广东省佛山市2013届高三普通高考教学质量检测(二)数学理试题

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学（理科） 2013.4

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知M??x?2?x?4,x?Z?,N??x?1?x?3?，则M?N?

A．??1,3?

B．[?2,1)

C．?0,1,2?

D．??2,?1,0?

2．已知复数z的实部为1，且z?2，则复数z的虚部是

A．?3 B．3i C．?3i D．?3 3．已知数列{an}是等差数列，若a3?a11?24,a4?3，则数列{an}的公差等于

A．1

B．3 C．5

D．6

4. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是 A．30 B．60

C．70 D．80 5．函数f(x)?sin??x??? 频率/组距 0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

??1],则 ?，x?[?1，2?A．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递减； B．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递增； C．f(x)为奇函数，且在[?1，0]上单调递增； D．f(x)为奇函数，且在[?1，0]上单调递减. 6．下列命题中假命题是 ．．．

第4题图

A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；

C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．

1页

?x?0??y?07．直线2x?y?10?0与不等式组?表示的平面区域的公共点有

x?y??2???4x?3y?20A．0 个 B.1 个 C.2个 D.无数个

8．将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P(x,y)的轨迹方程是y?f(x)，关于函数y?f(x)的有下列说法： ①f(x)的值域为[0,2]； ②f(x)是周期函数；

③f(?1.9)?f(?)?f(2013)；

O P ④?f(x)dx?06y B A x 92?.

第8题图

其中正确的说法个数为:

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)

x

9．命题“?x0?R，e?0”的否定是 .

0

10. 已知向量a,b满足a?1,b?n2, ?a?b??a, 向量a与b的夹角为 .

3211．若二项式?1?2x?展开式中x的系数等于x的系数的4倍，则n等于 . 12．已知圆C经过点A(0,3)和B(3,2),且圆心C在直线y?x上,则圆C的方程为 . 13．将集合{2s?2t|0?s?t且s,t?Z}中的元素按上小下大， 左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列 的数记为bij（i?j?0）,则b65= . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1:??2sin?与C2:??2cos? 的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的 极坐标方程为 ．

2页

359??10?第13题图

612?BOAECD15．（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB?9，直线CE与圆O

相切于点C， AD?CE于D，若AD?1，设?ABC??， 则sin??______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角?的终边与单位圆O的交点B在第一象限， 已知A(?1,3).

（1）若OA?OB,求tan?的值； （2）若B点横坐标为

17．（本题满分12分）

市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A、B、

D上下班时间往返出现拥堵的概率都是

45,求S?AOB.

110,道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是

A 15，只要遇

到拥堵上学和上班的都会迟到.

（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设?表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求?的均值.

18．（本题满分14分）

D 乙 B 甲 第17题图

丙

E C

如图甲，设正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在AB、CD上,并且满足

AE?2EB，CF?2FD,如图乙,将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置,使点A1在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．

（1）证明：A1E//平面CD1F；

3页

（2）求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值．

19．（本题满分14分）

在平面直角坐标系内，动圆C过定点F?1,0?,且与定直线x??1相切. （1）求动圆圆心C的轨迹C2的方程；

（2）中心在O的椭圆C1的一个焦点为F,直线l过点M(4,0).若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20．（本题满分14分）

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度f(x)与x6?2????6x?3时间x(小时)的关系可近似地表示为：f(x)???1?x ?6?A1A D F

E B 图甲

D1

E C

FB

G图乙

C

第18题图

0?x?3,只有当污染河道水中碱的浓度

3?x?6不低于

13时,才能对污染产生有效的抑制作用.

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？ （2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

13时,马上再投放1个单位的固体碱,

设第二次投放后水中碱浓度为g(x),求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投．．．．．．放的浓度的累加） ．．

4页

21．（本题满分14分）

设函数f0(x)?x?e2?12x，记f0(x)的导函数f0?(x)?f1(x)，f1(x)的导函数f1?(x)?f2(x)，

f2(x)的导函数f2?(x)?f3(x)，?，fn?1(x)的导函数fn??1(x)?fn(x)，n?1,2,?.

（1）求f3(0)； （2）用n表示fn(0)；

（3）设Sn?f2(0)?f3(0)???fn?1(0)，是否存在n?N*使Sn最大？证明你的结论.

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学（理科） 评分参考

一、填空题 CDBCABBC

二、填空题

9．?x?R，ex?0 10．14．?sin??????4 11．8 12．?x?1???y?1??5 13．80

122??2??4?2（或?sin???cos??1） 15．

3

三、解答题

16．⑴解法1、

由题可知：A(?1,3)，B(cos?,sin?)， ??1分

????OA?(?1,3)????，OB?(cos?,sin?) ??2分 ????????OA?OB，得OA?OB?0 ??3分

1∴?cos??3sin??0，tan?? ??4分

3解法2、

由题可知：A(?1,3)，B(cos?,sin?) ??1分 ??2分

∵OA?OB，∴KOA?KOB??1 ??3分

?3tan???1， 得tan??13kOA??3， kOB?tan? ??4分

解法3、 设B(x , y)，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）

5页

⑵解法1、

由⑴OA?(?1)2?(3)2?10， 记?AOx??， ??(,?)

2?∴sin??310?31010，cos??45?110??1010（每式1分） ??6分

35∵OB?1 cos??，得sin??1?cos2??31010?45?121010?35?（列式计算各1分） ??8分 （列式计算各1分） ??10分

?32sin?AOB?sin(???)?3101031010∴S?AOB?12AOBOsin?AOB??10?1?（列式计算各1分） ??12分

解法2、

由题意得：AO的直线方程为3x?y?0 ??6分 则sin??1?cos2??35 即B(,)（列式计算各1分） ??8分

55434则点B到直线AO的距离为d?5?35?351210?31010（列式计算各1分） ??10分

12?10?31010?32又OA?(?1)2?(3)2?10，∴S?AOB?解法3、

5????????43即：OA?(?1,3)，OB?(,)5522AO?d?（每式1分）?12分

sin??1?cos??23 即B(,) （每式1分） ?6分

5543 ， ??7分

OA?(?1)?(3)?43?????????1??3?OA?OB55?10??9分 10，OB?1，cos?AOB??????????1010?1OAOB（模长、角的余弦各1分） ∴sin?AOB?1?cos2?AOB?则S?AOB?12AOBOsin?AOB?3101012 ??10分

31010?32?10?1?（列式计算各1分） ??12分

解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内

角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）

17．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是

因此从甲到丙遇到拥堵的概率是?1720172011?110和，

51113???0.15（列式计算各1分） ??2

2102520所以李生小孩能够按时到校的概率是1?0.15?85%； ??3

分 分

⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是丙到甲没有遇到拥堵的概率也是

， ??4分 ， ?5分

6页

112， ??6分 ??3103103515213甲到乙没有遇到拥堵的概率是1?，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是?15151717133757????0.8，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）??8分 2020156000甲到乙遇到拥堵的概率是?11?1?1?⑶依题意?可以取0,1,2. ??9分

P(??0)=

1317221??1520300,P(??1)=

1 7330021520?17?131520?3?73300,P(??2)=

21520?3?6300,?11分

分布列是：

? p0 2213002 6300 1760E??221300?0+73300?1+6300?2=85300?. ??12分

18．⑴证明：在图甲中，易知AE//DF,从而在图乙中有A1E//D1F， ??1分

因为A1E?平面CD1F，D1F?平面CD1F，所以A1E//平面CD1F（条件2分）??4分 ⑵解法1、

如图,在图乙中作GH?EF，垂足为H，连接A1H，

由于A1G?平面EBCF，则A1G?EF， ??5分 所以EF?平面A1GH，则EF?A1H， ??6分 所以?A1HG平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的平面角， ??8分

图甲中有EF?AH，又GH?EF，则A、G、H三点共线， ??9分 设CF的中点为M，则MF?1，易证?ABG??EMF，所以，BG?MF?1，AG?10；??11分（三角形全等1分）

又由?ABG??AHE，得A1H?AH?于是，HG?AG?AH?410AB?AEAG?610， ??12分

， ??13分

HGA1H?23在Rt?A1GH中，cos?A1GH?

A HD，即所求二面角的余弦值为．??14分

32A1

D1

z F

C

A1D1 E B

MG

C

E H G

Fy

B

E T GFC 图甲 图乙

B x7页

图丙

解法2、

如图,在图乙中作GH?EF，垂足为H，连接A1H，由于A1G?平面EBCF，则A1G?EF， ??5分

所以EF?平面A1GH，则EF?A1H，图甲中有EF?AH，又GH?EF，则A、G、H三点共线， ??6分

设CF的中点为M，则MF?1，易证?ABG??EMF，所以BG?MF?1，则AG?10； 又由?ABG??AHE，得A1H?AH?于是，HG?AG?AH?在Rt?A1GH中，A1G?410A1HAB?AEAG?610， ??7分

，

2?HG2????6?????10??2???10?422 ??8分

作GT//BE交EF于点T，则TG?GC，以点G为原点，分别以GC、GT、GA1所在直线为

????????则EF?(1,3,0)，EA1?(?1,1,2)（坐标系、坐标、向量各1分） ??11分

????显然，GA1?(0,0,2)是平面BEFC的一个法向量， ??12分

?????????n?EF?x?3y?0,?x??3y,设n?(x,y,z)是平面A1EFD1的一个法向量，则??????，即?，

???z??22y?n?EA1??x?y?2z?0建立如图丙所示的空间直角坐标系，则G(0,0,0)、x、y、z轴，E(1,?1,0)、F(2,2,0)、A1(0,0,2)，

不妨取

?y??1，则n?(3,?1,22)， ??13

分

?????GA1?n|0?3?0?(?1)?2?22|2cos?????????，所以，平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角

2223|GA1|?|n|2?3?(?1)?(22)设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为?，可以看出，?为锐角，所以，

的余弦值为

23． ??14分

19．⑴由题可知，圆心C到定点F?1,0?的距离与到定直线x??1的距离相等 ??2分

由抛物线定义知,C的轨迹C2是以F?1,0?为焦点,直线x??1为准线的抛物线 ??4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）

所以动圆圆心C的轨迹C2的方程为y2?4x. ??5分 ⑵解法1、 设

P(m,n)，则OP中点为(mn,)， 因为O、P22两点关于直线

y?k(x?4)对称，所以

m?n?k(?4)??km?n?8k?22，即???m?nk?0?n?k??1??m2?8km??2?1?k，解之得?（中点1分，方程组2分，化简1分） ??8

8k?n??2?1?k?分

将其代入抛物线方程，得：(??y?k(x?4)?联立 ?x2y2，消去y?2?2?1b?a8k1?k2)?4?28k221?k2，所以k222?1. ??9分

，得：(b2?a)x?8ax?16a?ab?0222 ??11分

8页

由??(?8a2)2注意到b2?4(b?a)(16a?ab)?0222222，得a2342?b?16， ??12

2分

?a?1，即2a?17，所以a?2，即2a?34， ??13分

x2因此，椭圆C1长轴长的最小值为解法2、

34.此时椭圆的方程为

172+y2152?1. ??14分

?m2?设P?,m? ，因为O、P两点关于直线l对称，则OM?MP=4， ??6分

?4?即?即

kAB???m?2?4??m?4，解之得m??4 ??7分 ?4?22P(4,?4),根据对称性,不妨设点P在第四象限，且直线与抛物线交于A,B.则

1分，方程1分） ??9分

22221kOP?1,于是直线l方程为y?x?4（斜率

?y?x?4?联立 ?x2y2，消去y??1?22b?a，得：(b2222?a)x?8ax?16a?ab?022 ??11分

分

由??(?8a2)2注意到b2?4(b?a)(16a?ab)?0222，得a2342?b?16， ??12

2?a?1，即2a?17，所以a?2，即2a?34， ??13分

x2因此，椭圆C1长轴长的最小值为

34. 此时椭圆的方程为

172+y2152?1. ??14分

0?x?3??3?x?6??20．⑴由题意知?或x61x1 ??2?2??? 1?? ??6x?3363??分

解得1?x?3或3?x?4，即1?x?4 ??3分

能够维持有效的抑制作用的时间：4?1?3小时. ??4分 ⑵由⑴知，x?4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4?x?10 ??5分 当4?x?6时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故

?11x(x?4)66x???g?x?=?1? ?+?2????=?3x?16(x?4)?3?36???; ??6分

当6?x?10时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故 当6?x?7时， g(x)?2?当7?x?10时， g(x)?1?(x?4)6x?46?6(x?4)?3?x6 =?38x6?6x?1; ??7分

?53 ; ??8分

9页

6?11x???33x?1?6?8xg(x)????所以

?36x?1?5x?? ?364?x?66?x?77?x?10 ??9分

当4?x?6时， g(x)?当且仅当

x?13?6x?1113?x3?6x?1=

103?(x?13?6x?1)?103?2x?13?6x?1=103?22; 时取“=”,即x?1?32?[4,6]（函数值与自变量值各1分）??11分

6(x?1)2当6?x?10时，第一次投放1单位固体碱已无残留， 当6?x?7时， g?(x)??16?(x?5)(7?x)6(x?1)2?0，所以g(x)为增函数;

12当7?x?10时，g(x)为减函数;故 g(x)max=g(7)?又(值为

103， ??12分

时，水中碱浓度的最大

103?22)?12?17?1226=289?6288?0,所以当x?1?32?22. ??13分

103答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放

1?32小时后, 水中碱浓度的达到最大值为

1?22. ??14分

?1??x21．⑴易得,f1?x????x2?2x?e2, ??1分

?2??12??2x ??2分 f2?x???x?2x?2?e4???123??2xf3?x????x?x?3?e,所以f3(0)??3 ??3分

82??11⑵不失一般性，设函数fn?1(x)??an?1x2?bn?1x?cn?1??e?x的导函数为

fn(x)??anx?bnx?cn??e2?x，其中n?1,2,?，常数??0，a0?1,b0?c0?0.

对fn?1(x)求导得：fn??1(x)?[??an?1x2?(2an?1???bn?1)x?(bn?1???cn?1)]?e?x ??4分

a???an?1 ①， 故由fn??1(x)?fn(x)得：?n由①得：an??n,n?N ， ??6分 代入②得：bn?2??n?1???bn?1，即

bn?bn?2an?1???bn?1 ②， ??5

??cn?bn?1???cn?1 ③ ??2?bn?1分

?n??n?1，其中n?1,2,?

故得：bn?2n??n?1,n?N. ??7分 代入③得：cn?2n??n?2???cn?1，即

cn?n?2n?2?cn?1?n?1，其中n?1,2,?.

故得：cn?n(n?1)??n?2,n?N， ??8分 因此fn(0)?cn?n(n?1)??n?2,n?N.

10页

将???12代入得：fn(0)?n(n?1)(?)n?2，其中n?N. ??9分

2121（2）由（1）知fn?1(0)?n(n?1)(?)n?1，

当n?2k(k?1,2,?)时，S2k?S2k?1?f2k?1(0)?2k(2k?1)?(?)2k?1?0，

21?S2k?S2k?1?0,S2k?S2k?1，故当Sn最大时，n当n?2k?1(k?2)时，S2k?1?S2k?112为奇数. ??10分

?f2k?2(0)?f2k?1(0) ??11分

12又f2k?2(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k，f2k?1(0)?2k(2k?1)(?)2k?1

?f2k?2(0)?f2k?1(0)?(2k?1)(2k?2)(?12)2k?2k(2k?1)(?12)2k?1?(2k?1)(k?1)(?12)2k?1?0，

?S2k?1?S2k?1，因此数列?S2k?1?(k?1,2,?)是递减数列 ??12

分

又S1?f2(0)?2，S3?f2(0)?f3(0)?f4(0)?2， ??13分 故当n?1或n?3时，Sn取最大值S1?S3?2. ??14分

11页

将???12代入得：fn(0)?n(n?1)(?)n?2，其中n?N. ??9分

2121（2）由（1）知fn?1(0)?n(n?1)(?)n?1，

当n?2k(k?1,2,?)时，S2k?S2k?1?f2k?1(0)?2k(2k?1)?(?)2k?1?0，

21?S2k?S2k?1?0,S2k?S2k?1，故当Sn最大时，n当n?2k?1(k?2)时，S2k?1?S2k?112为奇数. ??10分

?f2k?2(0)?f2k?1(0) ??11分

12又f2k?2(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k，f2k?1(0)?2k(2k?1)(?)2k?1

?f2k?2(0)?f2k?1(0)?(2k?1)(2k?2)(?12)2k?2k(2k?1)(?12)2k?1?(2k?1)(k?1)(?12)2k?1?0，

?S2k?1?S2k?1，因此数列?S2k?1?(k?1,2,?)是递减数列 ??12

分

又S1?f2(0)?2，S3?f2(0)?f3(0)?f4(0)?2， ??13分 故当n?1或n?3时，Sn取最大值S1?S3?2. ??14分

11页

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