大学物理学习题全解-赵近芳版(10-17章)

第十章 气体分子运动论

10．1 已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数． [解答]根据气体压强公式p = nkT，其中k = 1.38×10-23J·K-1称为玻尔兹曼常数． 当T = 300K时，气体单位体积内的分子数为n = p/kT = 2.415×1025(m-3)．

10．2 一个温度为17℃、容积11.2×10-3m3的真空系统已抽到其真空度为1.33×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来．烘烤后容器内压强为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？

[解答]烘烤前容器内单位体积内的分子为n1 = p1/kT1 = 3.32×1017(m-3)， 烘烤后容器内单位体积内的分子为n2 = p2/kT2 = 1.68×1020(m-3)．

器壁原来吸附的分子数为N = (n2 – n1)V = 1.88×1018．

10．3 在0℃下一容器的真空度为1.33×10-12Pa，此时每立方厘米内有多少个气体分子？ [解答]单位体积内的分子为n = p/kT = 3.53×108(m-3) = 3.53×102(cm-3)．

10．4 已知275K和1.00×103Pa条件下气体的密度ρ = 1.24×10-5g·cm-3，求：

（1）气体的方均根速率v；

（2）气体的摩尔质量μ，并指出是什么气体． [解答]（1）气体的密度为ρ = 1.24×10-2(kg·m-3)， 根据气体压强和能量的公式p?212?v，得气体的方均根速度为 3v2?3p/?= 491.87(m·s-1)．

（2）根据理想气体状态方程pV?M?RT，

由于气体密度为ρ = M/V，所以方程可变为p??RT， ?气体的摩尔质量为μ = ρRT/p = 0.0283(kg)．这种气体是氮气N2．

10．5 当温度为0℃时，求：

（1）N2分子的平均平动动能和平均转动动能； （2）7gN2气体的内能．、

[解答]（1）N2分子有t = 3个平动自由度，其平均平动动能为

wt?tkT= 5.65×10-21(J)． 2rkT= 3.77×10-21(J)． 2将N2分子当作刚体，它就还有r = 2个转动自由度，其平均转动动能为

wr?（2）N2分子的摩尔质量为μ = 0.028kg，质量M = 0.007kg的N2分子的摩尔数为

n0 = M/μ = 0.25，

分子总数为N = n0NA，其中NA = 6.02×1023为阿佛伽德罗常数， 而气体普适常量R = kNA = 8.31(J·K-1·mol-1)．

N2分子的自由度为i = t + r = 5， 气体的内能为E?

iiiNkT?n0NAkT?n0RT= 1.417×103(J)． 22210．6 一个能量为1.6×10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？

[解答]氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自由度为i = t = 3．

当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式E?in0RT可得气体升高的温度为 2T?2E= 1.28×10-6(K)． in0R

10．7 某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求： （1）质子的平均动能是多少？ （2）质子的方均根速率多大？

[解答]（1）质子的平动自由度为 t = 3，平均平动动能为wt?（2）质子的质量为mp = 1.67261×1027(kg)， 由于wt?tkT= 2.07×10-15(J)． 2tkTt1kT?mpv2，所以质子的方均根速率为v2?= 1.573×106(m·s-1)． 22mp

10．8 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K．两种气体的压强均为p0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？

[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自由度为i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为i2 = 5．

i1iN1kT1，E2?2N2kT2． 22ii隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为E?1N1kT?2N2kT．

22隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为E1?这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T．

由于压强p0?n1kT1?同理可得N2?2N1pVkT1，所以N1?0； V2kT1p0V． 2kT2将N1和N2的公式代入上面公式可得

i1p0Vi2p0VipVipV??(10?20)T， 2k2k2kT12kT2约去公因子，可得混合气体的温度为

T?(i1?i2)TT12= 284.4(K)．

i1T2?i2T1(N1?N2)(i?i)(T?T)kT?1(p0V?p0V)kT?1212p0= 1.0275 p0． V2(i1T2?i2T1)V2kT12kT2混合气体的压强为

p?nkT?

210．9 试证明：N个分子，不论分子速度的分布服从什么规律，总有v?v．

[证明]设第i个分子的速率为vi，则分子的平均速率为v?速率平方的平均值为v?21?vi， Ni1vi2． ?Ni显然，??1(vi?v)2?0，因此 ?Ni1111???(vi2?2viv?v2)??vi2?2v?vi?v2?1?v2?2v?v?v2?v2?v2，

NiNiNiNi2由于δ≧0， 所以v2?v2，因此不论分子的速度的分布服从什么规律，都有v?v．

另外也可直接用平均值运算．

由于(vi?v)2?0，展开得vi2?2viv?v2?0，

取平均值时得vi2?2viv?v2?0．

2因为vi?v、v?v并且v2?v2，所以vi2?v2?0，即v?v． 证毕．

10．10 将（11.19）式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x = v/vp，若已知

?10e?xdx?0.7468，试计算：

2（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？ （2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？

（3）参照表11.1，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间． [解答] 理想气体分子数占分子总数的比率为dN/N = f(v)dv， 其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数：

m3/2mv22f(v)?4?()exp(?)v．

2k?T2kT2kT设x = v/vp，其中vp?，则dv = vpdx，

m42?x2xe． 因此速率分为dN/N = g(x)dx，其中g(x)??（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为

N14??g(x)dx?N0?111?xe02?x21dx，设I??x2e?xdx，则

021111221?x22?x2I??xedx???xde??(xe?x??e?xdx)

20202001?1即 I?(0.7648?e)，

2N42I?(0.3648?e?1)= 0.4276 = 42.76%． 所以1?N??1（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为

N2N?1?1= 0.5724 = 57.24%． NN（3）对于氧气分子，速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为

?NNvv2?v1?m3/2mv22)exp(?)vdv， f(v)dv??4?(2k?T2kTv1v2其中m表示氧分子的质量．用m`表示氢分子的质量，则m = 16m`，对于氢分子的同一比率则有

?N216m`3/216m`v22??4?()exp(?)vdv，取v` = 4v，可得 Nv2k?T2kT12?Nm`3/2m`v`22?4?()exp(?)v`dv`， N4?2k?T2kTv14v可见：氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同．

2

从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同．

10．11． 由11．10题结果，求速率在0.99vp到1.01vp之间的分子数占分子总数的百分比．

1.0142?x2?N[解答] 分子数比率为xe． ??g(x)dx，其中g(x)?N0.09?利用中值定理得

?N4?1?g(1)(1.01?0.09)?e?0.02= 0.0166 = 1.66%． N?

10．12 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%．设空气温度为0℃，空气的平均摩尔质量为0.028 9kg·mol-1．

[解答] 根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系p?p0exp(?mgz)． kT其中m是一个分子的质量．

用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为μ = NAm，气体的普适常数为R = k.NA．压强公式可表示为p?p0exp(?)． RTRTp0ln高度为z?= 2304(m)． ?gp

10．13 已知f(v)是麦克斯韦分子速率分布函数，说明以下各式物理意义． （1）f(v)dv；

（2）nf(v)dv，n为分子数密度； （3）（4）

?gz?v2v1vf(v)dv；

?（5）?vp0?f(v)dv，vp为最可几速率；

vpv2f(v)dv．

[解答]（1）由公式dN/N = f(v)dv可知：f(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数的比率dN/N． （2）由于n = N/V，可得ndN/N = dN/V，因此nf(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数密度．

（3）（4）

?v2v1vf(v)dv表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率．

?（5）?vp0?f(v)dv表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率．

vpv2f(v)dv表示分子速率大于最可几速率的速率平方的平均值．

10．14 质量为6.2×10-14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1.4cm·s-1．由这些结果计算阿佛加德罗常数NA．

[解答]当粒子平动时，其平均平动动能为w?31kT?mv2， 22由此得阿氏常数为NA?R3RT= 6.1545×1023(mol-1)． ?kmv2

10．15 氮分子的有效直径为3.8×10-10m，求它在标准状态下的平均自由程和连续碰撞的平均时间间隔．

[解答] 在标准状态下，T = 273K，p = 1.013×105Pa，氮分子的平均自由程为

??kT-8

= 5.80×10(m)． 22?dp氮分子的摩尔质量为μ = 0.028kg·mol-1，平均速率为

v?8kT8RT= 454.2(m·s-1)． ??m??连续碰撞的时间间隔为:t??v= 1.276×10-10(s)．

10．16 在标准状态下CO2气体分子的平均自由程?= 6.29×10-8m，求两次碰撞之间的平均时间和CO2

气体分子的有效直径．

[解答] C的原子量是12，O的原子量是16，CO2的分子量是44，摩尔质量为μ = 0.044kg·mol-1，其平均速率为

v?8kT8RT= 362.3(m·s-1)． ??m??两次碰撞之间的平均时间为：t?根据公式???v= 1.736×10-10(s)．

kT，可得CO2气体分子的有效直径为 22?dpd?kT= 3.648×10-10(m)． 2??p

10．17 容器贮有O2气，其压强为1.013×105Pa，温度为27℃，有效直径为d = 2.9×10-10m，求： （1）单位体积中的分子数n；（2）氧分子质量m；（3）气体密度ρ；（4）分子间平均距离l；（5）最

2可几速率vp；（6）平均速率v；（7）方均根速率v；（8）分子的平均总动能?；（9）分子平均碰撞

频率z；（10）分子平均自由程?．

[解答]（1）由p = nkT得单位体积中的分子数为：n = p/kT = 2.45×10-25(m-3)． （2）氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 1.66055×10-27kg，分子的质量为

m = 32u = 5.31×10-26(kg)．

（3）根据理想气体状态方程pV?M?RT，氧的摩尔质量μ = 0.032 kg·mol-1，其密度为

??Mp??= 1.30(kg·m-3)． VRT（4）一个分子占有体积为v = 1/ n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为 l = (1/n)1/3 = 3.445×10-9(m)．

2kT= 394.7(m·s-1)． m8kT（6）平均速率为：v?= 445.4(m·s-1)．

?m（5）最可几速率为：vp?

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