利用条件通过数形结合确定函数图象的交点是解决本题的关键，利用两个函数的对称性是解决本题的突破点，综合性性较强．
15．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
考点：三角形五心；平面向量数量积的运算． 专题：计算题；压轴题．
，则=．
分析：利用向量条件先求得，再把所求式转化为
，利用数量积公式，即可得到结论．
解答： 解：由题意，|OA|=|OB|=|OC|=1 ∵
，
∴∴∵∴∴
=
，两边平方得 9+24+16=25，
=
故答案为：
点评：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积，考查向量的垂直，解题的关键是把所求式转化为
，利用数量积公式求解．
16．某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为100π；（2R=
，其中R为三角形外接圆半径）
考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：根据几何体的三视图得出该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．
解答： 解：根据几何体的三视图得出该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球也是与之同底等高的三棱柱的外接球，
底面的半径r满足2r=则r=3，
棱柱的高为8，
则球心到底面的距离d=4， 则球的半径R=
2
=6，
=5，
故此球的表面积S=4πR=100π， 故答案为：100π
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=2a1+3，且3a2，a4，5a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）根据已知条件建立等式，转化成首项和公比，解之即可求出所求；
（II）先求出数列{anbn}的通项公式，根据通项公式的特点利用错位相消法进行求和，从而求出所求． 解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由题意得q＞0， 且
即
解得或（舍去），
所以数列{an}的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=log3an=n，所以所以所以两式相减得
=，
，
．
． …
=
，
即． …
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，同时考查了计算能力，属于基础题． 18．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N；
（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求
的值．
考点：直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题． 分析：（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
，证出=0，
=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；
，利用
与此法向量的夹角求出直线C1N与平面
（2）求出平面NCB1的一个法向量CNB1所成的角
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知为0求出a的值，并求出
．
⊥，利用向量数量积
解答： （1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直． …
以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4） ∵
=（4，4，0）?（﹣4，4，0）=﹣16+16=0 =（4，4，0）?（0，0，4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N； …
（2）解：设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则
则；…
，∵MP∥
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则平面CNB1， ∴
又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ∴当PB=1时，MP∥平面CNB1 ∴
…
．
点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．
19．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
，
，
f3（x）=2，
，
，f6（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为
两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 解答： （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
f3（x）=2为偶函数；
为奇函数；
为偶函数；
f6（x）=xcosx为奇函数…
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数； 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数； 故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数， 故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…
．…
，
；
故ξ的分布列为 ξ 1 P …
∴ξ的数学期望为．…
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年2015届高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．
20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题：综合题．
2
3 ．
4
．
分析：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则
，由此能求出点M的轨迹C
的方程．
（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：得
，设
，代入椭圆方程，
，
．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知
，由此能导出存在满足条件的点D．
解答： 解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）
则，|AB|=3==1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m）， 则
得（k+4）x+2
2
2
，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，
，
kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣
∴y1+y2=k（x1+x2）+2
．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴，
=，的方
向向量为（1，k），=0，
2
∴﹣﹣2mk=0即m=∵k＞0，∴m=，∴0＜m＜，
∴存在满足条件的点D． 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
∵f（x）=，
∴函数f（x）的最小值为6， ∴loga2＜6，
6
若0＜a＜1，则a＞2，此时不成立． 若a＞1，则a＜2，解得1＜a即实数a的取值范围是1＜a
6
， ．
点评：本题主要考查绝对值函数的性质，利用绝对值函数的特点求出函数的最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力．
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