物理竞赛课件14：刚体动力学运动学问题

?刚体

不发生形变的理想物体

实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．

刚体内各质点之间的距离保持不变刚体内各质点角速度总相同

?刚体的平动与转动

刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动．

刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．

?质心质心运动定律

能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外力集中于此的某一点.

从质心的等效意义出发:

0

x1x2m1mx2

??x?mixi?C???以质心为坐标原点

mi??y?miyi?C???mi?mir=0??z?mizi?C??mi?F=?m?ac例讲

例讲

OH?h=?n???mi=???nnxc??n??lim?mixii?1?H?H?kin??n??Hx2tan-1kin???V2n?H?HHlim?????ki???ii?1?n?2nn???kH?/3n31?3Hlim?i?4n??ni?13xC?H4y??=?2n?n????i=i2nn??i0iRx

2mlim??2Rcos?(R????cos?)?Rsin???iii2n??i?1?RxC=mn4R2?lim?cos?i?sin?i???n??i?1?RR?limsin3?i?sin???????nlim???sin3?????sin??iii??nn4RxC?3????n??n?1??n??n?1?sin??3????sin??3???sin??????sin?????R23????2222?????????lim???2??3?????n??322sinsin22R1??21?lim???2???n???322?n??i?1i?1

返回概要如图，一个圆盘半径为R，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为?1∶?2∶?3∶?4＝1∶2∶3∶4，求这圆盘的质心位置．对题中圆盘:解:2y231x4?R?R4R?1??2??3??4??yc??1??2??3??4???443??R?1??2??3??4??xc?42?R4R??1??2??3??4??43?228yc??R15?xc?0y以静止水的质心为坐标原点，建立如图所示坐标，当振动高度为Δh时，质心坐标为：

h2?hOxL??1L??1L??2L??L?L?1???h?????????h?????????h???L22??32??22??32??2?4?x???hL?h6h?h?12?h???h??h??h?L???2?h?L?????h??22?223??h??y??L?h6h由上可得

6h2y?2xLy质心沿抛物线做往复运动,回复力为重力之分力:

?yF??mg?x6h?x??x??x??mg2?L?x22F回Omgx12mgh???x2LL质心做谐振,周期为T?2?12hg2?转动惯量

量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘积的总和.

J??miri2例讲

22J?mr1?r22J?mr2J?12mr2nJ?nlim???miri2ni?1?nlim???mrr?r?2i?1?r22?in?n??in???mr2n31nlim???2?iJ??12i?1n42mr

J?122mr转轴

J?124mrmr22J?4?ml12??=?2n?n????i=i2nn2miri0?y

i?iRx

J?lim?n??m2?4lim?rsin?i??n??4ni?11?2?22??2???mrlim??sin???sin2????sin??????sin?n??n22????i?12ni?1n12J?mr2n项

设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有J?Jc?mdni?12J??i?1n2miri??min?2Ri?d?2dRicos?nn2?RiCθidy??i?1n2miRimiiRxiicos?i??mid?2d?m2i?1?11ii?0miriOx由J?Jc?md222mR?mR?mR?2mRn22??1m2m?l?J?2lim????r???i??n??42n2n2n???i?1???222nmrmli??lim?344n??i?1n22mrml??412J圓Ma?2222aOMJ杆?Jc?M?2a?2其中Ma22a??4Ma3nMa?a?2Jc2lim?iJ??J?J???On??圓杆2ann??i?1CM29Ma?62

对任意的刚体，任取直角三维坐标Oxyz，刚体对x、y、z轴的转动惯量分别为Jx、Jy、Jz，则有

Jx?Jy?Jz?2?i?1n2miriJx??mii?1nJy???m?xii?1ni?1n2yi2i???2zi2zi2yi???Jx?Jy?Jz?2?i?1nyyi2yi2ziJz??mi?22mirx?ii???mirixi2xizizOx球壳

实心球

2222J?mrJ?mr35nn23J?2lim2?miri3J?2lim?minr??ii?1n??ni?m12?r?r?r??2lim??4?i???i?2????3???n2mrnnn4?r/3????i?121?6mrlim?i?5n??ni?124n解:已知:Jx=J0

求:Jx???Jy?Jx?J02J0??miri2Jy??Jx?2Jx???miri2yy?Oxx?Jx??J0解:2J如图所示，质量为m的均匀圆柱体，截面半径为R，长为2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J．

Z４

?J?2?xz2Z1miriRZZ2J3?J4?Jz?2?22Z３miri2Jx?J3?J4mR2Jx?m2R??mR13mR?41222224椭圆细环的半长轴为A，半短轴为B，质量为m（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．解:y由正交轴定理:JA?JB??mi2?2xi?22yi?2Ox由椭圆方程:B?AJA?JB?mA?JA2B222xy??122A2B2A2A?2yiB2AJB?mA?2JAB

解:如图所示，矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动，

AB轴与竖直成，薄片宽度AD=d，试求薄片做微小振动时的周期．

先计算板对过C平行AB的轴的转动惯量:1k?22??MdMd12????由kMd2?4??k?4??2???24???4?2?则 J?MAB12d2?M??d?Md?2???3等效摆长

l?d2sin??dT?2?JMgl2T?2?d?2?Md3g3Mgd???JC?M12d2OB??CAMg由复摆周期公式

解:一个均匀的薄方板，质量为M，边长为a，固定它

的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在自己的平面内摆动．在穿过板的固定点的对角线上的什么位置（除去转动轴处之外），贴上一个质点m，板的运动不会发生变化？已知对穿过

2板中心而垂直于板的轴，板转动惯量J?1．Ma6O薄板原对悬点的转动惯量

2??Ma22MaJ0??M?a???2?63??22l'C贴m后

振动周期相同，应有

222J?Ma?m?x32l?a2mJ0J?Mgl(M?m)gl'22mx?Mlx?al'?3M?m

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