概率论习题

第一章 习题

一．选择题

1 设B?A，则下面正确的等式是 。

A P(AB)?1?P(A)； B P(B?A)?P(B)?P(A)； C P(B|A)?P(B)； D P(A|B)?P(A) 2 设A和B是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）

A P（A）≥P（A|B） B P（A）≤P（A|B） C P（A）≥P（A+B） D P（A）≤P（AB）

3.在下列四个条件中，能使P(A?B)?P(A)?P(B)一定成立是（ ） A、A?B B、A、B独立 C、A、B互不相容 D、B?A

4.设在每次试验中，事件A发生的概率为p(0?p?1)，q?1?p，则在n次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率是（ ）

A、pn B、qn C、1?pn D、1?qn

5.设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是（ ） A、A与BC独立 B、AB与A?C独立 C、AB与BC独立 D、A?B与A?C独立

6 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n) 次成功的概率为 . A Cn?1p(1?p)C Cn?1pr?1r?1r?1rn?r； B Cnp(1?p)rrn?r；

(1?p)n?r?1； D pr(1?p)n?r.

二．填空题

1 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，则P(BA)? . 2 随机事件Ａ和B相互独立， 且P（A）=0.６, P(Ａ－ＡB)=0.3, 则P(B)=______

P(A∪Ｂ)=_________

??3 设 样 本 空 间 U = {1， 2，10 }， A ={2， 3， 4， }， B={3， 4， 5， } ，

C={5， 6， 7}， 则 A?B?C?表 示 的 集 合 =______________________

4 设A,B,C为三个事件，则“A,B,C中至少有一个发生”可表示为 5 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才

取到正品的概率为 . 6设A,B为两随机事件，已知P(A)?0.7?0.3?P(B),P(A?B)?0.8，则

P(A|A?B)?三 计算题

1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.

2 甲、乙.丙三人同时对一架飞机进行射击，设甲.乙.丙三人击中飞机的概率分别为0. 4,

0.5 和0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3,飞机被两人同时击中而被击落的概率为0.6,飞机被三人击中而被击落的概率为0.9，求飞机被击落的概率.

3 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

4 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

5 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品概率为0.03，第二台出现废品的概率是0.02；加工出来的零件放在一起。并且已知第一台加工的零件数是第二台的2倍。 求：(1)任取一个零件是合格品的概率，

(2)如果任取的零件是废品，求它是第二台生产的概率。

四 思考题

1 在一次乒乓球决赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这1000元应如何分配才算公平?

2 17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌注押到 “至少出现次双六” 比把赌注押到“完全不出现双六”有利. 但他本人找不出原因. 后来请当时著名的法国数学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 .这问题是如何解决的呢?

3 某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁判组, 甲组3名,乙组1名. 但组委会只召集到3名裁判, 由于临近比赛, 便决定调一名不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定.乙组由 1 个人组成, 他以概率 p 做出正确裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大 ?

第二章 习题

一 填空题

1 设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量Y?X的概率密度函数为

2fY(y)? .

2 设随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8，则cov(X,Y)? .

x??0.5e,x?03 已知X的分布函数为F(x)??,P(X?2)? . ?x??1?0.5e,x?04 设随机变量?的概率分布为P(?=k)=CＫ(k=1，2，3，4，５),则常数C=___________,Ｐ

15???)?2 . (25 设随机变量ξ∽N(3,2),已知Ｐ(3<ξ<5)=0.3413，则Ｐ(1<ξ

<5)=____________,如果Ｐ(ξ≥C)= Ｐ(ξ

6 设随机变量ξ的可能取值为-1，0，1，E（ξ）=0.1，E（ξ2）==0.9,则ξ的分布律为

ξ -1 0 1 P 7 设ξ∽N(1,3) η∽N(0,4), rξη=-0.5,ζ=（ξ/3）+(η/2)则 E（ζ）=_______________， D（ζ）=____________.

?a?be?2x,x?08 设函数F(x)??为连续型随机变量?的分布函数，则a?

x?0?0 b? 。

9从1、2、3、4、5中任取3个数，设?为其中的最大者，则?的分布列为 ?的分布函数F(x)? 。

10 设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y?3e的概率密度函数为

XfY(y)? .

、若X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2

11、已知X的分布函数为：F(x)=

则P(X=-1)=_____________ P(X=1)=_______________

P(X=3)=______________ EX=_________________。

12、二维随机变量(X、Y)的密度为f(x,y)=

则C=_______________ fX(x)=_____________(0≤x≤1) EX=_______________。

13、(X，Y)的联合分布律为

则X的边缘分布律为

14设随机变量(X,Y)的联合分布律为

。

(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8，则cov(X,Y)? .

15 随机变量X,Y相互独立且服从同一分布，P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3，

k?0,1，则P(X?Y)?二 选择题

.

k1 离散型随机变量X的概率分布为P(X?k)?A?(k?1,2,?)的充要条件是 。 ?1（ａ）??(1?A)且A?0； （ｂ）A?1??且0???1；

?1（ｃ）A???1且??1； （ｄ）A?0且0???1.

2 设10个电子管的寿命Xi(i?1~10)独立同分布，且D(Xi)?A(i?1~10)，则10个电

子管的平均寿命Y的方差D(Y)? .

（ａ）A； （ｂ）0.1A； （ｃ）0.2A； （ｄ）10A. 3 .将一枚硬币重复掷n次，以?和?分别表示正面向上和反面向上的次数，则?和?的相关系数等于

A、-1 B、0 C、

1 D、1 24 .设?与?是任意两个相互独立的连续随机变量，它们的概率密度分别为

p1(x)和p2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（ ）

A、p1(x)?p2(x)必为某一随机变量的概率密度 B、p1(x)?p2(x)必为某一随机变量的概率密度 C、F1(x)?F2(x)必有某一随机变量的分布函数 D、F1(x)?F2(x)必有某一随机变量的分布函数

5 离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1?xk?xk?1，则P(X?xk)? . （ａ）P(xk?1?X?xk)； （ｂ）F(xk?1)?F(xk?1)； （ｃ）P(xk?1?X?xk?1)； （ｄ）F(xk)?F(xk?1).

)的分布函数 . 6 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?max(X,2003（ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点； （ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.

7 设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数

?XY?0.6,则方差

D(3X?2Y)? .

（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .

8 样本X1??Xn取自正态总体N(0，1)，，S分别表示样本均值和方差，则__________。[ ] A.～N(0，1) B.n～N(0，1) C.

～x(n) D./S～t(n-1)

2

9 某零件重量X～N(400，400)，40个零件的平均重量定为Y，则Y～_________。[ ] A.N(400，400) B.N(400，10) C.N(400，100) D.N(40,400)

10 设袋中有编号为1，2，?，n的n张卡片，采用有放回地抽取k张卡片，记X表示k张卡片的号码之和，则E(X) 为 （ ）

(A)

k(n?1) 2(B)

n(k?1)n?1 (C)

22(D)

n(k?1) 211 设随机变量X与Y独立同分布，记U?X?Y,V?X?Y，则随机变量U和V必然 （ ）

(A) 不独立 (B) 相互独立 (C) 不相关 (D) 无法判断

12 下列各函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是 （ ）

（A）F(x)?12?e?x22,x?R (B) F(x)?sin(x),x?[0,?)

2?1?(C) F(x)??1?x2??1?0x?0? (D) F(x)??0.6?1x?1?x?0x?0

x?013设随机变量X,Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(1,1)，则 .

(A)P(X?Y?0)?1/2； (B)P(X?Y?1)?1/2； (C)P(X?Y?0)?1/2； (D)P(X?Y?1)?1/2.

14 设随机变量X1,X2,?,Xn则 .

1n独立同分布，且方差为??0.令Y??Xi，

ni?12(A)Cov(X1,Y)??/n； (B) Cov(X1,Y)??；

22C D(X1?Y)?(n?2)?/n； (D)D(X1?Y)?(n?1)?/n 计算题

1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其 d.f.为

?c ?2,x?1000f(x)??x

?0,其他?

(1) 求常数 c (2) 计算P(X≤1700∣1500

(3)已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.

2设随机变量?的分布密度为

?ax??cx?b?0 f(x)=?0?x?22?x?4其他

22 已知E(?)=2, P(1

(1)求a, b, c的值 (2)求P(2

3 设随机变量(?,?)的联合分布密度为

(1) 求常数k的值

?kx0?x?1,0?y?xf(x,y)??其它?0

(2) 求边缘分布密度函数f?(x),f?(y) (3) 问?和?是否相互独立?

3 设二维随机变量（?,?）具有密度函数

?C?e?2(x?y)p(x,y)???0试求1）常数C； 2）P(????1)

x?0,y?0

其它3）?与?是否相互独立？为什么？

4 设二维离散型随机变量（?,?）的联合分布列

? ? 0 1 -1 0 1 11 631 0 61 61 6求（1）???； （2）D(???)

5设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为?,?(???)的指数分布，

试求Z?3X?2Y的密度函数fZ(z).

6 设随机变量X服从[0，1]上的均匀分布，

求：(1)Y=ex的密度。 (2)Y=2lnX的密度

7 设二维随机变量(X,Y)的密度f(x,y)=

，求随机变量Z=

的数学期望和方差。

8 已知(X,Y)的联合密度为

f(x,y)??

?3y?00?y?1,0?x?y其他

随机变量Z?2X?Y，求Z的概率密度函数。

9 设二维随机变量(X,Y)~N(0,1;0,1;?)，令

?U?X?2Y ??V?2X?Y（1） 写出U的概率密度函数； （2） 求Cov(U,V)；

当?为何值时，随机变量U与V相互独立？

?6x,0?x?y?110 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??， 求

0,其他?（1）X,Y的边缘密度函数； （2）当X?1/3时，Y的条件密度函数fY（3）P(X?Y?1).

X (yx?1/3)；

?2e?2x?y,x?0,y?011 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??,

其他?0,求 Z?max{X,Y}的密度函数.

四 思考题

1上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分.

2某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大？

第三章 习题

一 填空题

1设随机变量(X,Y)~N(0,22;1,32;0)，则概率P(2X?Y?1)＝ .

12设随机变量X~U[0,1]，由切比雪夫不等式可得P{|X-1|≥}≤

23__________________。

3设μn是n次贝努利试验中，事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中出现的概率，(其中0

4 设随机变量X~N(?,?2)，由切比雪夫不等式知，概率P(X???2?)的取值区间为 与 之间. 二 选择题

1设ξ1,ξ2，?，ξn相互独立，且服从同一分布，且有有限的数学期望与方差（方差不零）n较大时，对任意实数x，概率P（（1） 利用ξi的密度函数计算 （2） 利用大数定律计算 （3） 利用中心极限定理计算 （4） 无法计算 三 计算题

1有一批种子，其中良种占与

=_______________(用Φ(x)表

??i?1ni≤x）可以（ ）

1，从中任取180粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例61相差多少？?(2.33)?0.99;?(2.48)?0.995 62 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为??1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

3某农贸市场的某种商品价格波动为随机变量。设第i天（较前一天）的价格变化为Xi中

。设第n天的价格为Pn，则 Xi,i?1,?,n独立同分布，EXi?0,DXi?0.04，试求： Pn?P0??Xi。若现在的价格为20元/斤（即：P0?20）

i?1n（1） 试利用切比雪夫不等式估计概率P{18?P30?22}； (2)试利用中心极限定理估计概率P{18?P30?22}

4某计算机厂门市部规定：出售的新型号电脑若在一年内损坏可予以调换。工厂售出一台电脑能赢利2000元，调换一台电脑厂方需花费3000元。现厂方计划明年净赢利的期望值达到

100万，则明年门市部至少要售出该型号电脑多少台？（该厂质检科人员已利用假设检验 的方法确定该型号电脑的使用寿命服从参数为0.25的指数分布。）

5 某厂生产某产品1000件，其价格为P?2000元/件，其使用寿命X（单位：天）的

?(x?365)1?e20000?20000f(x)????01x?365x?365

分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费P0元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费P0?100元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费P0，使保险公司亏本的概率不超过1%.

(e?0.0365?0.96,?(1.45)?0.926,?(1.61)?0.946,?(2.33)?0.99)

四 思考题

1 电视台需作节目A 收视率的调查.每天在播电视的同时, 随机地向当地居民打电话询问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答看电视的居民户数为 n. 若要保证以 95%的概率使调查误差在10%之内, n 应取多大？每晚节目A 播出一小时, 调查需同时进行, 设每小时每人能调查20户, 每户居民每晚看电视的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查.又，若使调查误差在 1 %之内, n 应取多大？

2一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分之一. 校对时, 每个排版错误被改正的概率为0.99. 求在校对后错误不多于15 个的概率.

3学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？（用中心极限定理）

5．1 在一小时内观测电话拥护对电话站的呼唤次数，按每分钟统计得到观测数据列表如下： 每分钟 内的呼0 1 2 3 4 5 6 唤次数xi 频数mi 8 16 17 10 6 2 1

计算样本均值、样本方差与样本中心矩。 解：由计算器计算可以得到

?2?1.933。 x?2,s2?1.9661,?5．2 设总体X~N(40,52)，

（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X在38与43之间的概率； （2）抽取容量为64的样本，求|X?40|?1的概率；

（3）抽取样本容量n多大时，才能使概率P(|X??|?1)达到0.95？ 解：P(38?X?43)?P{38?40X?4043?40??} 5/65/65/6(2.?4 )0.9?91?810. ，

?)? ??(3.6?4 ?0.9998（2）P(|X?40|?1)?P(|X?40|?1.6) 5/80.，89

?)?1 ?2?(1.6（3）已知 P(|X?40|?1)?0.95 左边?P(|X?40n|?1)?2?()，查表可得 n?96。

55/n5．3 设总体X~N(?,?2)，才总体中抽取容量为16的样本， （1）已知??2，求概率P(|X??|?0.5)；

（2）未知?，计算得到样本方差s2?5.33，求概率P(|X??|?0.5)。 解：P(|X??|?0.5)?P(|X??|?1) 1/2?1?0.6；8 ?2?(1)（2）P(|X??|?0.5)?P(|X??|0.5?)

5.33/165.33/160.，

|0.86?6)?1Pt2?( ?P(|t?而查表可得， t0.2(15)?0.866

所以 P(|X??|?0.5)?1?2*0.2?0.6。

5.4设总体X~N(60,62)，总体Y~N(46,42)，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：

S12（1）P(0?X?Y?8)；（2）P(2?8.28)。

S2解：（1）U?(X?Y)?E(X?Y)D(X?Y)?X?Y?4~N(0,1)， 5.6则P{0?X?Y?8}?P{0?4X?Y?E(X?Y)8?4??} 5.65.6D(X?Y) =2?(1.69)?1?0.909。

S12/?12（2）F?2~F?9,7?，

S2/?22S12则 P(2?8.28)?P(F?3.68)

S2 =1?P{F?3.68} =1-0.05=0.95。

6．1， 设总体X服从几何分布：

p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3?.

如果取得样本观测值为x1,x2,?xn,求参数p的矩估计量与最大似然估计值。 解：因为（1） EX?11?1xp?。 ?X，即，求得?inXpxi?1nL?）=?p（1-p）?p(1?p)i?1（ni?1?(xi?1)n,

（2）lnL(?)?nlnp??(xi?1)ln(1?p),?lnL(?)n1n令??(xi?1)?0???p1?pi?1?1p?。

X6．2，设总体X的概率密度为

得

??x??1，0?x?1； （ fx;?）???0，其他。其中??0，如果取得样本观测值为x1,x2,?xn,，求参数?的矩估计量与最大似然估计值。

解：因为（1）EX??x??dx?01???1，

而EX?X????X。 1?Xn?-1（2）（， L?）=?ni?1?xi??1??（?xi）n则ln（L?）=nln?+（?-1）?lnxi，

i=1??ln（L?）nn令???lnxi?0，???????i?1n?lnxi?1n 。i6．3，灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡

寿命（h）数据如下：

1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200。

求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值。

?解：??X=1147，

1nS?（xi-X）=7579。 ?n?1i?1226．4，证明：如果已知总体X的均值?，则总体方差的无偏估计为

1n ???（Xi-?），

ni?1?2其中X1，X2?Xn是从总体中抽出的样本。

21n1n2E??E（?（xi-?））=?Exi??2ni=1ni?1?21n解：??（?2+?2）??2ni?1??2。6．5 为了估计总体X的方差，从总体X中抽取样本X1，X2?Xn，我们利用下面的公式：

??k?（Xi+1-X）i

i?12

?2n?12?求常数k的值，使?2是总体方差?2的无偏估计。

2E??k?E（xi+1-xi）=?2n-1解：

?2k?（?2+?2）??2??2。n?1i?1i=1得 k?1。

（2n-1）6.6 从总体X中抽取样本X1，X2，X3，证明下列三个统计量：

XXXXXXXX?X?? ?1?1?2?3，?2?1?2?3，?3?1?2?3，

236244333都是总体统计量?的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效。

XXXEXEXEX?（1+2+3）=1+2+3??， 证明：E?1?E236236XXXEXEXEX?（1+2+3）=1+2+3??， E?2?E244244XXXEXEXEX?E?3?E（1+2+3）=1+2+3??。

333333???则?1，?2，?3为?的无偏估计。

XXXDXDX2DX3?D?1?D（1+2+3）=1??

23649367 =?2，

18XXXDXDX2DX3?D?2?D（1+2+3）=1??

244416163 =?2，

8XXXDXDX2DX3?D?3?D（1+2+3）=1??

3339991 =?2。

3?则?3最有效。

6．7 从总体X中抽取样本X1，X2，?Xn，设c1，c2，?cn为常数，且?ci?1，证

i?1n明：

（1）???ciXi是总体均值?的无偏估计；

i?1?n1n （2）在所有这些无偏估计量???ciXi中，样本均值X??Xi的方差最小。

ni?1i?1??证明：（1）E??E?ciXi???ci??，所以?为无偏估计。

i?1i?12c?ii?1nn?nn （2）D????2?ci?1n2i?n?2??2，

1n1n 所以样本均值X??Xi的方差最小。

ni?16.8 某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（mm）如下：

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15 15.1 15.2 14.8。 设滚珠直径服从正态分布N，求直径均值?的置信水平为0.95的置（?，?2）（mm）信区间，如果：（1）已知直径标准差??0.15；（2）未知?。

解：X?14.91，n=9，??0.05，S?0.20，

（1）已知?：总体均值?的置信水平为1??的置信区间是

（X??0nu?，X?2?0nu?）（mm），代入得（14.81，15.01）（mm）。

2

（2）未知?：总体均值?的置信水平为1??的置信区间是

（X?SSt（n-1），X?t（（mm），代入得（14.75，15.07）（mm）。 ??n-1））n2n2

6.9 设总体X服从正态分布N，其中?0为已知数。需要抽取容量n为多（?，?02）大的样本，才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于l？ 解：当水平为?时，?的区间估计为（X??0nu?，X?2?0n，此时区间长度为u?）2u?n给定一个精度l，即

u? 2?02?2l，

nu?（?0可得 n?22）。

2?02，

l6.10 测得16个零件的长度（mm）如下：

12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

设零件服从正态分布N，求零件长度的标准差?的置信水平为0.99（?，?2）的置信区间，如果：

（mm）（1） 已知零件长度的均值??12.08； （2）未知?。

解：X?12.075，S?0.049，n=16，?=0.01，

（1） 已知零件长度的均值?：总体标准差?的置信水平为??0.01的

（X-?）?（X-?）?22i0i0i=1nn（置信区间为

??（n）22i=1，2??（n）1?2），代入可得区间（0.032，

0.0848）。

（2） 未知零件长度的均值?：总体标准差?的置信水平为??0.01的

（n-1）S2（n-1）S2置信区间为，代入可得区间（0.0334，（2，2）??（n-1）??（n-1）21?20.0892）。

6.11 进行30次独立测试，测的零件加工时间的样本均值x?5.5(s)，样本标准

差s?1.7(s)。设零件加工时间服从正态分布N，求零件加工时间的（?，?2）均值?及标准差?的置信水平为0.95的置信区间。 解：总体均值?的置信水平为

（x?ss t0.025（n-1），x?t0.025（n-1））nn0.95的置信区间是

代入得： （4.87，6.13）（s）；

（n-1）s2（n-1）s2总体方差?的置信水平为0.95的置信区间是 （，代，2）2?0.25（n-1）?9.75（n-1）2

入可到（1.35，2.29）（s）。

6．12 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得其电阻(?)如下：

第一批导线：0.143 0.142 0.143 0.137；

第二批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140。

设两批导线的电阻分别副总正态分布N及N，其中?1,?2及（?1，?12）（?2，?22）?1,?2都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差?1??2（假定?1??2）及?12方差比2的置信水平为0.95的置信区间。

?2解

：

2?n1?4?0,n2?（1）两个总体均值差?1??2的置信水平为0.95的置信区间是

(x?y?s?1111?)t0.025(7),x?y?s??)t0.025(7)) n1n2n1n2代入得到 置信区间为（-0.002，0.006）(?)；

?12（2）方差比2的置信水平为0.95的置信区间是

?2?12(2,)，代入可得到方差比2的置信区间（0.159，s2F0.025(3,4)s22F0.9975(3,4)?223.96）。

6．13 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损实验，直至轮

s12s12胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程（km）如下： 41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N，求 （?，?2）（1）?的置信水平为0.95的单侧置信下限； （2）?的置信水平为0.95的单侧置信上限。

解：根据样本观测值计算样本均值及其样本方差得到

2 x?41220s,?20301505.t.05?,556。(9 )1.833（1）?的置信水平为0.95的单侧置信下限是

s?t0.0(9) ?l?x?5， n?代入可得 ?l?40394（km）

(n?1)s2?（2）由于?n?2，可得?2n?2342(km)。

?1??(n?1)?2

7．1 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.40,0.052)，某日测得5炉水的含碳量如下：

54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否有显著差异？（取显著性水平??0.05）

解：H0:??4.40,H1:??4.40 给定显著性水平??0.05，则u0.05?1.645， 得到统计量u?x??~N(0,1)，代入数据，可得，

?0/nu?4.362?4.40??1.699??u0.05。

0.05/5则拒绝原假设，接受备择假设，认为该日铁水含碳量的均值在显著降低。

7．2 化肥厂用自动打包机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（kg）如下： 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4

已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg?(取显著性水平??0.05) 解：H0:???0?50,H1:??50， 计算可以得到 x?50.1,s?0.335，

x??0~t0.025(8)， s/n得到统计量t?代入数据，得

t?50.1?50?0.896?t0.025(8)，

0.335/9则可以认为每包化肥的平均质量为50kg。

7．3在正常情况下，维尼纶纤度服从正态分布，方差不大于0.0482，某日抽取5根纤维，测得纤度为

1.32 1.55 1.36 1.40 1.44

是否可以认为该日生产的，维尼纶纤度的方差是正常的？（取显著性水平??0.01）

解:H0:?02?0.0482,H1:?02?0.0482, 通过计算可得 s?7.78*10，统计量 ??代入数据，可得

2?32(n?1)s2?02~?2(n?1)，

4*7.78*10?3 ???13.51??0.012(4)， 2(0.048)2所以拒绝原假设，接受备择假设。认为该日生产的维尼纶纤度的方差不正常，而是显著变大了。

7．4 为了提高震动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度T1,T2进行试验，测得振动板的硬度数据如下：

T1： 85.6 85.9 85.7 85.8 85.7 86.0 85.5 85.4 T2： 86.2 85.7 86.5 85.7 85.8 86.3 86.0 85.8

设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验：

（1）两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异； (取显著性水平??0.05)

（2）淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响。(取显著性水平??0.05) 解：（1）H0:?02??12,H1:?02??12，

由数据得：x?85.7,y?86,s12?0.04,s22?0.091,s??0.239,n1?n2?9。

max{s12,s22}得到统计量 F?~F0.025(7,7)， 22min{s1,s2}0.091?2.275?F0.025(7,7)， 0.04接受原假设，决绝备择假设，可以问为两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

代入数据，可以得到 F?（2）H0:?1??2,H1:?1??2， 得到统计量 t?x?y~t(n1?n2?2)

11s??n1n285.7?86??2.346， 20.2397代入数据，可得 t?即 |t|?2.346?t0.025(14)，所以认为淬火温度对振动板的硬度有显著影响。 7．5 某灯泡厂在使用一项新工艺的前后，各取10个灯泡进行寿命试验，计算得到采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460h，样本标准差为56h；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550h，样本标准差为48h。已知灯泡服从正态分布，能否认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性水平??0.01）

解：分别就均值和方差进行讨论： （1）H0:?1??2,H1:?2??1

9.3 某中合金刚的抗拉强度y1（N/mm2）和延伸率y2（%）与钢中含碳量x有一定关系，下表是这种合金钢92炉钢样记录数据合并后的数据： 序号 1 2 3 4 5 6 0.05 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 x% 40.8 41.7 41.9 42.8 42.0 43.6 y1 7 0.12 44.8 40.1 14 0.23 60.0 32.4 y2 序号 x% 39.9 8 0.13 45.6 38.5 38.5 9 0.14 45.1 40.6 37.8 10 0.16 48.9 35.3 39.1 11 0.18 50.0 37 39.6 12 0.20 55.0 32.3 36.1 13 0.21 54.8 34.2 y1 y2 （1） 分别建立指标y1，y2关于含碳量x的回归直线方程，并检验线性回归效

果是否显著。

（2） 根据生产需要，此种合金钢的抗强度y1应大雨32 N/mm2，而延伸率y2应大雨33%，这时若以95%的把握满足上述要求，应把钢的含碳量控制在什么范围？

???解：（1）求y1与x的回归直线方程y?a1?b1x。

? x?0.133y61,??lxy1而b1??103.3.49，

lxx46.92?86,xlxl?04, xy0.14.1337,?? a1?y1?b1x?。33.127

??7于是 y?33.12103.x30 。

?检验 U1?b1lxy1?430.11， 又 ly1y1?30832.07， 故 Q1?ly1y1?U1?33.42， F?U1?154.4?4F0.01(1?,12)， 9.33Q1/(n?2)所以y1与x见的直线回归显著。

???（2）求y2与x的回归直线方程y2?a2?b2x。

?x?0.1336,y2?37.2429,ly2y2?101.25,lxy2??1.577, ?lxy而b2?2??39.3267，

lxx?? a2?y2?b2x? 42.49。69?69于是 y?42.49?39.x32 。

?检验 U2?b2lxy2?62.0182，Q2?ly2y2?U2?39.2318，

F?U2?18.97?F0.01(1,12)?9.33。

Q2/(n?2)所以y2与x间的线性相关也是显著的。 （3）求x的控制范围，

? ?1?? ?2?Q1，?1.6688

n?2Q2，?1.8081

n?2在置信度为95%下的预测直线为

y1：33.127?103.3049x?3.3376， y2：42.4969?39.3267x?3.6162， 令33.127?103.3049x?3.3376?32，

42.4969?39.3267x?3.6162?33。

解出0.002%?x?0.15%，即只要把含碳量控制在0.0222%~0.15%之间，就有95%的把握，使得合金抗强度y1和延伸率y2达到生产要求。

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