高二数学上册期中考试题9

高二数学上册期中考试题

数学试卷（理）

命题人：范向阳 考试时间：2009年11月5日 上午10：00---12：00

本试卷满分150分，考试时长120分钟。

一、选择题(每小题5分，共50分)

1. 光线沿直线y=2x+1的方向射到直线y=x上被反射后光线所在的直线方程是 ( ) x1 A.y??

22

1B.y?2x?

2

x1C. y??

22

xD. y??1

22. 设函数f(x)?asinx?bcosx图象的一条对称轴方程为x?为( ) A.

? 4?4, 则直线ax?by?c?0的倾斜角

B.

3? 4 C.

? 3 D.

2? 33. 若圆C：x2?y2?ax?2y?1?0和圆x2?y2?1关于直线y?x?1对称, 动圆P与圆C相外切且直线x??1相切, 则动圆圆心P的轨迹方程是( ) A. y2?6x?2y?2?0 C. y2?6x?2y?2?0

B.y2?2x?2y?0

D. y2?2x?2y?2?0

x2y2x2y24. 椭圆2?2?1和双曲线2?2?1有公共焦点，则椭圆的离心率是( )

2mnm2n315 B.

325. 抛物线y=4x2的准线方程是( )

A.C.

6 4

D.

30 6 A. y+1=0 B. x+1=0 C. 16y+1=0 D. 16x+1=0

????????6. 设O为坐标原点，抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA?OB=( )

33 A. ? B. C. －3 D. 3

44x2y27. 椭圆??1上有n个不同的点:P1,P2,?,Pn, 椭圆的右焦点为F, 数列|PnF|是公差不小于

431的等差数列, 则n的最大值是( ) 100 A. 198 B. 199 C. 200 D. 201

x2y28. 设F1, F2是双曲线??1(a?0)的两焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2

4aa的面积为1，那么a的值是 ( ) A.1

B.5 2 C.2 D.5 9. 抛物线x2?2y上离点A(0, a)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是( )

A. a≤0

1B. a?

2 C. a≤1 D. a≤2

10. 已知x,y?R, 且(log23)x?(log35)y?(log32)y?(log53)x, 则x与y应满足( ) A. x?y?0

B. x?y?0

C. x?y?0

D. x?y?0

11?的最小值ab二、填空题(每小5分，共25分)

11. 若直线ax?by?1?0(a?0,b?0)过圆x2?y2?2x?2y?0的圆心，则为 .

12. 与圆x2?(y?2)2?1相切, 且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条.

13. 过直线l:y?x?9上一点P作一长轴最短的椭圆, 使其焦点为F1(?3,0), F2(3,0), 则椭圆的方程为 .

x2y214. 设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F(c,0), 方程ax2?bx?c?0的两个实根分别为

abx1和x2, 则点P(x1,x2)与圆x2?y2?2的位置关系为 .

15. 设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?)，对于下列四个命题： A. M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n (n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16. （本题12分）已知△ABC中，A点坐标（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x?2y?1?0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程。

17.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆

C2:(x?4)2?(y?5)2?4。

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

?3x?y?0,??18. （本题12分）已知A(3,3)，O是原点，点P（x, y）的坐标满足?x?3y?2?0,

?y?0.??????????????????OA?OPOA?OP?的最大值.；(2)求z?????的取值范围. (1)求???|OA||OP|

x219. （本题12分）设F1, F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.

4????????? (1)若P是该椭圆上的一个动点, 求PF1?PF2的最大值和最小值；

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B, 且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点), 求直线l的斜率k的取值范围.

xx20. （本题13分）已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1:y??和l2:y?, 焦点在y轴上, 实

22轴长为23, O为坐标原点.

(1)求双曲线方程；

(2)设P?2MP2, 求三角形P1OP2的面1,P2分别是直线l1和l2上的点, 点M在双曲线上, 且PM1积.

21. （本题14分）已知函数f(x)?px2?qx, 其中p?0,p?q?1, 对于数列{an}, 设它的前n项和为Sn, 且满足Sn?f(n)(n?N*).

(1)求数列{an}的通项公式, 并证明an?1?an?1(n?N*)； (2)求证：点M1(1,S1SSS),M2(2,2),M3(3,3),?,Mn(n,n)在同一直线l1上； 123n?????????? (3)若过点N1(1,a1),N2(2,a2)作直线l2, 设l2与l1的夹角为?, 求tan?的最大值.

数学试卷（理）答案

一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A 二、填空题 11．4

12．4

x2y213．??1

4536

14．点P(x1, x2)在圆x2+y2＝2外 15．B、C 三、解答题

16．解：设AB、AC的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点。 ∵B在中线y－1＝0上， ∴设B点的坐标为(xB, 1)， ∵D为AB的中点，A（1，3）， ∴D的坐标为(xB?1,2)， 2 ∵D在中线CD:x－2y+1=0上， ∴

xB?1?2?2?1?0?xB?5 2 ∴B的坐标是（5，1）………………………………（5分） ∵点C在直线x－2y+1=0上， ∴设C点的坐标是（2t－1，t）， ∴AC的中点E的坐标为(t,t?3)， 2 ∵E点在直线y－1＝0上， ∴

t?3?1，则t＝－1，点C坐标是（－3，－1）………………（10分） 2 故可求得△ABC三边所在直线方程为

AB:x?2y?7?0,BC:x?4y?1?0,AC:x?y?2?0。………………（12分）

17．解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在。设直线l的方程为y=k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以|1?k(?3?4)|，从而k(24k?7)?0。 d?22?(3)2?1。由点到直线的距离公式得d?1?k2即k=0或k??7，所以直线l的方程为y=0或7x+24y－28＝0。…………………（5分） 24（2）设点P（a, b）满足条件，不防设直线l1的方程为y?b?k(x?a),k?0，则直线l2的方程1为y?b??(x?a)。因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆

kC2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，则1|5?(4?a)?b||1?k(?3?a)?b|k。………………………………（7分） ?211?k1?2k

整理得|1?3k?ak?b|?|5k?4?a?bk|， 从而1?3k?ak?b?5k?4?a?bk或

1?3k?ak?b??5k?4?a?bk，

即(a?b?2)k?b?a?3或(a?b?8)k?a?b?5,因为k的取值范围有无穷多个。 53??a?,a??,???a?b?2?0,?a?b?8?0,??22或?所以? 解得? 或?113?b?a?3?0?a?b?5?0,?b???b?.??2??251313这样点只可能是点P)。 2(?,1(,?)或点P2222经检验点P1和P2满足题目条件。

?????????OA?OP?????|OP|cos?AOP， 18．（1）作出可行域如图，则???|OA|………………………………………（12分）

又∠AOP是OA与OP的夹角，

????????????????OA?OP?表示OP在OA上的投影，…………3分 ∴目标函数???|OA|????过P作OA的垂线PH，垂足为H，

????????当P在可行域内移动到直线3x?y?0和直线x?3y?2?0的交点B(1,3)时，

??????????????????????OP在OA上的投影为|OH|最大，此时|OP|?|OB|?2，∠AOP＝∠AOB＝，

6????????????OA?OP??的最大值为|OB|cos?AOB?2cos?3 ………………………6分 ????|OA|6????????OA?OP??????|OA|cos?AOP?23cos?AOP，…………………………………9分 （2）z????|OA|?5??? 因为?AOP?[,]，所以当?AOP?时，zmax?23cos??3；

66665?5?时，zmin?23cos??3。 66????????OA?OP?的取值范围为[－3，3]。 ……………………………………12分 ?z????|OA| 当?AOP?19．（1）易知a?2,b?1,c?3,?F1(?3,0),F2(3,0)，设P(x, y)，

?????????x2112222则PF1?PF2?(?3?x,?y)?(3?x,?y)?x?y?3?x?1???(3x?8)……4分

444?????????而x?[?2,2]，故当x=0时，PF1?PF2有最小值－2.

当x??2时，PF1?PF2有最大值1……………………6分

（2）显示直线x=0不满足题意，∴可设直线l:y?kx?2,A(x1,y1),B(x2,y2) ?y?kx?212?2(k?)x?4kx?3?0 联立?x2消去y得24??y?1?4??????????x1?x2??4k3,x1?x2?………………7分 1122k?k?44133由△?(4k)2?4(k2?)?3?4k2?3?0得k??或k?………………①8分

422OB?0 又0???AOB?90?，则cosAOB?0即OA??x1x2?y1y2?0，又y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4

?????????k2?1?x1x2?y1y2???0即k2?4 ??2?k?2………………②11分

11k2?k2?443由①②得k的范围是?2?k??33或?k?2………………12分 222x2y2x220．（1）依题意可设双曲线方程为：y???(??0)即??1

4?4?y2x2则2??23 ???3 ∴双曲线方程为??1……………………5分

312（2）设P1(?2y1,y1),P2(2y2,y2)和点M（x0, y0）

?2y1?4y2?x?20???????????x0?32 ?PM 又∵M在双曲线上 ?y0??2MP2 ???3 1y?2y42?y?10?3? ?(y1?2y221?2y1?4y2227)?()?3整理得y1y2?………………9分 3438 又直线P1P2的方程为

y?y1x?2y12yy令x=0得y?12 ?y2?y12y2?2y1y1?y212y1y227 ?S?POP………………13分 ??||?|(2y?2y)|?2|yy|?2112122y1?y2421．（1）?Sn?f(n)?pn2?qn ?当n=1时，a1?s1?p?q

当n≥2时，an?Sn?Sn?1?pn2?qn?[p(n?1)2?q(n?1)]?2pn?p?q

由于n=1时，a1?p?q适合上式，故数列{an}的通项公式为

an?2pn?p?q………………3分 又an?1?an?2p?0

∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，?an?1?an???a1?p?q?1 ?an?1?an?1………………4分

（2）设Mi,Mj(i?j)是M1，M2，…,Mn中任意两点，则Mi(i,SSi),Mj(j,j) ijSiSjj(a1?aj)i(a1?ai)?j??i?jS?iSjij22?kMiMj??i?i?jij(i?j)ij(i?j)

ij(a1?ai)?ij(a1?aj)ai?aj[a1?(i?1)2p]?[a1?(j?1)2p]???2ij(i?j)2(i?j)2(i?j)＝P…………………………8分

?Mi,Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi,Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，∴

点M1，M2，……，Mn在同一直线l1上………………9分 （3）∵N1, N2 两点连线的斜率为k2?tan?|a2?a1?2p，又直线l的斜率为k1=p，由夹角公式得 2?1k1?k2p11|???………………13分 211?k1k21?2p22?2pp当且仅当故当p?

12时，上式等号成立。 ?2p即p?p222时，tan?有最大值……………………14分

42

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