2017年陕西省榆林市高三文科二模数学试卷

2017年陕西省榆林市高三文科二模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 已知集合 ??= ?? ??2<4 ，??= ??∈?? ?3≤??<1 ，则 ??∩??= ??

A. ?2,?1,0 C. ?1,0

B. ?1,0 D. ?3,?2

2. 设复数 ??=?2+i i是虚数单位 ，?? 的共轭复数为 ??，则 2+?? ??? 等于 ??

A. 5 B. 2 5 C. 5 2 D. 10 = 3???,2 ，?? ???3. 若向量 ?? = 2,?1 ，?? = 4,?? 满足 6?? ??? =8，则 ?? 等于 ??

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

e??,0≤??<14. 设函数 ?? ?? = 在区间 0,e 上随机取一个实数 ??，则 ?? ?? 的值不小于常数 e

ln??+e,1≤??≤e的概率是 ??

A. e

1

B. 1?e 1

C. 1+e e

D. 1+e 1

5. 中国古代数学著作 《 算法统宗 》 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了多少里?”根据此规律，后 3 天一共走了 ??

A. 156 里

B. 84 里

C. 66 里

D. 42 里

6. 执行如图所示的程序框图，输出 ?? 的值为 ??

A. ?

15

31

B. ? 5

??2??27

C. ?

17

31

D. ?

17

21

7. 点 ?? 在双曲线 ?

??2??2=1 ??>0,??>0 的右支上，其左右焦点分别为 ??1，??2，直线 ????1 与以坐

??△????2??

△????1??2

标原点 ?? 为圆心，?? 为半径的圆相切于点 ??，线段 ????1 的垂直平分线恰好过点 ??2，则 ??值为 ??

A. 7

π

1

1

2

1

1

的

B. 9

3π

C. 6 D. 8

8. 若 cos 8??? =6，则 cos 4+2?? 的值为 ??

A. 18 17

B. ?18

17

C. 19 18

D. ?19

18

第1页（共9页）

9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ??

A. 64+18 3 B. 64+16 3 π

C. 96 D. 92?2 3 π

10. 已知函数 ?? ?? =sin ????+?? ??>0, ?? <2 的最小正周期为 4π，且其图象向右平移 7 个单位

后得到函数 ?? ?? =sin???? 的图象，则 ?? 等于 ??

A. ?14 π

B. ?7

π

C. 14

π

D. 7

π

11. 已知四棱锥 ??????????? 的顶点都在球 ?? 的球面上，底面 ???????? 是矩形，平面??????⊥底面????????，

△?????? 为正三角形，????=2????=4，则球 ?? 的表面积为 ??

A.

56π3

B.

64π3

1e

C. 24π D.

80π3

12. 已知函数 ?? ?? =???3+1+??（≤??≤e，e 是自然对数的底）与 ?? ?? =3ln?? 的图象上存在关

于 ?? 轴对称的点，则实数 ?? 的取值范围是 ??

1

A. 0,e3?4 C. 3+2,e3?4

e1

B. 0,e3+2 D. e3?4,+∞

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 已知 ?? 2?? =??+3，若 ?? ?? =5，则 ??= ．

14. 过点 1,0 且与直线 ??? 2??+3=0 平行的直线 ?? 被圆 ???6 2+ ??? 2 =12 所截得的弦

长为 ．

15. 设各项均为正数的等差数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且满足 ??1??2=35，??1??3=45，则

??10= ．

2?????+2≥0,

且 ??=??????? ??<2 的最小值为 ?5，则 ??= ． 16. 若实数 ??，?? 满足 2??+???6≤0, 2

0≤??≤3,

2

三、解答题（共7小题；共91分）

17. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??，已知 ?????=sin??+sin??．

（1）求角 ?? 的大小；

??

sin??+sin??

第2页（共9页）

（2）若 ??=2 2，??+??=3，求 △?????? 的面积．

18. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就

没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取 5 名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：

成绩编号物理 ?? 数学 ??

??

190

285

374

45

6863

1301251109590

= ??=1??????????????? ??） （参考公式：?? =?????2，????2 ??=1?????????

（参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595）

??+?? 精确到 0.1）．若某位学生的（1）求数学成绩 ?? 对物理成绩 ?? 的线性回归方程 ?? =?? （??

物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩；

（2）要从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少

有一位高于 120 分的概率．

19. 如图，已知四边形 ???????? 与 ???????? 分别为正方形和直角梯形，平面????????⊥平面????????，

????=????=2????=1，????⊥????，????∥????，点 ?? 是棱 ???? 的中点．

1

（1）求证：????∥平面????????；

（2）求三棱锥 ????????? 的体积．

20. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 经过点 2,

（1）求椭圆 ?? 的标准方程；

（2）过椭圆 ?? 的左焦点 ?? 作任一条不垂直于坐标轴的直线 ??，交椭圆 ?? 于 ??，?? 两点，记弦

???? 的中点为 ??，过 ?? 做 ???? 的垂线 ???? 交直线 ???? 于点 ??，证明，点 ?? 在一条定直线上．

??2

??2

2 5 5 3，离心率为 ，点 ?? 为坐标原点． 25

21. 已知函数 ?? ?? =2ln???3??2?11??．

（1）求曲线 ??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线方程；

第3页（共9页）

（2）若关于 ?? 的不等式 ?? ?? ≤ ???3 ??2+ 2???13 ???2 恒成立，求整数 ?? 的最小值． 22. 以直角坐标系的原点 ?? 为极点，?? 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知

??=??sin??, ??为参数,0

??=2+??cos??

8sin??．

（1）求直线 ?? 的普通方程和曲线 ?? 的直角坐标方程；

（2）设直线 ?? 与曲线 ?? 相交于 ??，?? 两点，当 ?? 变化时，求 ???? 的最小值． 23. 已知函数 ?? ?? = ???2 ．

（1）求不等式 ?? ?? +??2?4>0 的解集；

（2）设 ?? ?? =? ??+7 +3??，若关于 ?? 的不等式 ?? ??

范围．

第4页（共9页）

答案

第一部分 1. C 6. C

2. A 7. D

3. D 8. A

4. B 9. B

5. D 10. C

2 33

11. B 【解析】令 △?????? 所在圆的圆心为 ??1，则圆 ??1 的半径 ??=因为 平面??????⊥底面????????， 所以 ????1=2????=2，

2 3所以球 ?? 的半径 ??= 4+ =

24 3364π3

1

，

所以球 ?? 的表面积 =4π??2=

．

1

12. A 【解析】根据题意，若函数 ?? ?? =???3+1+??（e≤??≤e，e 是自然对数的底）与 ?? ?? =3ln?? 的图象上存在关于 ?? 轴对称的点，

则方程 ???3+1+??=?3ln?? 在区间 e,e 上有解，

???3+1+??=?3ln?????+1=??3?3ln??，即方程 ??+1=??3?3ln?? 在区间 e,e 上有解， 设函数 ?? ?? =??3?3ln??，其导数 ??? ?? =3??2???=

1

1e

3

3 ??3?1

??

1

1

，

又由 ??∈ e,e ，??? ?? =0 在 ??=1 有唯一的极值点， 分析可得：当 ≤??≤1 时，??? ?? <0，?? ?? 为减函数， 当 1≤??≤e 时，??? ?? >0，?? ?? 为增函数， 故函数 ?? ?? =??3?3ln?? 有最小值 ?? 1 =1，

又由 ?? e =e3+3，?? e =e3?3；比较可得：?? e

故函数 ?? ?? =??3?3ln?? 在区间 e,e 上的值域为 1,e3?3 ；

若方程 ??+1=??3?3ln?? 在区间 ,e 上有解，必有 1≤??+1≤e3?3，则有 0≤??≤e3?4，

e11

1

1

1

即 ?? 的取值范围是 0,e3?4 ． 第二部分 13. 4 14. 6 15. 140 16. 1

【解析】实数 ??，?? 满足约束条件的可行域如图所示，

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??=??????? ??<2 的最小值为 ?2，可知目标函数的最优解过点 ??， ??=3,解得 ?? 1,3 ， 由 22?????+2=0,所以 ?2=2???3， 解得 ??=1． 第三部分

17. （1） △?????? 中， 因为

???????

??5

1

5

=

sin??+sin??sin??+sin????+??

，

所以 ?????=??+??，

所以 ????+??2=??2???2， 所以 ??2+??2???2=?????， 所以 cos??=所以 ??=

2π3

??2+??2???2

2????

=?

????2????

=?，

2

1

．

（2） 因为 ??=2 2，??+??=3， 所以

??2=??2+??2?2????cos??

2π

=??2+??2?2????cos

3

2

= ??+?? ?????=9?????=8,

所以 ????=1， 所以 △?????? 的面积为

??=

12π????sin231 3=×1× 22 3=.

418. （1） ??=76，??=110，

???????????????42595?5×76×110

= ??=1 ??=110? 1.5 ×76≈?4， 所以 ??=≈1.5，?? =?????2??229394?5×762 ??=1???????????

所以 ?? =1.5???4，??=80，?? =116．

第6页（共9页）

2

（2） 从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，有 C5=10 种方法，

选中的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的概率为 1?10=10． 19. （1） 因为四边形 ???????? 与 ???????? 分别为正方形和直角梯形，

平面????????⊥平面????????，????=????=2????=1，????⊥????，????∥????，点 ?? 是棱 ???? 的中点． 所以 以 ?? 为原点，???? 为 ?? 轴，???? 为 ?? 轴，???? 为 ?? 轴，建立空间直角坐标系，

1

C23

7

?? 0,2,0 ，?? 1,0,1 ，?? 2,1,2 ，?? 0,1,1 ， = 1,0,?1 ， ????

2

2

11

平面 ???????? 的法向量 ?? = 0,1,0 ， =0，?????平面????????， 因为 ?? ?????所以 ????∥平面????????．

（2） 因为点 ?? 到平面 ?????? 的距离 ????=1，

??△??????=??梯形???????????△??????= 1+2 ×1?×1×1=1，

2

2

1

1

所以三棱锥 ????????? 的体积：

???????????=???????????=×????×??△??????=×1×1=．

3

3

3

1

1

1

20. （1） 由题意可知：椭圆的离心率 ??=则 ??2=5??2，

??2 5 3将点 , 代入椭圆 2225??

??2

????

= 1?

??2??2

=

2 55

，

+

??2??2=1，解得：??2=1，??2=5，

所以椭圆 ?? 的标准方程 5+??2=1．

（2） 由题意可知：直线 ?? 的斜率存在，且不为 0，??=?? ??+2 ，直线 ????:??=? ??+2 ，

??1

设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，?? ??0,??0 ， ??=?? ??+2 ,

则 ??2 2

+??=1,5

整理得： 1+5??2 ??2+20??2??+20??2?5=0， 由韦达定理可知：??1+??2=?1+5??2，??1???2=则 ??0=

??1+??22

10??2

2??

??

120??2

20??2?51+5??2，

=?1+5??2，??0=?? ??0+2 =1+5??2，

0

则直线 ???? 的斜率为 ??????=??0=?5??，

第7页（共9页）

直线 ????:??=?

15??

??，

1

??=???,

5?? 1

??=? ??+2 ,

????=?,

2解得： 1 ??=,

2??

5

即有 ?? 取何值，?? 的横坐标均为 ?2，则点 ?? 在一条定直线 ??=?2 上． 21. （1） ??? ?? =???6???11，??? 1 =?15，?? 1 =?14，

曲线 ??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线方程为：??? ?14 =?15 ???1 ， 即 15??+???1=0 为所求．

（2） 关于 ?? 的不等式 ?? ?? ≤ ???3 ??2+ 2???13 ???2 恒成立 ?2ln???????2?2????+2??+2≤0 恒成立．

令 ?? ?? =2ln???????2?2????+2??+2， ??>0 ，??? ?? =?2?????2??+2=

??

1

1

2

?2 ?????1 ??+1

??

2

55

，

当 ??≤0 时，??? ?? >0 恒成立，?? ?? 在 0,+∞ 递增，??→+∞ 时，?? ?? →+∞，不符合题意． 当 ??>0 时，??∈ 0,?? ，??? ?? >0，??∈ ??,+∞ ，??? ?? <0， 故 ?? ?? 在 0, 递增，在 ,+∞ 递减，

????

?? ?? max

1

=??

??=?2ln??+≤0,

??=2 符合题意； 整数 ?? 的最小值为 2．

??=??sin??,消去参数可得：??cos?????sin??+2sin??=0； 22. （1） 直线 ?? 的参数方程为 ??=2+??cos??即直线 ?? 的普通方程为 ??cos?????sin??+2sin??=0； 曲线 ?? 的极坐标方程为 ??cos2??=8sin??． 可得：??2cos2??=8??sin??． 那么：??2=8??．

所以曲线 ?? 的直角坐标方程为 ??2=8??．

（2） 直线 ?? 的参数方程带入 ?? 的直角坐标方程，可得：??2sin2???8??cos???16=0； 设 ??，?? 两点对应的参数为 ??1，??2， 则 ??1+??2=

8cos??1

1

1 ??，??1??2=sin2??． sin2??

8

?16

所以 ???? = ??1???2 = ??1+??2 2?4??1??2=sin2??． 当 ??=2 时， ???? 取得最小值为 8．

23. （1） 由题意，当 ??>2 时，???2>4???2，或当 ??<2 时，???24???2 得 ??>2 或 ??2 或 ??

π

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