专题十：综合类问题
孙法光
一、考点综述
考点内容：综合类问题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性，数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想在数学综合题中得到充分体现，在综合性试题中成为支撑试题的核心。
考纲要求：充分利用几何图形的位置、形状和大小变化，注重几何元素之间的函数关系式的建立；把几何图形适当放到直角坐标中，回答相关问题：还要注意几乎图形的元素与方程根的关系等等，这样的探索过程是固本，是求新，是中考数学复习的生命力的体现。
考查方式及分值：数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题，在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点，分值在25分左右。
备考策略：解好数学综合题必须具备：
（1）语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综
合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。 （2）概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。
（3）数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意
义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。
二、例题精析 例题1
如图，抛物线y = -x2 +（m+2）x-3（m -1）交x轴 于点A、B（A在B的右边），直线y=（m+1）x-3 经过点A.
(1) 求抛物线和直线的解析式.
(2) 直线y=kx (k<0)交直线y=（m+1）x-3于点P, 交 抛物线y = -x+（m+2）x-3（m -1）于点M,过M点 作x轴的垂线,垂足为D,交直线y=（m+1）x-3于点N .
问:ΔPMN能否成为等腰三角形,若能,求k的值:若不能,请说明理由. ∵
2
解题思路：
本题第（1）小题运用到了方程思想，第（2）小题涉及了许多数学思想方法，综合性较强，分类讨论与数形结合是解决本题的关键
解：（1） ∵抛物线y = -x2 +（m+2）x-3（m -1）交x轴于点A、B.当y=0,即 -x+（m+2）x-3（m-1）=0,解得x1=m-1，x2=3， ∴A（3，0），B（m-1，0） ∵直线y=（m+1）x-3过点A， ∴3（m+1）x-3=0，∴m=0
∴抛物线和直线的解析式分别为y = -x2 +2x+3和y = x-3 （2）设直线y = x-3交y轴于点C， ∴C（0，-3），A（3，0） ∴OC=OA
∴∠OAC=∠NAD=45° ∵MN⊥x轴，∴∠PMN =45°
若△PMN为等腰三角形，且k<0，则PN=PM或PN=MN。 当PN=PM时，则∠PNM=∠PMN =45° ∵∠ODM=90°
∴OD=DM ，设M的坐标为（m，- m） ∴- m=k m ，即k = -1 当PN=MN时， ∵MN∥OC ∴
PNPC?MNOC2
∠ACO=∠PNM =45° ∴PC=OC=3
过点P作PH垂直y轴于点H。 ∴PH=CP=sin45°=33
22=
322
CH= PH=
322，OH=3-
322
∴P（
322，3-
322）
又点P在直线y=kx上， ∴
322-3=
322k
k=1?2
2
综上，k = -1或k=1?规律总结：数形结合、方程函数的数学思想在数学综合题中充分利用，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。 例题2
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=6，BC=9，cosC?35；P是边BC上的一个动点（不与点
B重合），PQ⊥DP，交边AB于点Q，且点Q不与点B重合．
（1）求AB的长；
（2）设PC=x，BQ=y，求y与x的函数解析式，并
Q
写出它的定义域；
（3）在点P的移动过程中，能否使∠PDQ的正切
值等于2？如果能，请求出此时BQ的值；如 果不能，请说明理由．
解题思路：结合图形综合运用三角函数、三角形的相似、二次函数等知识。 解：过点D作DH⊥BC，垂足为点H．
（1）∵AB⊥BC，DH⊥BC，∴AB∥DH．
∵AD∥BC，∴四边形ABHD是矩形． ∴BH=AD=6，AB=DH． ∵BC=9，∴CH=3． ∵cosC?35ADBP
C
，∴CD=5．
∴AB=DH=4．
（2）∵PQ⊥DP，∴∠BPQ+∠DPH=90°．
∵∠BPQ+∠BQP=90°，∴∠DPH=∠BQP． ∴Rt△DPH∽Rt△PQB． ∴
BQBP?PHDH4，即
y9?x?x?34．
14x2∴y?(9?x)(x?3)，即y与x的函数解析式为y???3x?274．
定义域为3 PQPD?2． BPDH?PQPD??2． 32由Rt△DPH∽Rt△PQB，可得 ∵DH=4，而BP=BC-CP=9-x<6，∴即∠PDQ的正切值不能等于2． BPDH， 规律总结：综合运用三角函数、三角形的相似、二次函数等知识，需要学生拥有一种探索问题的精神来判断和验证提设的结论成立。 例题3 某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，?发现了两个重要结论：一是发现抛物线．．．．y=ax+2x+3（a≠0），当实数a变化时，?它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物．．．．线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少标增加 1a1a2 ，纵坐标增加 1a，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 2 1a，纵坐 ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax+2x+3上． （1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式； ．． （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由； （3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般──特殊──一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由． 解题思路：（1）a取于绝对值±1时，找出抛物线顶点坐标，?可求过这两顶点的直线解析式；（2）因a≠0，知直线与y轴交点不是抛物线顶点；（3）可猜想：?对于抛物线y=ax+bx+c（a≠0），第二个发现仍成立． 解：（1）当a=1时，抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为（－1，2），当a=－1时，抛物线y=－x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）． 设该抛物线y=ax+2x+3的顶点在直线y=kx+b上，将（－1，2），（1，4）代入， ?2??k?b解得得??4?k?b.?k?1 ?b?3.?2 2 ∴y=x+3． 即抛物线y=ax2+2x+3的顶点在直线y=x+3上． （2）直线y=x+3上有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．抛物线y=ax2+2x+3?的顶点坐标为（－－ 1a1a，3 ），当a≠0时，顶点的横坐标－ 1a≠0， ∴（0，3）点不是该抛物线的顶点． （3）得出猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标增加或减少所得到的两个点一定仍在抛物线上． 理由：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（－ 2 1a，?纵坐标增加 1a， b2a， 4ac?b4a2）， ∴将其横坐标减少 1a，纵坐标增加 1a，得A（－ b?22a， 4ac?b?44a2）． 同样可得B（ ?b?22a， 4ac?b?44a2 2）． 把x=－ b?22a代入y=ax+bx+c=a（－ 2 b?22a）+b（－ 2 b?22a）+c= 4ac?b?44a2． ∴点A在抛物线y=ax+bx+c上． 同理可证点B在抛物线y=ax2+bx+c上． ∴所提出猜想能够成立． 规律总结：此题是一道有创意的好题，考题的设计体现了“引导发现”的物色，使考生弄清从特殊到一般的探究方法，进而培养考生灵活地运用所学知识，独立获取知识的创造、创新能力． 例题4 某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、?下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图①）． （1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD??地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用； （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图②），请你设计一种花坛图案，?即在梯形内找一点P，使得△APB≌△DPC，且S△APD=S△BPC，并说明你的理由． ① ② 解题思路：（1）利用相似三角形性质求△BMC面积．（2）?分别计算种一种花所需资金，再比较；（3）利用对称性找出P点位置，再求． 解：（1）∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC． ∴△AMD∽△CMB，∴ S?AMDS?BMC?(ADBC)?214， ∵种植△AMD地带花费了160元． ∴ 1608=20（m2），∴S△CMB =80（m2）． ∴△BMC地带的花费为8038=640（元）． （2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h． ∵S△AMD = h1h21212310h1=20，∴h1=4． ∵=，∴h2=8． 1212 ∵S梯形ABCD=（AD+BC）2h=3303（4+8）=180， ∴S△AMD +S△DMC =180－20－80=80（m2）． 而160+640+80312=1 760（元），160+640+80310=1 600（元）． ∴应选择种植茉莉花，刚好用完所筹集的资金． （3）点P在AD、BC的中垂线上，如图，此时，PA=PD，PB=PC，∵AB=DC，??∴△APB≌△DPC． 设△APD的高为x，则△BPC的高为（12－x）， ∴S△APD = S△BPC = 1212310x=5x， 320（12－x）=10（12－x）． 由S△APD =S△BPC，即5x=10（12－x），解得x=8． ∴当点P在AD、BC上的中垂线上且与AD的距离为8m时，S△APD =S△BPC． 规律总结：此题以梯形两条对角线分割其面积为背景，建立种花面积与所需费用之间的关系．考查学生运用相似、全等等数学知识解决实际问题的能力．第（3）?小题中点P选在此等腰梯形的对称轴上是关 键． 例题5 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20?台，?乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： A地区 B地区 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 1 800元 1 600元 1 600元 1 200元 （1）设派往A地区x台乙型收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元）．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案？并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议． 解题思路：（1）由题意得：y=1 600x+1 800（30－x）+1 200（30－x）+1 600（x－10） 整理为：y=200x+74 000，x的取值范围是10≤x≤30（x是正整数） （2）由题意得200x+74 000≥79 600，解得x≥28 ∵10≤x≤30，∴28≤x≤30（x是正整数） ∴x取28，29，30这三个值，∴有3种不同的分配方案． ①当x=28时，即派往A地甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B?地甲型收割机18台，乙型收割机2台． ②当x=29时，即派往A地甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B?地甲型收割机19台，乙型收割机1台． ③当x=30时，即30台乙型收割机全派往A地；20台甲型收割机全派往B地． （3）由于一次函数y=200x+74 000的值随x的增大而增大的，所以当x=30时，y取得最大值；当x=30时，y=6 000+74 000=80 000（元） 建议农机公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B?地区，可使公司获得租金最高． 规律总结：这是一道函数型的建模应用题，x?的取值范围是由派往各地的收割机台数是非负整数确定的，这往往也是学生容易忽视的地方，同时应注意函数图象的性质在解决实际问题中的应用． 三、综合训练 一、选择题 1．如图，用8块相同的长方形地砖刚好拼成一个宽为20cm的矩的缝隙忽略不计），则每块长方形地砖的面积是（ ）． A．75cm2 B．60cm2 C．40cm2 D．20cm2 形图案（地砖间 2．A、B两地相距450km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，经过t（h）两车相距50km，则t值是（ ）． A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5 3．一只船向东匀速航行，上午8：00位于灯塔P的西偏南60°的方向M处，且PM=?40海里，上午10：00到达这座灯塔的正南N处，则船航行的速度为（ ）． A．10海里/h B．20海里/h C．103海里/h D．203海里/h 4．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10?张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高（? ）． A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元 5．如图，已知在正方形网格中，每个小方格的边长都为1，A、B? 两点在小正方形的顶点上，点C也在小正方形的顶点上，且以A、B、 C为顶点的三角形面积为1?个平方单位，则C点的个数为（ ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题 1．同一种商品，甲将原价降低10元后卖掉，用售价的10%?作积累；?乙将原价降低20元，用售价的20%作积累，若两种积累一样多，则原价是________元． 2．一化工厂生产某种产品，产品出厂价为500元/t，其原材料成本（含设备损耗）为200元/t，同时生产1t该产品需付环保处理费及各项支出共计100元．?写出利润y（元）与产品销量x（t）之间的函数关系式是_______，销售该产品______t，?才能获得10万元利润． 3．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，那么至少有鸡_______只，笼________个． 4．某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（?抛物线所在平面与墙垂直，如图a），当抛物线的最高点M离墙1m时，离地面 403m，则水流落地点B离墙的距离OB是_______m． a b 5．如图b，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC?的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批货物送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处．已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，?客轮速度是货轮速度的2倍，则货轮从出发到两船相遇共航行了_______海里（结果保留根号） 三、解答题 1．某商场大搞“真情回报社会”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，?最高奖金每份1万元，平均奖金180元，下面是奖金的分配表． 奖金等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 1 000 89 50 300 10 600 奖金额（元） 10 000 5 000 中奖人数 3 8 一名顾客抽到了一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围不少正在况奖的其他顾客，很少有超过50元的，她气愤地去找商场的领导论理，?领导解释说这不存在什么欺骗，平均奖金确实是180元．你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？?用你所学的统计与概率的有关知识做简要分析说明．以后再遇上类似抽奖活动的问题，你会更关心什么？ 2．甲、乙两位采购员同去一果园购买两次柑桔，两次柑桔的价格有变化，两位采购员的采购方式也不同，其中，甲每次购买1 000kg，乙每次用去1 000元，而不管购买多少柑桔，若规定，谁两次购买柑桔的平均单价低，则谁的购买方式更合算，请你判断甲、乙两人的购买方式哪一个更合算些，并说明理由． 3．一条鲨鱼在某区域中由西向东游动，此海域受环境污染影响出现了赤潮现象，鲨鱼在A点时（如图），赤潮中心B在它的北偏东60°方向上（此次赤潮区域呈圆形），若鲨鱼向前游动5海里到达C处，赤潮中心在它的北偏东30°方向上，?此次赤潮区域的半径为562海里． （1）这条鲨鱼从A点出发向正东方向游动，它是否经过赤潮区域，请说明理由． （2）若此鲨鱼要避开赤潮区域，则它至少应向东偏南多少度游去？ 4．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，?该公司所筹资金不少于2 090万元，但不超过2 096万元，且所筹资金全部用于建房，?两种户型的建房成本和售价如下表： A B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套） 30 34 （1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ （2）该公司如何建房获得利润最大？ （3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A?型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出．该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润=售价－成本） 答 案 一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．C 5．A 二、填空题 1．30 2．y=200x，500 3．25，6 4．3 5．200－三、解答题 1．x=180元，没欺骗，但中小奖（不超过50元）?概率为0.9，?中大奖（?不低于1000元）概率为0.1，中奖金额众数为10，中位数为10，所以以上说法不能反映中奖的一般金额．因此在以后此类活动中应注重中大（或小）奖的概率的大小，注重观察众数和中位数是多少． 2．设两次购买柑桔的单价分别为m元/kg和n元/kg（m≠n），?则甲购买的平均单价为 2mnm?nm?n22mnm?n52m?n210036 元/kg，乙 购买的平均单价为元/kg,??(m?n)22(m?n)52>0，乙的购买方式合算些． 3．（1）过B作BD⊥AC于D，易求出BD= 523<6，∴此鲨鱼要经过赤潮区域． （2）以B为圆心， 526为半径作⊙B，过作AE切⊙B于E，连BE，则BE⊥AE，BE= BEAE6．∵BD= 523，AB=2BD=53，? 由sin∠BAE== 22得∠ABE=45°，∴∠CAE=45°－30°=15°． 4．（1）设A种户型住房建x套，则2 090≤25x+28（80－x）≤2 096，48≤x≤50，x取整数48，49，50，有三种建房方案． （2）公司获利润W=5x+6（80－x）=480－x，当x=48时，W 最大 =432万元 （3）W=（5+a）?x+?6（80 －x）=480+（a－1）x，当0 答 案 一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．C 5．A 二、填空题 1．30 2．y=200x，500 3．25，6 4．3 5．200－三、解答题 1．x=180元，没欺骗，但中小奖（不超过50元）?概率为0.9，?中大奖（?不低于1000元）概率为0.1，中奖金额众数为10，中位数为10，所以以上说法不能反映中奖的一般金额．因此在以后此类活动中应注重中大（或小）奖的概率的大小，注重观察众数和中位数是多少． 2．设两次购买柑桔的单价分别为m元/kg和n元/kg（m≠n），?则甲购买的平均单价为 2mnm?nm?n22mnm?n52m?n210036 元/kg，乙 购买的平均单价为元/kg,??(m?n)22(m?n)52>0，乙的购买方式合算些． 3．（1）过B作BD⊥AC于D，易求出BD= 523<6，∴此鲨鱼要经过赤潮区域． （2）以B为圆心， 526为半径作⊙B，过作AE切⊙B于E，连BE，则BE⊥AE，BE= BEAE6．∵BD= 523，AB=2BD=53，? 由sin∠BAE== 22得∠ABE=45°，∴∠CAE=45°－30°=15°． 4．（1）设A种户型住房建x套，则2 090≤25x+28（80－x）≤2 096，48≤x≤50，x取整数48，49，50，有三种建房方案． （2）公司获利润W=5x+6（80－x）=480－x，当x=48时，W 最大 =432万元 （3）W=（5+a）?x+?6（80 －x）=480+（a－1）x，当0 百度搜索“yundocx”或“云文档网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，云文档网，提供经典综合文库2010年中考数学二轮复习独家精品——专题十综合类问题在线全文阅读。
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