河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题

2018年春期高中二年级期终质量评估

数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数

2（i为虚数单位）的共轭复数是（ ） 1?iA．1?i B．1?i C．?1?i D．?1?i

2．已知变量x,y之间的线性回归方程为y??0.4x?7.6，且变量x,y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）

A．变量x,y之间呈现负相关关系 B．m的值等于5

C．变量x,y之间的相关系数r??0.4 D．由表格数据知，该回归直线必过点?9,4?

3．在等差数列?an?中，如果m,n,p,r?N*，且m?n?p?r3，那么必有am?an?ap?3ar，

r，那么必有（ ）类比该结论，在等比数列?bn?中，如果m,n,p,r?N*，且m?n?p?3

A．bm?bn?bp?3br B．bm?bn?bp?br C．bmbnbp?3br D．bmbnbp?br

4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（ ）

11132123C10C5C13C10C10C5?C10C52C5A． B．1?3 C． D．1?3 33C15C15C15C15335．设X~N?1,1?，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）

2（注：若X~N?,?，则P?????X??????68.26%，

??P???2??X???2???95.44%）

A．7539 B．6038 C．7028 D．6587 6．已知m???0??m?则?x?2y?3z?的展开式中，xm?2yz项的系数等于（ ） 3cos?x??dx，

2??A．180 B．-180 C．-90 D．15

7．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为

3，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局4的概率为（ ） A．

1224 B． C． D． 35358．设0?p?1，随机变量?的分布列是

则当p在?0,1?内增大时（ ）

A．D???减小 B．D???增大 C．D???先减小后增大 D．D???先增大后减小 9．函数f?x?与它的导函数f??x?的图象如图所示，则函数g?x??（ ）

f?x?的单调递减区间为xe

A．?0,4? B．???,1?,?,4?

?4?3??C．?0,??4?? D．?0,1?,?4,??? 3?10．已知函数f?x??x3?3x?m，若方程f?x??0有两个相异实根x1,x2，且x1?x2?0，则实数m的值等于（ ）

A．-2或2 B．-2 C．2 D．0

11．若m,n均为非负整数，在做m?n的加法时各位均不进位（例如，134?3802?3936），则称?m,n?为“简单的”有序对，而m?n称为有序数对?m,n?的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ）

A．525 B．1050 C．432 D．864

b的最小值为（ ） a112A．2 B．?e C．?e D．?

ee12．若直线y?ax?b与曲线f?x??lnx?1相切，则

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A、B、C三个不同的新节目，且插进的三个新节目按

A、B、C顺序出场，那么共有 种不同的插入方法（用数字作答）．

14．观察下列各式：1?1，1?14113?，1???，1?231?21?2?3211181????，由此可猜想，若1?21?2?31?2?3?451111???L??m，则m? ． 1?21?2?31?2?3?L?1015．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1?p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是 ．

16．已知函数f?x??2cosx?sin2x，则f?x?的最大值是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知0?a?b?1.

（1）试猜想a?lnb与b?lna的大小关系； （2）证明（1）中你的结论.

18． 如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点C1,C2,L,C6，直径AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.则：

（1）以这12个点（包括A,B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ （2）以这10个点（不包括A,B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？

19． 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过

100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；

（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为?，若每次抽取的结果是相互独立的，求?的数学期望.

n?ad?bc?2参考公式：k?，其中n?a?b?c?d．

?a?b??c?d??a?c??b?d?2参考数据：

20． 已知?x?2??a0?a1?x?1??a2?x?1??L?an?x?1?（1）求a0及Sn?a1?a2?L?an；

（2）试比较Sn与2n?3的大小，并用数学归纳法证明.

2nn2n?n?N?.

*21． 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间?20,25?，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 22．设a?R，函数f?x??xe（1）当a?1时，求f?x?在?21?x?a?x?1?.

?3?,2?上的单调区间； 4??1?x（2）设函数g?x??f?x??ax?1?e，当g?x?有两个极值点x1,x2?x1?x2?时，总有

??x2g?x1???f??x1?，求实数?的值.

高二数学试题（理科）参考答案

一、选择题

1-5:BCDCD 6-10:BADDC 11、12：BC 二、填空题

13．165 14．三、解答题

17．解：（1）猜想a?lnb?b?lna. （2）令f(x)?x?lnx，则f'(x)?1?即函数f(x)在(0,1)上单调递减， 又因为0?a?b?1，所以f(a)?f(b)， 即a?lna?b?lnb， 故a?lnb?b?lna.

18．解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：

4①四个点从C1,C2,L,C6中取出，有C6个四边形；

31②三个点从C1,C2,L,C6中取出，另一个点从D1,D2,D3,D4，A,B中取出，有C6C6个四边

2033?1? 15．?,1? 16． 1123??11，当0?x?1时，f'(x)?1??0， xx形；

③二个点从C1,C2,L,C6中取出，另外二个点从D1,D2,D3,D4，A,B中取出，有C6C6个四边形．

故满足条件的四边形共有

43122N?C6?C6C6?C6C6?360(个)．

22（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为

31221C6?C6C4?C6C4?116(个)．

19．解：（1） 平均车速超过平均车速不超过 合计 10 15 25 2男性驾驶员人数 20 女性驾驶员人数 5 合计 25 100km/h100km/h30 20 50 50?20?15?10?5?25∵K???8.333?7.879，

30?20?25?2532∴所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关.

（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为

153?. 5010所以?的可能取值为0,1,2,3，且?~B?3，?，

?3??10?E????np?3?3?0.9 10n20．解：（1）令x?1，则a0?3，

令x?2，则

?ai?0ni?4n，

所以

?ai?1ni?4n?3n．

2n（2）要比较Sn与2n?3的大小，只要比较4n与2n2的大小． 猜想：4n?2n2,n?N?． 下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，4?2,结论成立．

②假设当n?k(k?N*)时结论成立，即4k?2k2，

则当n?k?1时，4k+1?4?4k?4?2k2?2(k2+2k2?k2)，

因为k?N*，所以2k2?k2?2k?1，所以2(k2+2k2?k2)?2(k2+2k?1)?2(k?1)2 所以4k?1?2(k?1)2， 即n?k+1时结论也成立． 由①②可知，n?N?时，4n?2n2 所以Sn?2n2?3n,n?N?

21．解：（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 P?X?200??2?163625?7?4?0.2，P?X?300???0.4，P?X?500???0.4. 909090因此X的分布列为

200 300 500 X 0.2 0.4 0.4 P （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200?n?500

当300?n?500时，

若最高气温不低于25，则Y?6n?4n?2n；

若最高气温位于区间?20,25?，则Y?6?300?2?n?300??4n?1200?2n； 若最高气温低于20，则Y?6?200?2?n?200??4n?800?2n 因此E?Y??2n?0.4??1200?2n??0.4??800?2n??0.2?640?0.4n 当200?n?300时，

若最高气温不低于20，则Y?6n?4n?2n，

若最高气温低于20，则Y?6?200?2?n?200??4n?800?2n， 因此E?Y??2n??0.4?0.4???800?2n??0.2?160?1.2n 所以n?300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

21?x22．解：（1）当a?1时，f(x)?xe?(x?1)，

2x?x2?ex?12x?1x?1则f?(x)?，令h(x)?2x?x?e，则h?(x)?2?2x?e. x?1e易知h?(x)在?,2?上单调递减，又h?()??3?4??3411??0，所以h?(x)?0 24e所以h(x)在?,2?上单调递减，又因为h(1)?0，

?3?4??所以当x??,1?时，h(x)?0，从而f?(x)?0，这时f(x)单调递增， 当x??1,2?时，h(x)?0，从而f?(x)?0，这时f(x)单调递减. 所以f(x)在?,2?上的增区间是 x??,1?，减区间是x??1,2? （2）由题可知g(x)?x2?ae1?x，则g?(x)??x2?2x?ae1?x. 根据题意方程?x?2x?a?0有两个不等实数根x1,x2且x1?x2 令??0得a??1，且x1?x2?2，所以x1?1 由x2g?x1???f?(x1)，其中f?(x)?2x?x2e1?x?a， 得x2x1?ae2?3??4??3?4???3??4????????2?1?x1??2x1?x12e1?x1?a.将x2?2?x1，a?x12?2x1

1?x1????代入左式得：2x1?2?x1?e整理得x12e??2x1?x12e1?x1?2x1?x12，

???????1?x1??e1?x1?1?0.

??e1?x1?1?0对任意x1????,1?恒成立.

???即不等式x12e?1?x1???①当x1?0时，得??R

2e1?x1②当x1??0,1?时，即??1?x

e1?12e1?x11??令H?x1??1?x?21???，易知H?x1?是?0,1?上的减函数，

e1?1?e1?x1?1?所以H?x1??H?0??2e2e，所以?? e?1e?12e1?x1③当x1????,0?时，即??1?x.

1e?1H?x1?在???,0?上也是减函数，H?x1??H?0??综上所述??2e2e,所以??. e?1e?12e e?1

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