13-信号的功率谱密度要点

第4章 随机信号与线性系统

第 4

章 随机信号与线性系统

陈明

东南大学移动通信国家重点实验室

chenming@seu.edu.cn

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第4章 随机信号与线性系统

随机过程和随机信号的概念

随机过程 随机信号 当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。

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第4章 随机信号与线性系统

4.1 随机信号的功率谱密度

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第4章 随机信号与线性系统

确定性信号的频谱

信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier变换可以反映其频谱特性。

s(t)=?(f)=s?￥ancos2pnt￥-?n=0òs(t)ej2pftdt- 4 -

第4章 随机信号与线性系统

Fourier分解的物理意义

s(t)分解

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各种频率成份的振动

第4章 随机信号与线性系统

频谱与光谱进行对比

白光束红橙黄绿青蓝紫光谱三棱镜s(t)分解频谱

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第4章 随机信号与线性系统

如何反应随机信号的频谱？

由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。

4.1.1 连续时间随机信号的功率谱密度

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若X(t)是一个定义于?上的连续时间随机过程，则[-T,T]上的平均功率为

PT

=1T2Tò-TE{X(t)2}dt

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第4章 随机信号与线性系统

利用Fourier变换的Parseval等式，可以得到X(t)在(-ゥ,)上的平均功率为

P=limPTT=蝌-?￥殪镲1镲犏limE睚犏镲T2T犏镲镲腩TT2X(t)e-j2pftdtdf

从上式可以看出，下式所定义的关于频率

f的函数

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禳镲1镲SX(f)=limE睚镲T2T镲镲铪ò-TT2X(t)e-j2pftdt

反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数SX(f)为连续时间随机过程X(t)的功率谱密度。

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第4章 随机信号与线性系统

功率谱密度的性质

性质4.1 设X(t)是定义于?上的连续时间随机过程，SX(f)是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在?上的积分为信号总功率，

也即P=ò-?￥SX(f)df。

② SX(f)≥0,也即SX(f)是一个非负实函数。 ③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数

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第4章 随机信号与线性系统

图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数

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对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理

定理4.1(Wiener-Khinchin定理) 若X(t)为?上的宽平稳过程，且其自相关函数

RX(t)满足ò￥-?tR(t)dt

j2pft

SX(f)=ò-?RX(t)e-dt

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第4章 随机信号与线性系统

证明 由功率谱密度的定义式知

SX(f)=limT=limT=limTT=lim

1轾T轾T-j2pft1-j2pft2E犏X(t)edtX(t)edt2犏112蝌-T-T2T臌臌T1EòX(t1)X*(t2)e-j2pf(t1-t2)dt1dt2-T2T1TT*-j2pf(t1-t2)E{X(t)X(t)}edt1dt212-T-T2T蝌1TT-j2pf(t1-t2)R(t-t)edt1dt2X12-T-T2T蝌{{}}如图4.2所示，对积分区域作变换

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第4章 随机信号与线性系统

t=t1-t2,t2=s，则

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第4章 随机信号与线性系统

1SX(f)=limT2T

dtT-T

ds+R(t)e蝌02T-j2pft{蝌R0-2TX(t)e-j2pftdtT-t-Tds}=j2pftTlim12T{蝌0-2TRX(t)e-(2T+t)dt+=戽镲镲睚2Tj2pft镲?Tlim12T镲-2TRX(t)e-铪ò??桫1-|t|鳇÷2T÷÷÷dt=ò￥-?RX(t)e-j2pftdt

于是定理得证。

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2Tft0R(t)e-j2p(2T-t)dt}第4章 随机信号与线性系统

对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier变换，因此由Fourier逆变换公式有

RX(t)=ò-?￥SX(f)ej2pftdf

所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为

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RX(0)=E{X(t)}=ò-?2￥SX(f)df

若X(t)为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即RX(t)=RX(-t)，则

SX(f)=ò-?￥RX(t)cos2pftdt

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例4.1 试求Poisson随机电报过程的功率谱密度。

解 由习题2B-73可知，Poisson随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为

RX(t)=e-2a|t|，其中a是信号平均传输速率。

由Wiener-Khinchin定理知其功率谱密度为

SX(f)=蝌-?0e2at-j2pftedt+1￥0e-2at-j2pftedt4a=+=2a-j2pf2a+j2pf4a2+4p2f21- 19 -

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例4.2 设X(t)是定义在?上的实随机过程，其功率谱密度为SX(f)。则X(t)的解析过程

(Z(t)=X(t)+jX(t)的功率谱密度为

SZ(f)=4SX(f)U(f)

其中U(f)为Heavyside函数。

Z(t)的自相解 由习题3B-39和例3.29知，

关函数为

((t)RZ(t)=2轾R(t)+jR XX臌X- 20 -

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所以关于随机信号带宽的定义就有很多种，这里给出几个常用的带宽定义。虽然这些定义有所差别，但是其基本思想是给出一个带宽，在该带宽上分布随机信号的主要功率。

设宽平稳随机信号X(t)的功率谱密度为

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第4章 随机信号与线性系统

SX(f)，自相关函数为RX(t)，则有如下几种带

宽形式：

① 若SX(f)在f≥0时的支集为(f1,f2)，也即在区间(f1,f2)外SX(f)为零，则称f1-f2为随机信号X(t)的绝对带宽。

② 设SX(f)在f≥0时在f0取得最大值，则称

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Beq=ò0￥SX(f)dfSX(f0)

为随机信号X(t)的等效噪声带宽，如图4.4所示。

*t=inf{t>0RX(t)=0}，则称③ 若

t*为随机信号

X(t)的去相关时间，称

Beff=1/t*为随机信号X(t)的有效带宽。

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第4章 随机信号与线性系统

④ 设SX(f)在f0取得最大值，若f0?(f1,f2)且

SX(f1)=SX(f2)=SX(f0)/2

则称f2-f1为随机信号X(t)的 3dB带宽，如图4.5所示。

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