热力学统计物理_答案

热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：

lnV=??αdT?κTdp?

如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为

V?V?T,p?,

其全微分为

??V???V?dV??dT???dp. （1） ??T?p??p??T全式除以V，有

dV1??V?1??V???dT???dp. ?VV??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为

dV??dT??Tdp. （2） V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

lnV????dT??Tdp?. （3）

若??,?T?，式（3）可表为

?11?lnV???dT?dp?. （4）

p??T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体

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积由V0最终变到V，有

lnVTp=ln?ln, V0T0p0即

pVp0V0， ??C（常量）

TT0或

pV?1T1pC. T （5）

式（5）就是由所给??,?T?求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

1.10 声波在气体中的传播速度为

???? ????s??p?假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及?给出：

a2u??u,????1?0a2h ??h ?-10其中u0,h0为常量。

解：根据式（1.8.9），声速a的平方为

a2??pv, （1）

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其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为

pV?mRT, ?m1RT, （2） ?m式中m是气体的质量，m?是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，有

pv?代入式（1）得

a2??m?RT. （3）

以u,h表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。 由式（1.7.10）—（1.7.12）知

m?u?RT?m?u0, ??1m?h??RT?m?h0. （4） ??1将式（3）代入，即有

a2u??u, ?(??1)0a2h??h0. （5） ??1式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和?即可确定气体的比内能和比焓。

1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1升至T2。 假设?是常数，试证明前者的熵增加值为后者的?倍。

解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为

S?CplnT?nRlnp?S0. （1）

在等压过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?Sp为

?Sp?CplnT2. （2） T1根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为

S?CVlnT?nRlnV?S0. （3）

在等容过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?SV为

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?SV?CVlnT2. （4） T1所以

?Sp?SV?CpCV??. （5）

1.21 物体的初温T1，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

Wmax?Q?T2(S1?S2)

其中S1?S2是物体的熵减少量。

解：以?Sa,?Sb和?Sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为

?S??Sa??Sb??Sc.

由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求

?S??Sa??Sb??Sc?0. （1）

以S1,S2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为

?Sa?S2?S1. （2）

热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即

?Sb?0. （3）

以Q表示热机从物体吸取的热量，Q?表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有

Q?Q??W,

所以热源的熵变为

?Sc?Q?Q?W?. （4） T2T2将式（2）—（4）代入式（1），即有

S2?S1?Q?W?0. （5） T2上式取等号时，热机输出的功最大，故

Wmax?Q?T2?S1?S2?. （6）

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式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：

p?f(V)T,

试证明其内能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：

故有

但根据式（2.2.7），有

??U???p??T?????p, （3） ??V?T??T?V??p????f(V). （2） ?T??Vp?f(V)T, （1）

所以

??U????Tf(V)?p?0. （4） ??V?T这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.

2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.

解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数

??T???T?和????描述. 熵函数S(T,p)的全微分为 ??p?S??p?H??S???S?dS??dT???dp. ???T?P??p?T在可逆绝热过程中dS?0，故有

??S???V?T??p?????T??T????P. （1） T?????S?Cp????p?S????T?P最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.

焓H(T,p)的全微分为

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