《理论力学》第五章 点的运动 习题全解

第五章 点的运动 习题全解

[习题5-1] 一点按x?t?12t?2的规律沿直线动动(其中t要s计,x以m计).试求:(1)最初3s内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初3s内经过的路程;(4)t?3s时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初3s内的位移.

x(0)?03?12?0?2?2m x(3)?33?12?3?2??7m

?x?x(3)?x(0)??7?2??9(m) (动点的位移为9m,位移的方向为负x方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: v?3dx?3t2?12?0, dt亦即:当t?2s时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: x(2)?23?12?2?2??14(m) (3)求最初3s内经过的路程.

S(0~3)?S(0~2)?S(2~3)?|?14?2|?|?7?(?14)|?16?7?23(m) (4)求t?3s时的速度和加速度

v?dxdx?3t2?12 v(3)??3?32?12?15(m/s) dtdtdva??6t a(3)?6?3?18(m/s2)

dt(5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.

若v与a同号,则动点作加速运动; 若v与a异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:

va?(3t2?12)(6t)?18t(t2?4)?18t(t?2)(t?2)?0

t(t?2)(t?2)?0 0?t?2.

即当0?t?2s时,动点作加速动动.

1

异号时有:

t(t?2)(t?2)?0 t?2

即当t?2s时,动点作减速运动.

[习题5-2] 已知图示机构中,OA?AB?l,CM?DM?AC?a,求出???t时,点M的动动方程和轨迹方程。

解:设动点M的坐标为M(x,y),则由图中的几何关系可知,运动方程为: x?lcos?t

y?lsin?t?2asin?t?(l?2a)sin?t 把上式两边分别平方后相加,得到轨迹方程:

yACD?OMB题5?2图xx2y2 2??1 2l(l?2a)[习题5-3] 跨过滑轮C的绳子一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向运动,其速度为

v0?1m/s,A点到地面的距离保持常量h?1m.滑轮离地面的高度H?9m,其半径忽略不

计.当运动开始时,重物在地面上B0处,绳AC段在铅直位置A0C处.求重物B上升的运动方程和速度方程,以及重物B到达滑轮处所需的时间.

2

22解:从图中可知,绳子的原长约为16m.在任一瞬时,绳子的长度为:8?(1?t)?lBC.即:

82?t2?lBC?16 lBC?16?82?t2

B点的y坐标,即重物B上升的运动方程为:

yB?8?lBC?8?16?64?t2?64?t2?8

重物B上升的速度方程为:

vB?dyBd2tt ?(64?t2?8)??22dtdt264?t64?t重物到达滑轮时,所走过的路程为8m,即:

dy?vdt?t64?t2dt

y??t64?t2dt??d(64?t2)264?t2?64?t2?C

当t?0时,y?0,C??8,故:

y?64?t2?8,依题意: 64?t2?8?8,解得:t?13.9s

[习题5-4] 偏心轮半径为r,转动轴到轮心的偏心距OC?d,坐标轴Ox如图所示.求杆AB的运动方程,已知???t,?为常量.

3

解:AB杆作竖向平动.A点的运动代表AB杆的运动.由图中的几何关系可知,A点的坐标,即AB杆的运动方程为:

rd?

sin?tsinAdsinA?sin?t

rd212cosA?1?sinA?1?2sin2?t?r?d2sin2?t

rr2xA?dcos?t?rcosA?dcos?t?r2?d2sin2?t

[习题5-5] 半圆形凸轮以匀速v?10mm/s沿水平方向向左运动,活塞杆AB长l沿铅直方向运动.挡运动开始时,活塞杆A端在凸轮的最高点上.如凸轮的半径R?80mm,求活塞B的运动方程和速度方程.

解:活塞杆AB作竖向平动.以凸轮圆心为坐标原点,铅垂向上方向为x轴的正向,则由图中的

4

几何关系可知,任一时刻,B点的坐标,即活塞B的运动方程为:

R2?(vt)2 xB?l?Rcos??l?R??l?R2?(vt)2?l?64?t2(cm)

R活塞B的速度方程为:

vB?dxB1?2t?t??(cm/s)

22dt264?t64?t[习题5-6] 已知杆OA与铅直线夹角???t(?以rad计,t以s计),小环M套在杆OA,CD6上,如图所示.铰O至水平杆CD的距离h?400mm.求小环M的速度方程与加速度方程,并求t?1s时小环M的速度及加速度.

解:以OA铅垂时小环M的位置为坐标原点,水平向右方向为x轴的正向.任一瞬时, M的坐标,即运动方程为:

xM?htan??400tan小环M的速度方程为:

?t6(mm)

vM?dxMd?t?t?200??t?(400tan)?400sec2()??sec2()(mm/s) dtdt66636200??sec2()(mm/s)?279(mm/s) 36vM(1)?小环M加速度方程为:

aM?dvMd200??t200?d?t?(sec2)?sec2dtdt363dt6

200??t?t?t?200?2?t?t??2sec?sectan???sec2?tan(mm/s2)

36666966 5

200?2??aM(1)??sec2?tan?169(mm/s2)

966[习题5-7] 滑道连杆机构如图所示,曲柄OA长r,按规律???0??t转动(?以rad计,t以

s计),?为一常量.求滑道上B点的运动方程,速度方程及加速度方程.

解:以O为坐标原点,OB方向为x轴的正向,则B点的坐标,即运动方程为: xB?rcos(?0??t)?l B点的速度方程为: vB?dxBd?[rcos(?0??t)?l]??rsin(?0??t)????r?sin(?0??t) dtdtB点的加速度方程为: aB?dvBd?[?r?sin(?0??t)]??r?2cos(?0??t) dtdt[习题5-8] 动点A和B在同一直角坐标系中的运动方程分别为

{xA?tyA?2t2, {xB?t2yB?2t4

其中,x,y以mm计, t以s计.试求:(1)两点的运动轨迹;(2)两点相遇的时刻;(3)两点相遇时刻它们各自的速度;(4)两点相遇时刻它们各自的加速度. 解: (1)求两点的运动轨迹

6

A点的运动轨迹:yA?2xA B点的运动轨迹:yB?2xB

(2)求两点相遇的时刻

两点相遇时,它们的坐标相同.

2 xA?xB, t?t, t?1s.即当t?1s时,两点相遇.

22(3)求两点相遇时刻它们各自的速度 vxA?dxAdy?1, vyA?A?4t, vA?1?16t2 dtdt两点相遇时,A点的速度为:

大小:vA(1)?1?16?4.12(mm/s).

方向:?vAvyA4?arctan?arctan?75057'50\

vxA1vxB?dxBdy?2t, vyA?B?8t3, vA?4t2?64t6 dtdt两点相遇时,B点的速度为: 大小:vB(1)?4?64?8.25(mm/s). vyBvxB8?arctan?75057'50\

2方向:?vB?arctan(4)求两点相遇时刻它们各自的加速度 axA?dvyAdvxA?0, ayA??4(mm/s2) aA?4mm/s2 dtdt 两点相遇时,A点的加速度为:

大小:aA(1)?4mm/s,方向:沿y轴正向.

2axB?dvyBdvxB?2, ayB??24t2 aB?4?576t4 dtdt 两点相遇时,B点的加速度为:

大小:aB(1)?4?576?24.08(mm/s2)

7

方向:?aB?arctan24?85014'11\ 2[习题5-9] 点M以匀速率u在直管OA内运动,直管OA又按???t规律绕O转动.当t?0时, M在O点,求其在任一瞬时的速度及加速度的大小.

解: r?ut,???t, 设任一瞬时,M点的坐标为M(x,y),则点M的运动方程为:

x?rcos??utcos?t, y?rsin??utsin?t

速度方程为:

vx?2dxd?(utcos?t)?ucos?t?ut(?sin?t)???ucos?t?u?tsin?t dtdtvx?u2cos2?t?(u?t)2sin2?t?2u2?tsin?t?cos?t

vy?2dyd?(utsin?t)?usin?t?ut?cos?t???usin?t?u?tcos?t dtdt vy?u2sin2?t?(u?t)2cos2?t?2u2?tsin?t?cos?t

vx?vy?u2?(u?t)2

任一瞬时,速度的大小为:

22v?vx?vy?u2?(u?t)2?u1?(?t)2

加速度方程为:

22ax?dvxd?(ucos?t?u?tsin?t)dtdt

?u?(?sin?t)???[u??sin?t?u?t?cos?t??]

??2u?sin?t?u?tcos?t

ax?4u2?2sin2?t?(u?2t)2cos2?t?4u2?3tsin?t?cos?t

22 8

ay?dvydt?d(usin?t?u?tcos?t) dt ?u?cos?t???[u??cos?t?u?t?(?sin?t)??

?2u?cos?t?u?2t?sin?t

ay?4u2?2cos2?t?(u?2t)2sin2?t?4u2?3tsin?t?cos?t ax?ay?4u2?2?(u?2t)2

任一瞬时,速度的大小为:

222a?ax?ay?4u2?2?(u?2t)2?u?4?(?t)2

[习题5-10] 一圆板在Oxy平面内运动.已知圆板中心C的运动方程为xC?3?4t?2t2,

22yC?3?2t?t2(其中xC,yC以m计, t以s计).板上一点M与C的距离l?0.4m,直线段

CM与x轴的夹角??2t2(?以rad计, t以s计),试求t?1s时M点的速度及加速度.

解: 设M点的坐标为M(x,y),则M点的坐标,即运动方程为:

x?xC?lcos??3?4t?2t2?0.4cos(2t2) y?yC?lsin??3?2t?t2?0.4sin(2t2)

速度方程:

vx?dxd?[3?4t?2t2?0.4cos(2t2)]??4?4t?0.4(?sin2t2)?4tdtdt

vx??4?4t?1.6tsin2t2

9

1800vx(1)??4?4?1.6sin(2?)??1.46(m/s)

3.14vy?dyd?[3?2t?t2?0.4sin(2t2)]?2?2t?0.4?cos2t2?4t dtdtvy?2?2t?1.6tcos2t2

1800vy(1)?2?2?1.6cos(2?)?3.33(m/s)

3.14t?1s时M点的速度为:

v??1.46i?3.33j (m/s)

加速度方程:

ax?dvxd?(?4?4t?1.6tsin2t2)?4?1.6[sin2t2?tcos2t2?4t] dtdtax?4?1.6sin2t2?6.4t2cos2t2

18001800ax(1)?4?1.6sin(2?)?6.4cos(2?)?5.215(m/s)

3.143.14ay?dvydt?d(2?2t?1.6tcos2t2)?2?1.6[cos2t2?t(?sin2t2)?4t] dtay?2?1.6cos2t2?6.4t2sin2t2

18001800ay(1)?2?1.6cos(2?)?6.4sin(2?)??4.484(m/s)

3.143.14t?1s时M点的加速度为:

a?5.215i?4.484j

[习题5-11] 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲线表示:y?0.04sin?x20,其中x,y

均以m计.设有一汽车沿x方向的运动规律为x?20t(x以m计,t以s 计).问汽车经过该段路面时,在什么位置加速度的绝对值最大?最大的加速度值是多少? 解: vy?dyd?x?x?dx??20t??(0.04sin)?0.04?cos???0.04?cos??20 dtdt202020dt2020vy?0.04?cos(??t)

10

ay?vx?dvydt?d[0.04?cos(??t)]?0.04?(?sin?t)????0.04?2sin?t dtdx?20(m/s) dtax?dvx?0 dta?ay??0.04?2sin?t

当?t?(2n?1)?2,n?1,2,?,即t?2n?1s时, 2加速度的绝对值最大, |a|max?0.04?2(m/s2). 此时汽车的位置在: x?20?2n?1??10?10(2n?1)(m),y?0.04sin?0.04(m) 220[习题5-12] 一点作平面曲线运动,其速度方程为vx?3,vy?2?sin4?t,其中vx,vy以

m/s计,t以s计.已知在初瞬时该点在坐标原点,求该点的运动方程和轨迹方程。

解：

（１）求运动方程

dx?vx?3 dt dx?3dt

x?3dt?3t?C1

由边界条件t?0，x?0代入上式得：C1?0，故 x?3t

?dy?vy?2?sin4?t dt dy?2?sin4?t?dt y?2?sin4?t?dt

?1 ?4?1n?t?d(4?t)? y?2??si4

4?11n?t?d(4?t)??co4s?t?C2 y??si422n?t?d(4?t)? y?2?si4 由边界条件t?0，x?0代入上式得：

11

11si4n?t?d(4?t)??co0s?C2 2?21 C2?，故

2111s?t??(1?co4s?t)，因此，该动点的运动方程为： y??co42221 x?3t；y?(1?cos4?t)。

2 0?（２）求动点的轨迹

x1代入y?(1?cos4?t)得：

2314? y?(1?cosx)，这就是动点的轨迹方程。

23 由x?3t得t?[习题5-13] 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：ax??160cos2t，

ay??200sin2t。已知当t?0时，x?40，y?50，vx?0，vy?100（长度以mm计，

时间以s计），试求其运动方程和轨迹方程。 解：

（１）求运动方程

dvx?ax??160cos2t dt dvx??160cos2t?dt

nt?C1 vx??160cos2t?dt??80cos2t?d(2t)??80si2 把当t?0时，vx?0的边界条件代入上式得：C1?0，故 vx??80si2nt

??dx?vx??80sin2t dtnt?d(2t) dx??80sin2t?dt??40si2st?C2 x?40(?sin2t)?d(2t)?40co2 把当t?0时，x?40的边界条件代入上式得：40?40cos0?C2，C2?0，故

?st x?40co2 12

dvydt?ay??200sin2t

dvy??200sin2t?dt??100si2nt?d(2t) vy?100(?sin2t)?d(2t)?100cos2t?C3

把当t?0时，vy?100的边界条件代入上式得：C3?0，故 vy?100co2st

?dy?vy?100cos2t dtt?d(2t) dy?100cos2t?dt?50co2snt?C4 y?50cos2t?d(2t)?50si2 把当t?0时，y?50的边界条件代入上式得：C4?50，故 y?50sin2t?50。因此，该动点的运动方程为：

?st；y?50sin2t?50。 x?40co2（２）求动点的轨迹方程

x22 由x?40cos2t得：2?cos2t……(a)

40(y?50)2?sin22t……(b) 由y?50sin2t?50得：250 (a)+(b)得：

x2(y?50)2??1 这就是动点的轨迹方程。 224050[习题5-14] 定向爆破开山筑坝。爆破物从爆处Ａ至散落处Ｂ的运动可以近似地作为抛射运动，设Ａ、Ｂ两处高差为Ｈ，水平距离为Ｌ，初速v0与水平线夹角为?，试推证v0的大小 应为v0?glH(1?cot?)sin2?L 。

证：

13

v0x?vocos? L?voxt?v0cos??t

t?L……(a)

v0cos?v0y?vosin??gt

dy?voy?vosin??gt dtdy?(vosin??gt)dt

?t0dy??H?v0sin??t?12gt （Ａ点高于Ｂ点，故Ｈ前有个负号） 2H??v0sin??t?(a)代入(b)得：

12gt……(b) 2H??v0sin??L1L?g()2

v0cos?2v0cos?H??tan??L?gL22v0cos?22gL22v0cos?22

22?L?tan??H

gL22v0cos??

tan??Hv02gL2gL2gL2???2sin?cos?2cos?sin??L?2cos??H2cos2?(L?H)L?sin2??2cos?sin???Hcos?sin?gL2gL2???Lsin2??sin2??cot??Hsin2?(L?Hcot?)gL(1?Hcot?)sin2?L

v02故v0?gHH(1?cot?)sin2?L，本题得证。

14

[习题5-1５] 重力坝溢流段和鼻坎挑流。鼻坎与下游水位高差为Ｈ，设挑流角为?，水流射出鼻坎的速度为v，试求射程Ｌ。

解：vx?vcos? ?H?vyt?12gt 2?2H?2vyt?gt2 gt2?2vsin??t?2H

2vsin??4v2sin2??4g(?2H)vsin??v2sin2??2gH，取 t??2ggvsin??v2sin2??2gHt?

gvsin??v2sin2??2gHL?vxt?vcos??gv2sin?cos??vcos?v2sin2??2gH L?g

[习题5-16] 喷水枪的仰角??45，水流以v0?20m/s的速度射至倾角为60的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度与斜面垂直，试求水流喷射在斜坡上的高度h及水枪放置的位置Ｏ与坡脚Ａ的距离s。

00yvBvBx300vByv0?

BhxsA600O 15

解：vx?v0cos? vy?v0sin??gt

到达Ｂ点时，

tan300?vByvBx?v0sin??gtgtgt ?tan???tan450?0v0cos?v0cos?20cos453gt ?1?31020.577?1?0.693t

t?0.61(s) h?vyt?121gt?(v0sin??gt)t?gt2?v0tsin??1.5gt2 22h?20?0.61?sin450?1.5?9.8?0.612?3.157(m)

s?vxt?hcot600?v0cos??t?3.157?0.577

?20?cos450?0.61?1.822?6.8(m)

[习题5-17] 点沿曲线ＡＯＢ动动。曲线由ＡＯ、ＯＢ两段圆弧组成，ＡＯ段曲率半径

R1?18m，ＯＢ段曲率半径R2?24m，取圆弧交接处Ｏ为原点，规定正方向如图所示。

2已知点的运动方程：s?3?4t?t，t以s计，s以m计。求：（１）点由t?0至t?5s

所经过的路程；（２）t?5s时的加速度。

题5?17图(?)AsR1OR2B(?)解：（１）求点由t?0至t?5s所经过的路程

s?3?4t?t2

16

令

ds?4?2t?0得t?2s；当t?2s时，动点改变运动方向。 dts(0)?3

s(2)?3?4?2?22?7 s(5)?3?4?5?52??2

点由t?0至t?2s所经过的路程s0?2?s(2)?s(0)?7?3?4(m) 点由t?2至t?5s所经过的路程s2?5?4?[3?(?2)?9(m) 点由t?0至t?5s所经过的路程s0?5?4?9?13(m) （２）求t?5s时的加速度

v?ds?4?2t?0 dtdva????2(m/s2)

dtv2(4?2?5)2an???2(m/s2)

R118a?a??an?(?2)2?22?2.83(m/s2)

[习题5-18] 摇杆滑道机构如题5-1８附图所示，滑块Ｍ同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动。BC弧的半径为R，摇杆OA的转轴在BC弧所在的圆周上。摇杆绕O轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐标法

设滑块Ｍ的坐标为M(x,y)，则动点Ｍ的运动方程为：

22x?R?Rcos2?t

y?Rsin2?t vx?dx?R?(?sin2?t)?2???2R?sin2?t dtdxvy??R?cos2?t?2??2R?cos2?t

dtx(?)B?MAyO?t(?)C2?t0 17

v?vx?vy?4R2?2(sin22?t?cos22?t)?2R?

22tan?1?tan(vx,vy)?vyvx??cot2?t

?1?arctan(?cot2?t)

ax?dvx??2R??cos2?t?2???4R?2cos2?t dtay?

dvydt?2R??(?sin2?t)?2???4R?2sin2?t

a?ax?ay?16R2?4(cos22?t?sin22?t)?4R?2

22tan?2?tan(ax,ay)?ayax?tan2?t

?2?(ax,ay)?2?t

（2）自然坐标法

建立如图所示的自然坐标。Ｍ点的运动方程（即弧坐标）为：

s?2R?t

v?ds?2R? dtdva???0２

dt(2R?)2an???4R?2

?Ra?a??an?02?(4R?2)2?4R?2

?x?75cos4t2[习题5-19] 某点的运动方程为：?，x及y的单位为m，t的单位为s。求2?y?75sin4t它的速度、切向加速度与法向加速度。 解：

（１）求动点的速度

22v2vx?dx?75(?sin4t2)?8t??600t?sin4t2 dt 18

vy?dy?75cos4t2?8t?600t?cos4t2 dt22v?vx?vy?3600t2(sin24t2?cos24t2)?600t(m/s)

（２）求动点的切向加速度

a??dv?600(m/s2) dt（３）求动点的法向加速度

(600t)2 an???48t02(0m/s2)

?75?x?t2?t[习题5-20] 已知动点的运动方程为：?，x及y的单位为m，t的单位为s。求

y?2t?其轨迹及t?1s时的速度、加速度。并分别求切向加速度、法向加速度与曲率半径。 解：（１）求动点的轨迹及t?1s时的速度、加速度

v2?x?t2?t由?得：

y?2t?y2yx??

424x?y2?2y

4y2?2y?4x?0，即该动点的轨迹为抛物线。

dx?2t?1 dtdyvy??2

dtvx?v?vx?vy?(2t?1)2?22?4t2?4t?5 t?1s时的速度

22v(1)?4?4?5?2.24(m/s)

ax?dvx?2(m/s2) dtay?dvydt?0

19

a?ax?2(m/s2)

t?1s时的加速度

a(1)?2(m/s2)

（２）求切向加速度、法向加速度与曲率半径

a??dvd8t?44t?2 ?(4t2?4t?5)??22dtdt24t?4t?54t?4t?5t?1s时的切向加速度

a?(1)?4t?24t2?4t?522?25?0.894(m/s2)

a2(1)?a?(1)?an(1)

22?242?an(1) 5an(1)?3.2 an(1)?1.789(m/s2) an(1)?5v2??1.789

??1.789

5?2.795(m)?2.8m 1.789??2[习题5-21] 点Ｍ沿给定的抛物线y?0.2x运动（其中x,y均以m计）。在x?5m处时，

速度v?4m/s，切向加速度a??3m/s2。求点在该位置时的加速度。 解： y?0.2x

2dydydx???0.4x?vx dtdxdtv?(dx2dydx22)?()2?vx?0.16x2vx?1?0.16x2? dtdtdt2?v?1?0.16x?x

20

r2?(2acos?)?r?(a2?R2)?0

2acos??4a2cos2??4(a2?R2) r?2r?acos??a2cos2??a2?R2，取：

r?acos?t?a2cos2?t?a2?R2

dra2?2cos?t?(?sin?t)???a?(?sin?t)???dt2a2cos2?t?a2?R2dra2?sin2?t ??a??sin?t?2222dt2acos?t?a?R1a2?2cos?t?(?sin?t)??(a??cos2?t?2?)?2acos?t?a?R?(a?sin2?t)??222a2cos2?t?a2?R2dr??a??cos?t???dt24(a2cos2?t?a2?R2)222222(?2a2?2)?2?a2?R2d2r4a2?2R2?a2|??????dt2??24(?a2?R2)4(R2?a2)a2?2R?a22

vr?dr|??a?(?1)????a? dt??2???t

d??? dtd2??0 dt2v??r|?2????R2?a2??

2v?vr?v??a2?2?(R2?a2)??2?R?

2d2rd?ar?2?r()2?dtdta2?2R?a22?R?a???2222a2?2?R2?2R?a22

d2?drd?a??r2?2?R2?a2?0?2?(?a?)????2a?2

dtdtdta总?ar?a?

22(4a4?4?4a2R2?4?R4?4)?4a2?4(R2?a2) ?22R?a26

4a4?4?4a2R2?4?R4?4?4a2?4R2?4a4?4 a总?22R?aa总?R4?4?22R?aR2?2R?a22

[习题5-26] 杆ＯＡ按规律??At（?以rad计，t以s计）绕Ｏ轴逆时针转动，同时套筒

2Ｍ按规律r?Bt（r以m计，t以s计）沿杆运动。当t?1s时，Ｍ的速度v?22m/s，

切向加速度a??32m/s2。试确定常数Ａ、Ｂ，并求t?3s时Ｍ的径向加速度和横向加速度。

解：（１）求Ａ、Ｂ

ArMr?Bt2 dr?2Bt dtO?题5?26图dr?2B 2dt2??At

d??A dtd2??0 2dtv?(dr2d?2)?(r)?(2Bt)2?r2A2?4B2t2?B2t4A2?Bt4?A2t2 dtdtdv2A2t22 a???B4?At?Bt?22dt24?At当t?1s时，Ｍ的速度v?22m/s，即：

22?4B2?B2A2

4B2?A2B2?8 B2?

27

8……..(1)

A2?4当t?1s时，切向加速度a??32m/s2,即：

dv2A2t22 a???B4?At?Bt?22dt24?At32?B4?A?B2A24?A2?B(4?A2)?BA24?A2?4B?2A2B4?A2

324?A2?4B?2A2B 18(4?A2)?(4B?2A2B)2

72?18A2?16B2?16A2B2?4A4B2

18?4.5A2?B2(4?4A2?A4)……(2)

（１）代入（２）得：

18?4.5A2?824(4?4A?A) 2A?4(18?4.5A2)(A2?4)?8(4?4A2?A4)

18A2?4.5A4?72?18A2?32?32A2?8A4 3.5A4?4A2?40?0

24?(?4)?4?3.5?(?40)4?24??42A????20

?2?3.57??7负根不合舍去，A?2

B2?88??1，B?1 2A?44?4故，A?2，B?1。

（２）求t?3s时Ｍ的径向加速度和横向加速度 动点Ｍ的运动方程为：

r?t2，??2t dr?2t dtd2r?2 dt2 28

??2t

d??2 dtd2??0 2dtd2rd?ar?2?r()2?2?t2?22?2?4t2

dtdtar|t?3?2?4?32??34(m/s2)

d2?drd?a??r2?2???0?2?2t?2?8t

dtdtdta?|t?3?8?3?24(m/s2)

a?(2?4t2)er?8tep

29

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