《材料力学》附录I++截面的几何性质+习题解

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

（a）

解：Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000(mm3) （b）

解：Sx?A?yc?(20?65)?（c）

3解：Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000(mm)

652?42250(mm)

3（d）

3解：Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000(mm)

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的静矩为： dS?dA?y?(xd??dx)?y?xd??dx?xsin??xsin??dxd?

2x半圆对x轴的静矩为：

1

Sx??r0xdx?sin??d??[02?x33]?[?cos?]0?r0?r33?[?(cos??cos0)]?2r33

因为Sx?A?yc，所以

2r33?122??r?yc yc?4r3?

[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 123.6 离顶边 46.4 (b) 解： Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c)

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai 2

解：

习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 Ai(cm2) 槽钢20 等边角钢80*10 32.837 15.126 Yci(cm) 10 2.35 AiYci(cm3) 328.37 35.546 Yc(cm) Xci(cm) -1.95 2.35 AiXci(cm3) -64.03 35.546 Xc(cm)

47.963 363.92 7.6 -28.49 -0.6 Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的惯性矩为： dI?ydA?y(xd??dx)?xsin??xd??dx?xsin??dxd?

222232x四分之一圆对x轴的惯性矩为： Ix??rr0xdx?123?/20sin?d??[2x44]0??r?/21?cos2?20d?

4?4?[??/20d??1?2?/20cos2?d(2?)]

?r48{?24?12[sin2?]0?/2}

???r16

由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：

3

Iy?Ix???r164

微分面积对x轴、y轴的惯性积为：

dIxy?xydA

22Ixy??r0xdx?r?x0ydx??r101rxx(r?x)dx?[22222221rrr ?]?(?)?42248r0x4444[习题I-5] 图示直径为d?200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为??20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。

解：圆的方程为：

x?y22?r

2如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dA?2r?ydy

22切去2?之后，剩下部分对x轴的惯性矩为： Ix??rsin??rsin?2y2r?ydy

rsin?224?yry?2222?2?(2y?r)r?y?arcsin ?88r???rsin??r42r4(??14sin4?)

?82(4??sin4?)

x1?(100?20)2?100

2 x1?3600

2 4

x1?60(mm) tan??100?20?460340 ??arctan?53.13?0.927(rad)

3

Ix?10084(4?0.927?sin212.52)?3.963?10(mm)

074[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。

Iz??yA2dA??022a?dz?2z?222aa2?z?2ydy?2?2a0dz?22?z?2222aaydy2

z??2?[?23230022a?dz?z?z?2a20ydy?2?2a0dz??z??z?a0ydy]

2??[??22a?y?322a20dz??2a0?y?322a0dz]

2??[?022a?(z?22a)d(z?322a)??2a0(?z?22a)d(?z?322a)]

?24(z?a)?22???3?4??442?aa?? ?=??3?1616?????????0222a?24(?z?a)?22??3?4???2?????0a

?

a412

5

故正方形对其的对角线的惯性矩为：Iz?a412。

[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。

(a) 解：Ix?(b)

Ix?112?150?2103164?D(1??)?42164112?3.14?175[1?(4150175)]?21177368(mm)

44??90?1503?90449999(mm)

4[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 轴

的惯性矩

，利用平行轴定理，可求得截面对形心

所以

再次应用平行轴定理，得

6

[习题I-9] 试求图示 平行，相距1 m。

的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 的惯性矩

，用平行轴定理得截面对形心轴

再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等

边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

7

36上面一个圆的圆心到 轴的距离是2d。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩

7。

Iz?3.4?10?(112?120?103?1152?120?10)?2?65760000(mm)

4（b）等边角钢 的截面积是

mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

习题I-11（b）图 图形 中间矩形 上矩形 下矩形 左上L形 右上L形 左下L形 右下L形 b 10 250 250 h 600 10 10 Ixc 180000000 20833 20833 1795100 1795100 1795100 1795100 2，其形心距外边缘的距离是28.4

a 0 305 305 271.6 271.6 271.6 271.6 A 6000 2500 2500 1926 1926 1926 1926 Ix 180000000 232583333 232583333 143869495 143869495 143869495 143869495 1220644645 Ix?Ixc?aA 8

[习题I-12] 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩

计算如下：

[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。

习题I-13(a) 图形 上矩形 下矩形 全图 bi 1000 300 hi 100 600 Ai 100000 180000 280000 Yci 650 300 AiYci 65000000 54000000 119000000 Yc ai 225 125 Ixc 83333333 Ix(mm) 5145833333 4 425 5400000000 8212500000 13358333333 习题I-13( b) 图形 上图(3) 中图(2) 下图(1) 全图 bi 25 200 100 hi 150 150 50 Ai 3750 30000 5000 38750 Yci 275 125 25 AiYci 1031250 3750000 125000 4906250 Yc ai Ixc Ix(mm) 89601489 4148 7031250 2 56250000 56328044 52667577 198597110 102 1041667 127 9

习题I-13(c) 图形 矩形 半圆 全图 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm) 42140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 790 -980333 335 -328692667 42750202791 399 198820222116 1480667 1086382333 734 半圆：Ixc??r4 4134393476159 半圆：yc?4r/3? /8?8r/9?

习题I-13(d) 图形 220 180 16 14 674 14 9 3520 2520 10784 3080 4005 8 23 367 711 722.5 28160 57960 3957728 2189880 2893613 9127341 374 75093 359 41160 0 492438613 324821280 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm) 4从下往上

16 220 445 408242699 408242699 333432587 464367735 2023302914 329 50307 341 27034 382 23909 [习题I-14] 在直径D?8a圆截面中，开了一个2a?4a的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩Ix和Iy。 解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y轴向下为正）

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

10

（组合图形对形心轴x的惯性矩）

习题I-14 b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc 矩形 圆 4 2 4 -8.00 50.27 42.27 1 0 -8 0 -8 2.667 ai Ix(a4) 1.1893 14.0 201.062 -0.1893 202.9 188.9 -0.1893

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为d?100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15 图形 半圆 全图 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixci 133333333 685977 4ai Ix 2 133546801 24 2860346 130686455 Ix?Ixc?aA 2正方形 200 200 40000 100 4000000 50 -3927 79 -309365 36073 4r3?3690635 102 Ixc?yc?100? ??r84?8r 9?4形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：Ix?130686455mm。对竖直形心轴的惯性矩：

Iy?a412???r84?200124?3.14159?5084?130878966(mm)

4 11

习题I-15 图形 正方形 半圆 全图 a 200 r 50 Iy（mm4） 133333333.3 2454367 130878966 Iy?a412???r84 [习题I-16] 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩Ix和

Iy相等，则两槽钢的间距a应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴

；横截面积为

。

根据惯性矩定义

和平行轴定理，组合截面对 ，

、

的惯性矩是

，

的距离是

；槽钢背到其形心轴

轴的惯性矩分别是

若

；

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

12

于是 所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积Ixy

解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为xc0yc，则

由平行移轴公式得：

hb122Ixy?IxCyC?abA?0?()?()?bh?bh

224故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： Ixy?习题I-17 图形 左矩形 下矩形: 重复加的矩形 全图 b 10 100 10 h 100 10 10 Ixy 250000 250000 2500 497500 14bh

22

上图+下图-重复图= [习题I-18] 图示截面由两个125mm?125mm?10mm的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩Imax和最小惯性矩Imax。 解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为xc轴正向；过C点，垂直于xc轴的

0直线为yc轴向上为正。把xccyc坐标绕C点逆时针转45

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形

13

心主惯性轴x0,y0。主惯性矩Ix?Imax，Iy?Imin

00查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：

2A?24.373cm ，Iy0?Ix0?149.46cm，Ix0?Iy0?573.89cm，z0?3.45cm

'4'4角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

a?2z0?22?1?2(3.45?0.5)?3.9522cm

4Imax?Ix0?2?[149.46?(3.952)?24.373]?1820(cm)

Imin?Iy0?2?573.89?1148(cm)

4（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积Ix1y1和惯性矩Ix，Iy并作出比较。

11

解：Ix?a412a4

Iy?12

Ixy?0 （x,y为形心主惯性轴）

aIx1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixy4sin2??12?a4412?0?0?a

212a44aIy1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixy4sin2??12?12?0?0?a

212 14

IIx?Iyx1y1?2sin2??Ixycos2??0?0?0

结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零； 2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

I[112?200?403?(4002?402)2?200?40]?2?13x?12?20?(400?2?40)?575146666I13200202134y?[12?40?200?(2?2)?200?40]?2?12?320?20?183146666.6(mm)Ixy?[?(400402002?2)?(2?202)?200?40]?2??259200000(mm4)

tan2?2Ixy(?2)?(?259200000)0??Ix?I?y575146666.5?181346666.6?1.3164

2?1.3164?5200?arctan47'

?00?2624'

Ix Iy Ixy 575146666.5 183146666.6 -259200000 Ix0= 704109187 575146666.5 183146666.6 -259200000 Iy0= 54184146 Ix0?Ix?Iy?12Iy022(Ix?Iy)2?4Ixy

15

.5(mm4)

(b)

解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：

习题I-20(b) 长度单位:cm 图形 I II 全图 图形 I II 全43.1 Ai 32.8 10.2 43.1 Xci 1.95 -1.4 Yci 10 16 AiXci 64 -15 49.4 AiYci 328.3 163.8 492.1 Xc 1.15 Yc 11.4 习题I-20（b） Ai 32.8 10.2 ai bi Ixci' Iyci' Ixci Iyci 165 84.6 249 Ixciyci' Ixciyci 0 0 0 -37.635 -120.66 -158.29 tan2a0 a0 Ix0 Iy0 -1.43 0.804 4.573 -2.58 1913.7 143.6 1981 101.3 16.6 315.5 2296 图 0.1547 4.4 2308.2 237.2

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的Ix，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径r?100mm。

解：圆的方程为：

x?y22?100

2把y轴的半径10等分，即??10mm。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。

16

习题I-21 yi 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 10xi 99.87 98.87 96.82 93.67 89.30 83.52 75.99 66.14 52.68 31.22 ai 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ? 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ai?xi 224969 222454 605154 1147518 1808383 2526373 3210722 3720588 3806005 2818055 近似解Ix??ai?12i?xi 3.14159?10016419890221 精确解Ix?误差(%) ??r164? 19634938 1.30

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为Ixy?a472（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对

相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

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解: z?h(b?y)b

b

Iyz??AyzdA??0?zzdz???0?ydy???22?bh2202b(b?y)ydy?2bh2422

IyCzC?Iyz?()()A?33bhbh24bhbhbh ?????3327222令b?h?a得:|Ia4yCzC|?72.

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