2013年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)

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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）

数学(理科)

命题：沈阳市第31中学李曙光沈阳市第20中学何运亮东北育才学校牟欣

沈阳铁路实验中学倪生利沈阳市第11中学朱洪文东北育才学校刘新风主审：沈阳市教育研究院周善富注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A??1,2,3?，则集合B的子集的个数为（） B?A??3?，B?A??1,2,3,4?，A．2 B．3 C．4 D．8 2.已知复数z?1?i（为虚数单位），且

1?ai?a?R?是纯虚数，则实数a的值为（） z11A．?1 B．? C． D．

223.下列说法正确的是（）．．

xxA．命题“?x?R，e?0”的否定是“?x?R，e?0”

B．命题“已知x,y?R，若x?y?3，则x?2或y?1”是真命题

2C．“x?2x?ax在x??1,2?上恒成立”?“(x2?2x)min?(ax)max在x??1,2?上恒成立”

D．命题“若a??1，则函数f?x??ax?2x?1只有一个零点”的逆命题为真命题

24.在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图都是矩形,左视图为等腰三角形,各边的数据如图所示，则该几何体的表面积为（） A．3 B．14 C．6?62 D．8?62

主视图左视图

?x?y?1?0?5.已知x,y满足线性约束条件：?2x?y?2?0，则目标函数z?y?3x的取值范围是

?x?1?0?（）

A． (?1,?) B． (?3,] C． (?3,?1) D． (?1,] 6.等差数列?an?的前n项和为Sn，且S5?S10，则a8?（）

A． B．?1 C．2 D．0 7. 如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．1028 B．3584 C．3586 D．8194

22 俯视图

131313i?S?i?i?1 ?i?i8SS??i8.圆C 的圆心为双曲线x?y?1的一个顶点,且过该双曲线的另外一个顶点,则圆C被该

双曲线的一条渐近线截得的弦长为（）

14 D. 14 29.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3；向乙靶射击两次，每次

4命中的概率为2．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击，该

3A．2 B． 6 C．射手恰好命中一次的概率为（）

29157 B． C． D．

33636363???10.对于函数f(x)?（x?R）有以下三种说法:①?,0?是函数f?x?sin2x?sin2x2?12?????的图象的一个对称中心；②函数f?x?的最小正周期是2?；③函数f?x?在??,?上

?63?A．

单调递增.其中说法正确的个数是（）．．

A．0 B． C． 2 D．3

11.三棱锥A?BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且?ABC、?BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A?BCD的体积是（） A．

2211 B． C． D． 12886nm12. 已知m,n是正实数，且n?m,若P??1?m?,Q??1?n?,则（）

A．P?Q B．P?Q C．P?Q D．P、Q大小关系无法确定

第Ⅱ卷 (共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.

????????13. 已知向量a、b满足a?b?1，且a?b?0，则cos?2a?b,b?? ．

P2、14. 已知P1、?、它们的横坐标依次为x1、x2、?、x2013，P2013是抛物线y?4x上的点，

F是抛物线的焦点，若x1?x2???x2013?10，则PF?P12F???P2013F?___．

15. 已知数列?an?为等比数列，前n项和为Sn，且a52?a10，3S1、2S2、S3成等差数列，

则数列?an?的通项公式an=____________．

16. 第十二届全运会将在沈阳市举行. 若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场

馆，且甲、乙两人必须同组，则不同的分配方案有_______种.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应

位置.

17. (本小题满分12分)

在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B?求角A．

18. (本小题满分12分)

如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中， DA?DC?2，DD1?3，点E是C1D1的中点，点F是CE的中点.

(1)求证：EA//平面BDF； (2)求二面角D?EB?C的大小.

C1 D1

2?12，c?b(1?2cosA)，

E A1

F D A

19. (本小题满分12分)

某校高三有甲、乙两个数学学习小组，人员分布情况见下表.现在甲、乙两组之间采用分层抽样方法（组内采用简单随机抽样），从甲、乙两个小组中共抽取3名同学参加高中数学联赛.

（1）求从甲、乙两个数学学习小组中各抽取的人数；（2）求从甲组中抽取的同学中至少有1名是女同学的概率；（3）记X表示抽取的3名同学中男同学的人数，求X的分布列及数学期望.

数学小组甲组乙组男同学 6 3 女同学 4 2 20. (本小题满分12分)

x2y2如图所示，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F,0?,F2?1,0?，1??1ab???????????????????P为椭圆上一点，Q为上顶点， F1M?2MP，PO?F2M?0.

（1）当椭圆离心率e?31时，若直线过点（0，?）

72且与椭圆交于A,B（不同于Q）两点，求证：?AQB?（2）求椭圆离心率e的取值范围.

21. (本小题满分12分)

?2；

第20题图 3bln(2ax?ab?3)（a,b?R）. 2a（1）若b?1,a?0,求f(x)的单调区间；

2设f(x)?x?

（2）在(1)的条件下,证明：f(x)??

3． 2请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22. （本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,已知四边形ABCD内接于?O,且AB是?O的直径,过点D的?O的切线与BA的延长线交于点M.

(1)若MD=6，MB=12,求AB的长； (2)若AM=AD，求∠DCB的大小.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ??2?sin??cos??，直线的参数方程为：??x?2?t(为参数) .

?y??1?2t（1）写出圆C和直线的普通方程；

（2）点P为圆C上动点，求点P到直线的距离的最小值.

24． (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲已知函数f(x)?x?2a?x?a,a?R,a?0．

（1）当a?1时,解不等式: f(x)?2；

（2）若b?R且b?0,证明：f(b)?f(a)，并求在等号成立时

b的取值范围． a2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）

数学（理科）参考答案与评分参考

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

一、选择题 1 参考答案 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.5 14. 2023 15. an?3n 16.18 5bc=及c?b(1?2cosA)可知, sinC?sinB?(1?2cosA)， sinBsinC三、解答题：本大题共70分. 17.解: 由正弦定理

??????????????????????????????3分又在?ABC中,A?B?C??,

所以sinC?sin(B?A)?sinAcosB?sinBcosA, ?????????????6分从而sinAcosB?cosAsinB?sinB，

所以sin(A?B)?sinB， ?????????????????????????9分即A?B?B或A?B???B(舍)，所以A?2B,又B??12,所以A??6. ???????????????????12分

18.解: (1) （方法一）

连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是?ACE的中位线，所以OF//AE，

又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以EA//平面BDF.

????????????????????????????????????4分 (方法二)

如图所示建立空间直角坐标系D?xyz. 由已知得

?33?, ?????2分 D?0,0,0?,A?0,2,0?,B?2,2,0?,C?2,0,0?,E1,0,3,F?,0,??2?2?????????????????33?EA??1,2,?3，DB??2,2,0?,DF???2,0,2??, ??????????????CB??0,2,0?,CE??1,0,3,DE?1,0,3.

?????????令n1??x1,y1,z1?为平面BDF的一个法向量，则有 ???????2x1?2y1?0?n?DB?0?1?，令z1?3,则,?????????33z1?0?n1?DF?0?x1???22???n1??1,1,3.

????????????从而EA?n1?1?2?3?0，又EA不在平面BDF，所以EA//平面BDF.????4分 ???(2)令n2??x2,y2,z2?为平面BCE的一个法向量，则有 ????????????2y2?0?n2?CB?0?,??，令z2?3,则n2?3,0,3. ????????8分 ???????????x2?3z2?0?n2?CE?0????令n3??x3,y3,z3?为平面BDE的一个法向量，则有 ????????????n3?DB?0??2x3?2y3?0n,??，令z3?3,则3??3,3,3.????????10分 ??????????x3?3z3?0?n3?DE?0?????令二面角D?EB?C的平面角为?，观察知?为锐角，

??????n2?n377，所以??arccos. ??????????????12分 cos?????????77n2n319.解：（1）从甲组中应抽取的同学人数为

3?10?2， 153从乙组中应抽取的同学人数为?5?1； ????????????2分

15（2）从甲组中抽取的同学中至少有1名女同学的概率

2112C6C4C6?C422）. ???????????????5分 ?P?1?2?（或P?2C103C103（3）X的可能取值为0，1，2，3， ??????????????????6分

1112112C4C6C2C3C4C2C4422， P(X?1)?， P(X?0)?2?1?????212175C10C575C10C5C10C521C6C3341 P(X?3)?2?1?，P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?，

75C10C5521111C6C6C4C3C234（或P(X?2)?2?1?). ??????????????8分 ??21C10C5C10C575∴X的分布列为：

XP?X?0 1 2

??????10分

4223419?1??2??3??. ??????????????12分 75757555c122220.解：（1）c?1,e??,得a?2,?b?a?c?3，

a2EX?0?x2y2??1. ?????????????????????4分所以椭圆的方程为43依题意可设AB所在的直线方程为y?kx?3，代入椭圆方程,得 7?3+4k?x22?83576kx??0.设A?x1,y1?,B?x2,y2?， 749则x1?x2?83k7?3?4k2?,x1x2??57649?3?4k2?. ????????????????6分

?????????83??83?因为Q0,3,?QA?QB?x1,y1?3?x2,y2?3??x1,kx1? ??????x2,kx2?7??7????????????1?k2?x1x2?83192?5768383k192k?x1?x2????1?k2??k?74977?3?4k2?4949?3?4k2?

??576?576k2?192k2?576?768k249?3?4k2??0，

所以?AQB??2. ???????????????????????????8分

????1?????????????????????????1?????????PF1?PF2,F2M?PM?PF2?PF1?PF2, （2）因为PO?23???????????因为PO?F2M?0，

?1????????所以PF1?PF22?????1??????????PF1?PF2??0， ?3?2PF2-3PF2?0，化简得PF1?2PF1·2????2??????????????2即,PF1?2PF1PF2cos?F1PF2?3PF2?0， ?????????????10分

在?F1PF2中，由余弦定理，

????2?????2?????????2有PF1?PF2?2PF1PF2cos?F1PF2?4c， ?????2?????2所以4PF2?4c,PF2?c，

?????又因为a?c?PF2?a?c,?a?2c，

即e?c1?1??,?0?e?1?e??,1?. ???????????????????12分 a2?2?3ln(2ax?a?3), 2a21.解:

2（1）f(x)?x?4ax2?2(a?3)x?3(2ax?3)(2x?1)3??所以f?(x)?2x?.

2ax?a?32ax?a?32ax?a?3令f?(x)?0,由2ax?a?3?0,即x?所以(2ax?3)(2x?1)?0,

a?313??(因a?0), ???????5分 2a22a3133a?3?x??,). ??????????7分 ,从而f(x)的单调增区间为(2a22a2a2a3]. ??????????????????8分同理, f(x)的单调减区间为(??,2a393?ln(?a). ?????????????9分（2）由(1)知f(x)min?f()?22a4a2a即

考虑函数g(x)?x?1?lnx,

因为g?(x)?1?1x?1?, xx令g?(x)?0,即x?1,

所以g(x)在(1,??)上单调递增,同理g(x)在(0,1)上单调递减,

g(x)min?g(1)?0,

所以g(x)?g(x)min?0.

从而x?1?lnx, ???????????????????????????10分于是ln(?a)??a?1,

393(a?1)933)?2??2??. ?????????????11分 2a4a2a4a2a23又因为a?0,所以f(x)min??.

23综上,f(x)??. ???????????????????????????12分

2f(x)min?f((

22.解：(1)因为MD为?O的切线,由切割线定理知,

MD=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB , ??????????????????2分所以MA=3，AB=12－3=9. ?????????????????????????5分 (2)因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,

连接DB，又MD为?O的切线,由弦切角定理知,

∠ADM=∠ABD， ?????????????????????????????7分又因为AB是?O的直径,所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD.

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,

于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. ??????????8分又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°????10分 23.解：（1）由已知??2?sin??cos??得??2??sin???cos??，

222所以x?y?2y?2x，即圆C的普通方程为：?x?1???y?1??2. ????3分

222

由??x?2?t,得y??1?2(x?2)，所以直线的普通方程为2x?y?5?0. ?6分

?y??1?2t2???1??1?522?185，???9分 5（2）方法一：由圆的几何性质知点P到直线的距离的最小值为圆心C到直线的距离减去圆的半径，令圆心C到直线的距离为d，则d??

所以最小值

85?2.??????????????????????????10分 5方法二：令P?1??2cos?,1?2sin?，??????????????????7分

?设点P到直线的距离为d.

d?2??1?2cos??1?2sin??52?110cos??????85?8?105?2?????22cos??2sin??85 ?85?2.???????????????10分 5

24.解: （1）因为a?1,

所以原不等式为x?2?x?1?2.

1； ???????????????2分 2当1?x?2时, 原不等式化简为1?2,即x??；

5当x?2时, 原不等式化简为2x?3?2,即x?.

2当x?1时, 原不等式化简为1?2x?0,即x?综上,原不等式的解集为?x|x?（2）由题f(a)?a ,

??15?或x??. ????????????????5分 22?f(b)?b?2a?b?a?2a?b?b?a ?2a?b?b?a?a，所以f(b)?f(a),8分

又等号成立当且仅当2a?b与b?a同号或它们至少有一个为零,

22从而(2a?b)(b?a)?0. 即3ab?2a?b?0,

2即()?ba

3bb?2?0,从而1??2. ????????????????????10分 aa