微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))? 0 ．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?， ?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a为常向量），则r(t)? t2a?c．

26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r?r(t)在t = 2处有??3?，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点(u0,v0)处ru?rv?0，则(u0,v0)为曲面的_ 正常______点. 12． 已知f(t)?(2?t)j?(lnt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则?13．曲线r(t)??2t,t3,et?在任意点的切向量为?2,3t2,et?． 14．曲线r(t)??acosht,asinht,at?在t?0点的切向量为?0,a,a?． 15．曲线r(t)??acost,asint,bt?在t?0点的切向量为?0,a,b?．

d (f?g)dt?2?6cos4．

dt041x?ee?z?1． 16．设曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为?1e2?ey?17．设曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________. 19. u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__. 20. 在欧拉公式kn?k1cos2??k2sin2?中，?是 方向(d) 与u－曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式?,??,???、高斯曲率?、平均曲率?之间的关系是????2H???K??0 . 22．已知r(u,v)??u?v,u?v,uv?，其中u?t2,v?sint，则23．已知r(?,?)??acos?cos?,dr??2t?cost,2t?cos,2tvt?ucostdt ?．

acos?sin?,asin??，其中??t，??t2，则

1

dr(?,?)???asin?cos??2atcos?sin?,dt?asin?sin??2atcos?cos?,acos??．

24．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；如果r:G?r(G) 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

25．如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ． 26．平面r(u,v)??u,v,0?的第一基本形式为du2?dv2，面积微元为dudv．

27．悬链面r(u,v)??coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是E?cosh2u，F?0,G?cosh2u． 28．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是a2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222.

29．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2． 30．双曲抛物面r(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv?的第一基本形式是

(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2． 31．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的平均曲率为 0 ．

32．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0． 33. 方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是

II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0．

?E?L34.?是主曲率的充要条件是

?F?M?F?M?0．

?G?NEdu?FdvLdu?Mdvdv2?0或EL?dudvdu2FMG?0． N35.(d)?du:dv是主方向的充要条件是

Fdu?GdvMdu?Ndv36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则

dn??kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．k,kg,kn之间的关系是k2?kg2?kn2．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为

2

EvGu?d?=cos??sin??ds2EG2GE??ducos?． ?=E?ds?dvsin??=G?ds42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题

1．已知r(t)??et,t,e?t?，则r??(0)为（ A ）．

A. ?1,0,1?； B. ??1,0,1?； C. ?0,1,1?； D. ?1,0,?1?. 2．已知r?(t)??r(t)，?为常数，则r(t)为（ C ）．

A. ?ta； B. ?a； C. e?ta； D. e?a. 其中a为常向量．

3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．

A．切线与固定方向成固定角； B．副法线与固定方向成固定角； C．主法线与固定方向垂直；

D．副法线与固定方向垂直．

4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）

A．至少有两个； B．只有一个； C．只有两个； D．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）

A．测地线； B．曲率线； C．法截线； D．渐近线．. 6. 已知r(x,y)??x,y,xy?，求dr(1,2)为（ D ）．

A. ?dx,dy,dx?2dy?； B. ?dx?dy,dx?dy,0?； C. ?dx-dy,dx+dy,0?； D. ?dx,dy,2dx?dy?. 7．圆柱螺线r??cost,sint,t?的切线与z轴（ C ）.

A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角

??； D. 有固定夹角. 438．设平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，?,?是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．

A. ?为单位向量； B. ???； C. ???k?； D. ???k????. 9．直线的曲率为（ B ）．

A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.

10．关于平面曲线的曲率C:r?r(s)不正确的是（ D ）．

A. k(s)??(s)； B. k(s)??(s)，?为?(s)的旋转角； C. k(s)?????； D. k(s)?|r(s)|.

11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．

3

A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．

A. ?,?,?均为单位向量； B. ???； C. ???； D. ??. 13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．

A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件. 14．x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asint?在点t?的切线与z轴关系为（ D ）． 22A. 垂直； B. 平行； C. 成

??的角； D. 成的角. 34x2y2z215．椭球面2?2?2?1的参数表示为（ C ）．

abcA. ?x,y,z???cos?cos?,cos?sin?,sin??； B. ?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,sin??； C. ?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,csin??； D. ?x,y,z???acos?cos?,bsin?cos?,csin2??.

16．曲面r(u,v)??2u?v,u2?v2,u3?v3?在点M(3,5,7)的切平面方程为（ B ）．

A. 21x?3y?5z?20?0； B. 18x?3y?4z?41?0； C. 7x?5y?6z?18?0； D. 18x?5y?3z?16?0.

17．球面r(u,v)??Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu?的第一基本形式为（ D ）．

A. R2(du2?sin2udv2)； B. R2(du2?cosh2udv2)； C. R2(du2?sinh2udv2)； D. R2(du2?cos2udv2). 18．正圆柱面r(u,v)??Rcosv,Rsinv,u?的第一基本形式为（ C ）．

A. du2?dv2； B. du2?dv2； C du2?R2dv2； D. du2?R2dv2. 19．在第一基本形式为I(du,dv)?du2?sinh2udv2的曲面上，方程为u?v(v1?v?v2)的曲线段的

弧长为（ B ）．

A． coshv2?coshv1； B． sinhv2?sinhv1； C． coshv1?coshv2； D． sinhv1?sinhv2．

20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．

A． E?0； B． F?0； C． G?0； D． M?0． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．

A．极小曲面； B．球面； C．常高斯曲率曲面； D．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．

A． 0； B． 1； C．2； D． 3．

4

23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A． ?lnE1?lnE； B． ?；

2E?u2G?v1?lnG1?lnE； D． ．

2E?v2G?u1C． ?24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．

A． 直线； B． 平面曲线； C． 抛物线； D． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）

1. 向量函数r?r(t)具有固定长度，则r?(t)?r(t). √ 2. 向量函数r?r(t)具有固定方向，则r?(t)r(t). √

3. 向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r?(t). × 4. 曲线?的曲率、挠率都为常数，则曲线?是圆柱螺线. × 5. 若曲线?的曲率、挠率都为非零常数，则曲线?是圆柱螺线. √ 6. 圆柱面r?{Rcos?,Rsin?,z},z?线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √

10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√ 17. 微分方程A(u,v)du?B(u,v)dv?0表示曲面上曲线族. ×

18. 二阶微分方程A(u,v)du2?2B(u,v)dudv?C(u,v)dv2?0总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是F?0，这里F是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √

24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题

1．求旋轮线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的0?t?2?一段的弧长．

解 旋轮线r(t)??a(t?sint),a(1?cost)?的切向量为r?(t)??a?acost,asint?，则在0?t?2?一

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