高三数学探究课
《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》教学设计
执教者： 福建省福州第三中学 林珍芳
一．教学内容解析
基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚。由两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。
《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》是《基本不等式》内容的延伸。教学中选用“赵爽弦图”作为“数学探究”的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知结构，使学生更深刻体会数学的文化价值和应用价值。
基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和基本不等式的基础上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵.
二．教学目标设置
本节课立足学生的思维水平和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现能力，具体教学目标确定为以下三点：
（1）利用赵爽弦图，深入挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系（即基本不等式链）。 （2）启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历基本不等式链的
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发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，提高数学的归纳能力和抽象能力。
（3）通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生善于思考、乐于探索的良好品质.
三．学情分析
学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导基本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系（勾股定理
a2?b2?c2）到不等关系（基本不等式a?b?2ab），从平面几何到不等式的研究，是知识和思维的延续、拓展.
此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知基础，也具有了一定的观察分析、抽象概括能力，并能用TI（图形计算器）解决常用的数学问题。本节课正是以学生已有知识为出发点，突出问题引导，着眼多元联系，让学生对赵爽弦图进行深度剖析，使不等式性质的认识结构更加完善。
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：利用赵爽弦图，通过数形结合发
a2?b2a?b2现、探究、深化和完善对基本不等式链的认识. ??ab?1122?ab四．教学策略分析
创设问题情境，以问题链引导学生学习已成为数学教学的一条基本原则。本节
课将基本不等式链的探究发现设计成环环相扣、层次分明的问题链，结合启发式教学原则，采用学生探究和教师讲授相结合的方法，结合TI-NspireCX-C CAS
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（图形计算器）辅助教学，通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活
a2?b2a?b2动，使学生充分地经历基本不等式链的探究发现和??ab?1122?ab证明应用的过程。借助每一个问题的解决，把学生的思考逐步推向深入，使学生的学习过程成为在教师引导下的“探究发现”的过程，磨练学生的思维，有效地提升数学素养。
为突破难点，在教学中始终抓住图形的几何性质，发挥几何图形的功能，贯穿数形结合的思想，在新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，引导学生通过观察，挖掘赵爽弦图中有关线段、面积的度量关系，大胆联想，探究发现其中蕴含的不等关系，借助图形计算器辅助实验，最后代数证明。在这个过程中，揭示了从特殊到一般，再回到特殊的认知规律。
五．教学过程
依据知识的发生、发展、深化的过程和学生的思维规律，本节课设计了以下6
个教学环节。 教学 环节 师：2002年8月国际数学家大会在北京召开，这个 教学程序(师生双向活动) 设计意图 一、 大会颁发的菲尔茨奖相当于数学界的诺贝尔奖.大会 再 的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客. 师：（如图1，2）请同学们回忆一下以前借助赵爽弦图主要研究了什么？ 醒了学生对变与不变的关系、整体与局部的关系、等与不等的关系、一般与现 弦 图 ， 唤 醒 知 赵爽弦图的直观再现，基本不等式的重新回顾，唤
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识 特殊的关系的感受，促使学生在直观丰富的情境下感知公式的基本特征和形 （图1） （图2） 式，有效强化“抽象知识”和“几何原型”之间的本质联系. 师：回到弦图，a,b是Rt?ABE的两条直角边，那么，教师通过对弦图中几何性二、 追 问 弦 图 ， 体 验 发 现 在?ABE中是否还存在其它关于a,b的不等关系？ 生3：a?b是三角形两边之和，所以联想三角形三边关系得到a?b?c，即a?b?质的追问，引导学生对本质问题进行深刻挖掘，领a2?b2，注意悟几何与代数之间的内在联系，从赵爽弦图中直角到，当a?0或b?0时，上式也成立，所以a?b?a2?b2. 三角形的直角边、斜边、师：这个发现源于三角形的最基本性质，得到的不等式关系精美简约，下面请大家观察弦图中的斜边上的中线、斜边上的高的几何关系中引申出基本不等式及其衍生结论，让学生自由自在、灵活地思考，促进学生在原有知 识和经验基础上的主动建构，实现了知识的自然过渡和传承间的“春风化雨，润物无声.” Rt?ABE，思考它是否还蕴含其它的几何关系？
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师：上述过程中，我们着重从平面几何中线段的关系去挖掘和思考a,b的不等关系.如果我们用动态的观点研究弦图，那么能否有新的视角和新的手段不等关系呢？现在我们让赵爽弦图动起来，通过观察看到通过搭建符合学生认知规律的脚手架，在学生亲手操作、亲历体验过程中，在运动和变化的过程中进行跨界联想，多元交汇，从三角函数，解析几何等角度观察、分析和解决问题，不断丰富知识探究过三、 深 探 弦 图 ， 跨 界 交 汇 a,b在变化，c不变，那么a?b的变化是否有什么规律？ 程的真切感和思考层次，四、 师：赵爽弦图是在正方形中构造直角三角形，请大家使得学生对弦图的探究能重 构 弦 图 ， 彰 显 创 意 升思维的层次。学生能够运用类比的方法猜想并重构赵爽弦图，在“变”的现象中发现“不变”的本质，从生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提思考能否在其它图形中构造类似的弦图来推导基本不等式？ 展示学生作品 够“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同角度理解数学的本质. 通过让学生参与设计的一系列问题来引导和激发学
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“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一种创意． 师：今天我们通过挖掘赵爽弦图中的几何性质，用不方法得到基本不等式链 五、 同回 顾 小 结 ， 理 清 脉 络 a2?b2a?b2，在探究的过程??ab? 1122?ab中我们运用了特殊到一般、数形结合、转化与化归、类比联想等数学思想方法。 引领学生进行回顾总结，归纳本节课内容，提炼思想方法，总结学习经验，完善认知结构。 作 业 小组合作设计弦图，并挖掘其中蕴含的不等式性质
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“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一种创意． 师：今天我们通过挖掘赵爽弦图中的几何性质，用不方法得到基本不等式链 五、 同回 顾 小 结 ， 理 清 脉 络 a2?b2a?b2，在探究的过程??ab? 1122?ab中我们运用了特殊到一般、数形结合、转化与化归、类比联想等数学思想方法。 引领学生进行回顾总结，归纳本节课内容，提炼思想方法，总结学习经验，完善认知结构。 作 业 小组合作设计弦图，并挖掘其中蕴含的不等式性质
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