等比数列的前n项和 教师版

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等比数列的前n项和

教学目标：

会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.

综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力. 教学重点：

1.等比数列的前n项和公式. 2.等比数列的前n项和公式的推导.

3．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式. 教学难点：

灵活应用公式解决有关问题. 灵活使用有关知识解决问题 教学过程： Ⅰ.复习回顾

前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质. an(1)定义式： ＝q(n≥2，q≠0)

an－1(2)通项公式：an＝a1qn1(a1，q≠0)

－

(3)性质：①a，G，b成等比数列?G2＝ab

②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq a1（1－qn）a1－anqSn＝ ＝ (q≠1)

1－q1－qSn＝na1，(q＝1)

an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1) Ⅱ.讲授新课

前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言. 引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.

1.前n项和公式

一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 我们发现，若在①式两边同乘以2，则得 2S64＝2＋4＋…＋263＋264 由②－①可得：S64＝264－1

同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

又∵在等比数列中，an＝a1qn1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn2＋a1qn1,

－

－

－

①

②

qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn1＋a1qn

－

不妨将上两式相减可得(1－q)Sn＝a1－a1qn （1）当q＝1，Sn＝na1

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a1（1－qn）

（2）当q≠1时，Sn＝

1－qa1－anq

或Sn＝

1－q2.例题讲解

① ②

若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②. ［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列. 解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2 ∴an＝2n1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.

－

16（1－26）

从第5项到第10项共有6项，它们的和为： ＝1008.

1－2答案：从第5项到第10项的和为1008.

解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4 a1（1－qn）

由a1＝1，q＝2得Sn＝ ＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023

1－qS4＝24－1＝15，S10－S4＝1008. 答：从第5项到第10项的和为1008.

［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?

分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.

解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列. 1－224

一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝ ＝224－1

1－2答：一天时间可传遍224－1人.

评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.

练习一

1．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是 （ ）

A.等比数列

B.等差数列

D.非等差数列

C.等比或等差数列 A.28

2．等比数列{an}中，若S6＝91，S2＝7，则S4为 （ ） B.32 C.35 D.49

1

3．数列{an}的通项公式为an＝ ，若Sn＝9，则n等于 （ ）

n＋n＋1

A.9 4．使数列10

111 ，10

211 ，10

B.10 C.99

311 D.100

，…，10

n11，…，前n项之积大于105，则自然数n值为（ ）

C.11

D.12

A.6 B.9

5．已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是 （ ）

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A.x2＋10x＋8＝0 C.x2＋20x＋64＝0

B.x2－10x＋64＝0 D.x2－20x＋64＝0

6．在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ .

7．在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝ .

8．在等比数列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝9，则a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝ . a1＋a3＋a9

9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 ＝ .

a2＋a4＋a1010．数列112 ，214 ，31

8 ，…的前n项和为 .

11．已知等比数列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n项为an，求a3n.

12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1

（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列； （2）设c＝ann2n (n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.

等比数列的前n项和(一)答案

1．C 2．A 3．C 4．C 5．D

6．70 7．43 8．27 9．1311－

16 10．2 （n2＋n＋2）－2n 11．a3n＝23n1

12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1

（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列； （2）设c＝ann2n (n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式. 解：（1）∵Sn+1＝4an＋2 ∴Sn+2＝4an+1＋2

②－①得：Sn+2－Sn+1＝4an+1－4an(n＝1，2，…)，即an+2＝4an+1－4an an+2－2an+1＝2(an+1－2an)

∵bn＝an+1－2an(n＝1，2，…) ∴bn+1＝2bn 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列. 由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5 ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－

1

(2)∵can＝n2

n (n＝1，2，…)，

① ②

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an＋1anan＋1－2anbn

∴cn+1－cn＝n＋1 －n ＝ ＝n＋1 n＋12222将bn＝3·2n

－1

3

代入，得cn+1－cn＝ ( n＝1，2，…)

4

3a11

由此可知：数列{cn}是公差为 的等差数列，c1＝ ＝

4221331

故cn＝ ＋ （n－1）＝ n－

2444311

(3)∵cn＝ n－ ＝ （3n－1）

444

∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n2(n＝1，2，…)

－

当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n1＋2.

－

由于S1＝a1＝1也适合于此式,

∴前n项公式为：Sn＝(3n－4)·2n1＋2

－

111

［例1］求和：（x＋ ）＋（x2＋2 ）＋…＋（xn＋n ） (其中x≠0，x≠1，y≠1)

yyy

分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.

解：当x≠0，x≠1，y≠1时，

111111

（x＋ ）＋（x2＋2 ）＋…＋（xn＋n ）＝(x＋x2＋…＋xn)＋( ＋2 ＋…＋n )

yyyyyy11

（1－n ）＋yyx（1－x）x－xn1yn－1

＝ ＋ ＝ ＋n＋1n

11－x1－xy－y1－ y

n

此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.

［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列. 分析：由题意可得S3＋S6＝2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2＋a5＝2a8即可. 证明：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S3＋S6＝2S9

若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比数列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，∴q≠1， a1（1－q3）a1（1－q6）a1（1－q9）∴S3＝ ，S6＝ ，S9＝ 且

1－q1－q1－qa1（1－q3）a1（1－q6）2a1（1－q9） ＋ ＝

1－q1－q1－q整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6

又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8 ∴a2，a8，a5成等差数列.

评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.

［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?

分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等

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比数列，总产量则为等比数列的前n项和.

解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 5（1－1.1n）∴ ＝30，整理可得：1.1n＝1.6

1－1.1lg1.6

两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，即：n＝ ≈5

lg1.1答：约5年内可以使总产量达到30万吨.

评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.

等比数列的前n项和(二)

1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.

2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？

3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.

4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)

(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.

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5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.

6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.

111

7．求和（x＋ ）2＋（x2＋2 ）2＋…＋（xn＋n ）2

xxx

8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.

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等比数列的前n项和(二)答案

1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.

a1（1－qn）

分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝ 解题.

1－q解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1. a1（1－qn）

＝80 ①

1－q

当q≠1时，由已知得

a1（1－q2n）

＝6560 ②

1－q

???

②1－q2n2nn由 ，得n ＝82，即q－82q＋81＝0 ①1－q得qn＝81或qn＝1(舍) ∴qn＝81，故q＞1.

{an}的前n项中最大，有an＝54.将qn＝81代入①，得a1＝q－1 由an＝a1qn1＝54，得a1qn＝54q

－

③ ④

即81a1＝54q

由③、④得a1＝2，q＝3

评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便. 2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？

分析：应对{an}的公比q分类讨论.

解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q 则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1, ∴{bn}为公比是1的等比数列.

a（n－1）k＋1（1－qk）bn＋1ank＋1当q≠±1时，bn＝ ， ＝ ＝qk

bn1－qa（n－1）k＋1∴{bn}为公比是qk的等比数列.

当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列. 若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列.

综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列. 3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.

1

解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝ n(n＋1)；

2n

（n为偶数）2

(3)a＝－1时，Sn＝；

n＋1

（n为奇数）2

???

（1－an）（1－an1）

(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝ . （1－a）（1－a2）

＋

4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)

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(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.

分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝an(n≥2)的运用，然后回答定义. （1）证明：∵Sn＝1＋kan Sn－1＝1＋kan－1

① ②

①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2) ∴(k－1)an＝kan－1，

ank

＝ (常数)，（n≥2） an－1k－1

k

∴{an}是公比为 的等比数列.

k－1（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝

n?11 1－k

k1k－

∴an＝ ·( )n1＝－

1－kk－1(k?1)n1k(3)解：∵{an}中a1＝ ，q＝

1－kk－1

1k

∴{an2}为首项为（ ）2，公比为（ ）2的等比数列.

k－1k－111

当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为 ，公比为

4411

[1－（ ）n]4411

∴a12＋a22＋…＋an2＝ ＝ [1－（ ）n]

1341－ 4

?S1 （n＝1）

评述：应注意an＝? 的应用.

?Sn－Sn－1 （n≥2）

5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.

解：设数列的公比为q，项数为2n

?a1＋a3＋…＋a2n－1＝85则? ，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2 ?a2＋a4＋…＋a2n＝170

a1（1－q2n）1－22n

又∵ ＝85，即 ＝85

1－q21－22∴22n＝256＝28，∴2n＝8

评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.

6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.

分析：关键是确定首项和公比. 解：设此数列的首项和公比为a1和q.

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a1（1－q4）

＝1 ①

1－q

则

a1（1－q8）

＝3 ②

1－q

???

由②÷①得q4＝2.

∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16

a1（1－q20）a1（1－q16）a1 q16（1－q4）＝ － ＝ ＝q16＝24＝16.

1－q1－q1－q

评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简. 111

7．求和（x＋ ）2＋（x2＋2 ）2＋…＋（xn＋n ）2

xxx

111

分析：注意到（xn＋n ）2＝an＝x2n＋2n ＋2，且{x2n}与{( )2n}为等比数列，故可考虑拆项法.

xxx111

解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(2 ＋4 ＋…＋2n )＋(2?2)?????2

xxx???????n个2当x＝±1时， Sn＝n＋n＋2n＝4n.

11

2 （1－2n ）xx（1－x）x

当x≠±1时，Sn＝ ＋ ＋2n 211－x

1－2 x

2

2n

（x2n－1）（x2n2＋1）＝ ＋2n

x2n（x2－1）

＋

评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1. 8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.

分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题. 解：（1）当x＝0时，Sn＝0.

1

(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝ n(n＋3).

2(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2

－

① ②

①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2

x3（1－xn1）

＝2x＋ －(n＋1)xn+2

1－x

2

2x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3

∴Sn＝

（1－x）2又当x＝0时，Sn＝0适合③

③

1

n(n＋3) （x＝1）2

∴Sn＝2x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3

（x≠1）

（1－x）2???

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