2007年天河区高二数学竞赛试题

2007年天河区高二数学竞赛试题

2007年4月12日下午2：30—4：30

一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的

茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A．84，4.84 B．84，1.6 7 9 C．85，1.6 D．85，4

8 4 4 6 4 7

9 3

2.把数列{2n?1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ） （A）1992 （B）1990 （C）1873 （D）1891

x2y23.动点P为椭圆2?2?1(a?b?0)上异于椭圆顶点(?a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2

ab的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A）一条直线 （B） 双曲线的右支 （C） 抛物线 （D） 椭圆

4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）

DC

AB P DC AB③ ② ① ④

1111A．①④ B．②③ C．②④ D．①②

二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）

5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.

????????5若(a?b)?c?,则a与c的夹角为 ______. a?(1,2),b?(?2,?4),c?5,6、已知向量

2ta?n?(10)n??si2n，则7.已知5si2的值是

ta?n?(10)0_______________________.

8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， ∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，上运动.则MN中点P的轨迹与

直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.

9. 已知t?0,关于x的方程x?另一个端点N在底面ABCDt?x2?2,则这个方程有相异实根的个数情况是___.

x2?y2?1在第一象限部分上的点，则x?y的最大值等于 10．已知点P为椭圆3三、解答题：（本大题共5小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11.（本题满分18分）如图，已知三棱锥P—ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

（I）求证：DM//平面PAC；

（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（Ⅲ）若M为PB的中点，求三棱锥M—BCD的体积．

12. （本小题满分18分）已知函数f?x???acos2x?23asinxcosx?2a?b的定义域为?0，?，值域为[ －5，1 ]，

2?????求常数a、b的值．

13. （本小题满分18分）某市对居民生活用水的收费方法是：水费=基本用水费+

3

超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不超过限量am时，只收取基本用水费8

3

元和每户每月的定额水损耗费c元；若用水量超过am时，除了要收取同上的基本用

3

水费和定额水损耗费外，超过部分每m还要收取b元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。 根据上表中的数据，求出a，b，c的值.

用水量3月份 (m) 1 2 3 9 15 22 水费(元) 9 19 33 14．（本小题满分18分）设f(x)?ax3?bx2?cx的极小值为?8,其导函数y?f'(x)的图像经过点(?2,0),(,0),如图所示,

（1）求f(x)的解析式；

（2）若对x?[?3,3]都有f(x)?m2?14m恒成立，

求实数m的取值范围．

15.（本小题满分18分）如图，将圆分成n个扇形区域，用3种不色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an。求

（Ⅰ）a1, a2, a3, a4；

（Ⅱ）an与an?1?n?2?的关系式；

（Ⅲ）数列?an?的通项公式an，并证明an?2n?n?N*y23?2 2345671nO23x同颜色给每一个扇形区域染?。

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2007年天河区高二数学竞赛答题卷

选择题：每小题6分 ：号考 ：名姓 ：校 学 题号 1 2 3 4 答案

填空题：每小题6分 5． 6． 7． 8． 9． 10． 解答题： 11．（本小题满分18分）

12．（本小题满分18分） 13．（本小题满分18分）

14．（本小题满分18分）

装订线内不要答题 装订线内不要答题 装订线内不要答题 装订线内不要答题

15．（本小题满分18分）

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