甘肃省天水市秦安县2015届高三最后一模数学理科试题及答案

甘肃省天水市秦安县2015届高三级最后一摸

理科数学试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项符合题目要求． （1）设集合A???1,0,1,2,3?，B?xx?2x?0，则A?B=（ ）

2??A．?3? B．?2,3? C．??1,3? D．?0,1,2?

a?3i（a?R,i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） 1?2iA. ?6 B. ?2 C. 4 D. 6

（2）若复数

（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，

则P(X≤0)＝ （A）0.22 （B）0.28 （C）0.36 （D）0.64 （4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是

（A）(21，41) （B）[21，41] （C）(21，41] （D）[21，41) 5

（5）已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1＋a3＝，且a2＋

2

5 Sna4＝，则＝

4an

n－1

（A）4 （B）4n－1

－

（C）2n1 （D）2n－1

开始 输入x k＝0 k＝k＋1 x＝2x－1 x≤81？ 否 输出k 结束 是 x2y2

（6）过双曲线2－2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为

ab

原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为

（A）2 （B）2 （C）5 （D）3 （7）已知函数f(x)＝cos2x＋

与g(x)的图象重合

π

（A）向左平移

12 π

（C）向左平移

6A．30

4 3 2 正视图 3 俯视图 侧视图 3 (

π 2π

，g(x)＝sin2x＋，将f(x)的图象经过下列哪种变换可以33

)()

π

（B）向右平移

12 π

（D）向右平移

6

（8）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

B．12 C．24

D．4

3 2

3 4

（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则c=

7 7 7 7

（A） ， （B） ，

9339 7 7 7 7

（C） ， （D）－ ，－

3993

（（））（（））（10）已知半圆的直径AB?10 ，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA?PB?PC的最小值是（ ） Ａ．

??252 Ｂ.?25 Ｃ．25 Ｄ.?25 2 （11）函数，其图像的对称中心是

（A）（－1，1） （C）（0，1）

1 2

1 2

（B）（1，－1） （D）（0，－1）

（12）关于曲线C：x＋y＝1，给出下列四个命题：

①曲线C有且仅有一条对称轴； ②曲线C的长度l满足l＞2；

2

③曲线C上的点到原点距离的最小值为 ；

4

1

④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是

6

上述命题中，真命题的个数是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是

?y?2x?12.若变量x,y满足约束条件?x?y?1,则x?2y的最大值是 5/3

?y??1?（x2+2）13．(答案：?7

14.已知正项数列?an?的前n项和为Sn，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时

点(an,an?2)在直线y?3x?2上,又知a1?1,a2?2,则数列{an}的前2n项和S2n等于

125x展开式中项的系数490,则实数m的值为 . ?mx)2xn2?n?3?3n?1答案：

2（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|AB－AC |＝

25 ，则△ABC面积的最小值为_____．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为

选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋3cosA＝2sinB． （Ⅰ）求角C的大小；

a＋b

（Ⅱ）求的最大值．

c

（18）（本小题满分12分）

4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率； （Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望． （注：频率可以视为相应的概率）

19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60?，AB⊥B1C． （Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C； （Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．

C C1

B

B1

B

A A1A

（（20）（本小题满分12分）

x2y22

已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作

ab2

倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

（21）（本小题满分12分）

已知函数 x轴是函数图象的一条切线．

（Ⅰ）求a； （Ⅱ）已知；

（Ⅲ）已知：

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

︵如图所示，AC为⊙O的直径，D为BC的中点，E为BC的中点． （Ⅰ）求证：DE∥AB； （Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

B D E A O

C

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

?

（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcosθ＋＝2距离的最大值．

4

()（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设f(x)＝|x－3|＋|x－4|． （Ⅰ）解不等式f(x)≤2； （Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．

理科数学答案

一、选择题：

CABCD 二、填空题：

ABDCD BA

（13）－1－i； （14） 5/3； （15）?7； （16）1． 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）

? ?

＝2sinB，则sinA＋＝sinB． …3分 33

因为0＜A，B＜?，又a≥b进而A≥B，

2? ? ?

所以A＋＝?－B，故A＋B＝，C＝． ……………………………6分

333

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得 a＋bsinA＋sinB2 ? ?

＝＝sinA＋sinA＋＝3sinA＋cosA＝2sinA＋．…10分 csinC363

a＋b ?

当A＝时，取最大值2． ……………………………12分

3c

（18）解：（Ⅰ）2a?2a?3a?6a?7a?20a,

20a?10?1,∴a?0.005, ????????? 2分 估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

0.1?55?0.15?65?0.35?75?0.3?85?0.1?95?76.5 ??? 4分 （Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．

sinA＋3cosA＝2sinB即2sinA＋

(

)()[()]()P(A)?0.03?10?0.01?10?0.4

答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ?????? 6分 （Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为X可能的取值是0，1，2，3．

2， 52702033P(X?0)?C3()()?；

551255412132P(X?1)?C3()()?；

551252336P(X?2)?C32()2()1?；

55125832330P(X?3)?C3()()?．

55125X的分布列为： 0 1 2 3 X 2754368 P 125125125125 ??????11分

所以

E(X)?0?27543686?1??2??3??1251251251255． ??? 12分

262E(X)?np?3??X~B(3,)55．5，所以（或）

（19）解：

（Ⅰ）由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1． 又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C， 又AB?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…………………………4分

z C C1 B O B1BA1Ay A x （Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz． 其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．

设AB＝2，则A(2，－1，0)，B(0，－1，0)，C(0，0，3)，A1(2，1，0)．

→AB＝(－2，0，0)，→AC＝(－2，1，3)，→AA1＝(0，2，0)．

→→设n＝(x，y，z)为面ABC的法向量，则n·AB＝0，n·AC＝0，

1

1

1

1

1

1

…6分

即??－2x1＝0，

?－2x1＋y1＋3z1＝0．

取z1＝－1，得n1＝(0，3，－1)．

…8分

→→设n2＝(x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·AA1＝0，n2·AC＝0，

?2y2＝0，即?取x2＝3，得n2＝(3，0，2)． …………………10分 ?－2x2＋y2＋3z2＝0．

n1·n27

所以cos?n1，n2?＝＝－．

|n1||n2|7

7

因此二面角B-AC-A1的余弦值为－． ……………………………12分

7

（20）解：

41

（Ⅰ）由题设，得2＋2＝1，

ab

a2－b22且＝，

a2

① ②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

x2y2

椭圆C的方程为＋＝1． …………………………………………………3分

63

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

8k2－8k－4－4k2＋4k＋2

－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．

1＋2k21＋2k2设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，

－4k2－4k＋2

同理得x2＝．………………………………………………………6分

1＋2k2因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

8k

2y1－y2k(x1＋2)＋k(x2＋2)k(x1＋x2＋4)1＋2k

故kPQ＝＝＝＝＝1，

8kx1－x2x1－x2x1－x2

1＋2k2因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k， 假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1． 若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)， 与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，

该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k＝－1也不合题意． 故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）f?(x) = 当x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增． ∵ x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）．

f(a)=lna＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .

取，由（Ⅰ）知： 当t∈(0，1)时，g?(t)＜0，g(t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g?(t)＞0，g(t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是. ∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得：

即. ……………………………12分

（22）证明：

︵

（Ⅰ）连接OE，因为D为BC的中点，E为BCB的中点，所以OED三点共线．

D因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以

OE∥AB，故

EDE∥AB． ……………

…………… …5分

ACO︵

（Ⅱ）因为D为BC的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB?∠DAC＝∠DCB． 又因为AD⊥DC，DE⊥CE?△DAC∽△ECD． ACAD

?＝?AD·CD＝AC·CE CDCE? 2AD·CD＝AC·2CE ? 2AD·CD＝AC·BC． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有 ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． ……………………………5分（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2． ……………………………7分

32

C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，

2

32

故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋． ……………………………10分

2

（24）解：

??7－2x，x＜3，

3≤x≤4， （Ⅰ）f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝?1，……………………………2分

?2x－7，x＞4．?

5 9

作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和，由图象知

22

5 9

不等式f(x)≤2的解集为，． ……………………………5分

22

[]a＝－2 y y＝f(x) y＝2 O y＝ax－1 1 a＝2 y＝ax－1 －1 53 4 9 2 2 x （Ⅱ）函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．

1

由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪，＋∞． ………………………10分

2

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