昆明理工大学概率论课后习题答案1-8章 习题解答

概率论与数理统计 习题解答 9 10 180 190 1450 85 89 673 32400 36100 218500 7225 7921 47225 15300 16910 101570 ?

Sxx?218500?Sxy1?14502?8250 101?101570??1450?673?3985

10于是,可得b,a的估计值为

Sxy??b??0.48303??Sxx ?nn1111?a???xi?(?yi)b??673??1450?0.48303??2.73935?ni?1ni?11010?从而回归方程为

???2.73935?0.48303yx.

6.解:

(1)画出散点图略.

?x. ??a??b(2)求线性回归方程y现在n?7,为求线性回归方程,所需计算列表如下: 序号 1 2 3 4 5 6 7 xi 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 3.8 yi 15 18 19 21 22.6 23.8 26 145.4 xi2 0.01 0.09 0.16 0.3025 0.49 0.64 0.9025 2.595 yi2 225 324 361 441 510.76 566.44 676 3104.2 xiyi 1.5 5.4 7.6 11.55 15.82 19.04 24.7 85.61 ?

Sxx?2.595?

1?3.82?0.5321 746

概率论与数理统计 习题解答

1Sxy?85.61??3.8?145.4?6.6786

7于是,可得b,a的估计值为

???Sxy?6.6786?12.5503b??Sxx0.5321 ?nn1111?a???xi?(?yi)b??145.4??3.8?12.55?13.9584?ni?1ni?177?从而回归方程为

??13.9584?12.5503yx.

Se1n12?2S) ???(3) ?的无偏估计:??(y?y)?(Syy?b?iixxn?2n?2i?1n?222将n?7,Sxx?2.595?11?3.82?0.5321,Syy?3104.2??145.42?84.03, 771??12.5503代入得, ??2?(84.03?12.55032?0.5321)?0.0432 b5(4)检验假设H0:b?0,H1:b?0.

t??b??Sxx??b??12.55030.04320.5321?44.0462,t0.025(5)?2.5706

因为t?Sxx?44.0462?t0.025(5)?2.5706,所以拒绝原假设H0:b?0,即认为

回归效果显著.

(5)b的置信水平为0.95的置信区间:

??t(n?2)(b?2??Sxx)?(12.5503?2.5706?0.04320.05321)?(11.82,13.28).

? ?(0.50)?a??0.50b(6)当x?0.50,?(0.50)?a?0.50b,其点估计为?t???(a?0.50b)??0.50ba??1(0.50?x)?nSxx2~t(n?2),则所求的置信区间为:

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21(0.50?x)??t(n?2)???0.50b?(a?) ?2nSxx1(0.50?0.5429)2=(13.9584?0.50?12.5503?2.5706?0.0432?)

70.5321=(20.03,20.44)

(7)当x?0.50,Y0的置信水平为0.95的预测区间为:

1(0.50?x)2?0?t?(n?2)??1??(y)

2nSxx?0?13.9584?12.5503?0.50?20.23 而y1(0.50?x)21(0.50?0.5429)2?1??t?(n?2)??2.5706?0.0432?1???0.572nSxx70.5321得预测区间为(19.66,20.80).

7. 解: (1) 画出散点图略.作散点图所示.

看起来呈指数关系,于是令Z?lnY.

记Zi?lnYi,并作(xi,Zi)的散点图如图 所示,可见各点基本上处于一条直线上.

设 Z?a?bx??,?~N(0,?2)

??0.272,a???3.848 经计算可得 b???3.848?0.272x 从而有 z将上述结果代回原变量,得曲线回归方程为

??0.0213ye0.272x.

又可求得

?bt????(xi?1ni?x)2?18.3537?t0.025(5)?2.5706

由此可见,线性回归效果是高度显著的.

???3.848?0.272x (2) 解:根据(1)知回归方程为z

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把x?30C代入回归直线方程,得

??0??3.848?0.272?30?4.312 z2SSe1n1xy???i)2=?=(yi?y(Syy?) ?n?2n?2i?1n?2Sxx2=

0.1622=0.03244 5??0.1801 ?1(xi?x)2?1??t?2(n?2)?

nSxx1(30?27.4286)2=2.5706?0.18011??

77?(773.4286?27.42862)=0.5046

?因此, 红铃虫产卵期温度x?30C时, 产卵数lnY0的预测区间(??0.05)为

1(xi?x)2?1???0?t?2(n?2)?(z)

nSxx,4.312?0.5046) =(4.312?0.5046,4.8166) =(3.8074所以,红铃虫产卵期温度x?30C时, 产卵数Y0的置信水平为0.95的预测区间为

?(45,124).

8.解:设Y?b0?b1x1?b2x2??,?~N(0,?),因为

2?116??118X??.......??121?39??24?????b0???38?24.5??,Y??,B??b1?. ...?...??b?????2????49?26??代入经计算可得,

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???b?18.1078??0????1??????B?b1?(XX)XY??0.2218? ??0.0556????b?2????于是得到回归方程为

??18.1078?0.2218x1?0.0556x2 y9.解: 分别以?1,?2,?3表示三种售价下的五个商场的平均日销售量,检验假设

H0:?1??2??3 H1:?1,?2,?3不全相等,其中??0.05.

计算方差分析表得如下:

表8-4 方差分析表

方差来源 因素A 误 差 总 和 平方和 23.33 34 57.33 自由度 2 12 14 均方 11.665 2.833 F值 4.12 对给定的

??0.05，查表得

F0.05?(2,12)?3.89，因为

F?4.12?F0.05(2,12)?3.89，所以拒绝H0;

若取??0.01，查表得F0.01?(2,12)?6.93，因为F?4.12?F0.01(2,12)?6.93，所以应接受H0.

讨论:由所给的数据,在??0.05的显著水平下,我们有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同;从所给的数据看,低价位的销量要高于高价位的销量.但对于??0.01,我们没有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同.我们由此看到,?的大小体现了保护原假设的程度.

10.解:在商业活动中,预测某商品在某地区的投放量对于厂家是十分重要的.若投放量远远大于销量,则造成产品积压以及运输费用的增加等,给厂方造成损失.若投放量过少.,同样会影响厂家的经济效益.因此,对商品的投放量作科学的分析是至关重要的. (1)首先建立回归模型:

设Y?b0?b1x1?b2x2??,?~N(0,?),因为

2 50

概率论与数理统计 习题解答

第一章 思 考 题

1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？

2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？

３．圆周率??3.1415926??是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个?的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了?的608位小数, 得到了下表:

数字0123456789出现次数60626768645662445867

你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为?是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？

５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？

６．条件概率是否是概率？为什么？

习 题

1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次

答：样本空间由如下4个样本点组成??{(正,正，)正(反,，)反(正,，反)(反, )（2）将两枚骰子抛掷一次

答：样本空间由如下36个样本点组成??{(i,j)i,j?1,2,3,4,5, 6} （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出

答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .??{(x,y)x?0,y?0} 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC;

(4) “三人中恰好有一人中靶”： ABC?ABC?ABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： A?B?C;

1

概率论与数理统计 习题解答

(6)“三人中至少有一人未中靶”： A?B?C;或ABC; (7)“三人中恰有两人中靶”： ABC?ABC?ABC; (8)“三人中至少两人中靶”： AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶”： ABC;

(10)“三人中至多一人中靶”： ABC?ABC?ABC?ABC; (11)“三人中至多两人中靶”： ABC;或A?B?C; 3 .设A,B是两随机事件，化简事件

(1)(A?B)(A?B) (2) (A?B)(A?B) 解:(1)(A?B)(A?B)?AB?AB?B?B,

(2) (A?B)(A?B)?AB?AB?B?(A?A??)B?B.

4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.

5P10解：P?5?0.3024.

105．n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

解法一：试验可模拟为m个红球，n?m个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则总数为C，而全为白球的取法有Cknkn?m种，故所求概率为1?kCn?mkCn。

解法二：令Ai—第i人中奖，i?1,2,?.k,B—无一人中奖，则B?A1A2?Ak，注意到

A1，A2，?，AkP(B)?P(A1)P(A2不

)P(独

A3立也

Ak不互

)斥：由乘法公式

A1A1A2)?P(A1?Ak?1n?m(n?m?1)(n?m?2)(n?m?k?1)????nn?1n?2n?k?1Cnk?mCnk?m同除k!,故所求概率为1?k

CnkCn.

6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）

的概率是多少？

12C5C8?C52解：P(A)? 4C107．在??1,1?上任取一点X，求该点到原点的距离不超过

1的概率. 5 2

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1],所求事件解：此为几何概率问题：??[?1，111占有区间 [?，]，从而所求概率为P?5?1.

55252?8．在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个

三角形的概率。

解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，

a?0?x??2?a?所求事件满足： ?0?y?

2??x?y?(a?x?y)??从而所求概率＝

S?CDE1?. S?OAB49． 从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于

1的概率。 411:XY?,故所求概率 44S(?)?S(D)1?S(D)P??,

S(?)111)dx?1?(1?ln4),故所求概率为4x4解：设所取两数为X,Y,样本空间占有区域?,两数之积小于

1而S(D)?1?(1?41(1?ln4)。 410．设A、B为两个事件，P(A)?0.9，P(AB)?0.36，求P(AB)。 解：P(AB)?P(A)?P(AB)?0.9?0.36?0.54;

11．设A、B为两个事件，P(B)?0.7，P(AB)?0.3，求P(A?B). 解：P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?[P(B)?P(AB)]?1?[0.7?0.3]?0.6. 12．假设P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，若A、B互不相容，求P(B)；若A、

3

概率论与数理统计 习题解答

B相互独立，求P(B)。

解：若A、B互不相容，P(B)?P(A?B)?P(A)?0.?70.?4；0.

若A、B相互独立，则由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(可B)得P(B)=0.5.

13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.

解：设A?{命中仓库}，则A?{没有命中仓库}，又设Ai?{命中第i仓库}(i?1,2,3)则P(A1)?0.01,P(A2)?0.02,P(A3)?0.03， 根据题意A?A1?A2?A3（其中A1,A2A3两两互不相容） 故P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06 所以P(A)?1?P(A)?1?0.06?0.94 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94

14．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少

订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比

解： 设A?{用户订有日报}，B={用户订有晚报}，则A?B?{用户至少订有日报和晚报一种}，AB?{用户既订日报又订晚报}，已知

P(A)?0.5,P(B)?0.65,P(A?B)?0.85，所以

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.5?0.65?0.85?0.3

即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%

15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解：设A?{第一次取得次品}，B?{第二次取得正品}，则

AB?{第二次才取得正品}，又因为P(A)?1090,P(BA)?，则 10099P(AB)?P(A)P(BA)?1090?0.0909

100994

16.设随机变量A、B、C两两独立，A与B互不相容. 已知P(B)?2P(C)?0

概率论与数理统计 习题解答

5且P(B?C)?，求P(A?B).

8解：依题意P(AB)?0且P(AB)?P(A)P(B)，因此有P(A)?0. 又因

5P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?3P(C)?2[P(C)]2?，解方程

82[P(C)]2?3P(C)?5?0 8151P(C)?，[P(C)?舍去]?P(B)?，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(B)?0.5.

44217．设A是小概率事件，即P(A)??是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A迟早总会发生（以概率1发生）.

,2n,，∵解：设事件Ai—第i次试验中A出现(i?1?P(Ai)??,P(Ai)?1??，(i?1,2,?,n)，∴n次试验中，至少出现A一次的概率

为

P(A1?A2???An)?1?P(A1?A2???An)?1?P(A1A2?An)

?1?P(A1)?P(A2)???P(An)（独立性） ?1?(1??)n ∴limP(A1?A2???An)?1，证毕.

n??18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是

111，，，534求此密码被译出的概率。

解:设A，B，C分别表示{第一、二、三人译出密码}，D表示{密码被译出}，则

P(D)?P(A?B?C)?1?P?A?B?C?

?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C) ?1?..4233?.

534519．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i的可靠度为pi，各元件正常工作或失效相互独立

5

概率论与数理统计 习题解答

思考题

1.答:

方差分析与回归分析都是考察所研究的某一指标与试验因素(条件)的关系的.方差分析考察的是因素对指标的影响是否显著,回归分析考察的是因素的取值与指标的取值存在一种什么样的相关关系.

因素可以分为两大类,一类是属性的,一类是数量的.属性的因素一般无数量大小可言,只是性质的不同,如种子的品种,机器的型号,材料的品质,加工的工艺等等.数量的因素可以在一定范围内取值,如人的身高,体重,试验的温度,产量,产品的合格率等等.也有本来是数量而属性化的,如施肥量可以是某个数量,但有时将它局限在某些范围内而分为高,中,低几个层次,就属性化了.

当所考虑问题的因素是属性的时,问题属于方差分析的范畴;当所考虑的因素是数量时,问题属于回归分析的范畴.

2.答:

方差分析的种类很多.在不同类型的方差分析中,因素可以增加或减少,数据结构可以发生变化.但是以下三个重要的假定是不变的.

(1)正态性假定 有了正态性假定后,数据xij认为取自N(?,?2),由此求得的各种离差平方和(如比值

SE?2~?2分布),从而定义F分布函数.没有正态假定,就没有?2分布,也

没有F分布与统计推断.

(2)方差齐性假定 假定数据xij来自方差为?的正态总体,只有这样才能在相同的条件(?相等)下来分析问题.考察指标的变化,才可以建立统计假设H0,才有方差分析检验.

(3)线性假定 线性假定指数据xij的取得仅通过线性运算,这样才可以把数据xij当线性模型处理,也才可以施行方差分析方法.

在大数定律和中心极限定理下,正态性假设是易于确立的.数据的线性假设也符合实际,易于成立.但是,方差齐性假设不易确立.例如对于二项分布来说,其样本的方差

22S2?p(1?p)随p而变化,对于不同的数据,很难保持方差齐性,所以常常用数据变化来n实现.

在方差分析中,三个假定缺一不可,否则方差分析就失去了依据. 3.答:

进行回归分析,对参数的检验对象要求必须满足以下三个基本条件:

41

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(1)正态性 被检验的对象或者因变量必须是服从正态分布N(?,?2)的随机变量. (2)方差齐性 被检验的各个总体的方差,应该是相等的.

(3)独立性 对被检验的各对观察数据而言,从概率意义上理解为是独立取得的. 处理实际问题时,往往不能事先预知这三条是否满足.像方差分析一样,正态性可由大数定律和中心极限定理来确定,方差齐性的检验用F检验来进行,而独立性一般凭实际经验判断.一般有一个近似结论就可以进行回归分析了. 4.答:

以一元线性回归为例.其模型为

yi?a?bx??i,?i~N(0,?2)i?1,2,...,,n

最小二乘估计是指对n对试验数值(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),作离差平方和

Q(a,b)???yi?(a?bxi)?

2i?1n?,则y?)?minQ(a,b)的a?x ?和b?,b??a??b利用微积分中的极值原理,求出Q(a为所求线性回归方程.

最大似然估计是由,?i~N(0,?2)i?1,2,...,,n,则yi~N(a?bxi,?2),得样本的极大似然函数

L?(1?2?n)exp[?n12?2?(yi?1ni?a?bxi)2]

要使L取得最大值,则应使得方法,求得使

?(yi?1i?a?bxi)2为最小.用与最小二乘估计中同样的极值

Q(a,b)???yi?(a?bxi)?

2i?1n?,得线性回归方程y?x. ?和b??a??b最小的a 由于两种方法讨论的都是Q(a,b)?2?,故最小?和b??,而且由此求得ay?(a?bx)?iii?1n二乘估计与最大似然估计的结果是相同的.

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概率论与数理统计 习题解答

5.答:

?x已经确定,并经检验确认回归显著,则对给定的x,y,置信??a??b当线性回归方程y00度为1??的预测区间为:

1(xi?x)2?0?t?2(n?2)??1??(y)

nSxx其中 Sxx??(xi?12ni?x)2

由此可知,影响预测精度的主要因素为: (1)?.一般, ?越小,精度越高.

(2)n.n越大,精度越高,所以应尽量扩大样本容量.

(3)自变量的取值xi.xi应尽量避免过于集中,但预测点x0离x越近时,精度越高.

2习题

1.解: 分别以?1,?2,?3表示三种内容的广告宣传的某种大型机械平均销售量,检验假设H0:?1??2??3 H1:?1,?2,?3不全相等,其中??0.05. 计算方差分析表得如下:

表8-1 方差分析表

方差来源 因素A 误 差 总 和 对

给

定

平方和 2668.17 1098.5 3766.67 的

自由度 2 9 11 均方 1334.09 122.06 F值 10.93 ??0.05，查表得

F0.05?(2,9)?4.26，因为

F?10.93?F0.05(2,9)?4.26，所以拒绝H0，即认为广告宣传内容的不同对某种大型

机械销售量的影响是有显著的.

2.解: 分别以?A,?B,?C表示三个厂家生产的电池的平均寿命,检验假设

H0:?A??B??C H1:?A,?B,?C不全相等,其中??0.05.

计算方差分析表得如下:

表8-2 方差分析表

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概率论与数理统计 习题解答 方差来源 因素A 误 差 总 和 平方和 615.6 216.4 832 自由度 2 12 14 均方 205.2 18.03 F值 11.38 对给定的

??0.05，查表得

F0.05?(2,12)?3.89，因为

F?11.38?F0.05(2,12)?3.89，所以拒绝H0，即认为不同厂家生产的电池的寿命是有

显著差异的.

由均值差?j??k=?j??k的置信水平为1??的置信区间为:

[X?j?X?k?t?(n?s)SE(211?)] njnk,

t0.025(n?s)?t0.025(12)?2.1788x?3?222?44.4, 5x?1?213?42.65,

x?2?150?305,

t0.025(12)SE(11216.411?)?2.1788(?)?5.8517.故?A??B,?A??C,及njnk1255?B??C的置信水平为0.95的置信区间分别为

(42.6?30?5.8517)?(6.7483,18.4517), (42.6?30?5.8517)?(?7.6517,4.0517), (30?44.4?5.8517)?(?20.2517,?8.5483).

3. 解:

表8-3 直观分析计算数据表

列号 水平 试验号 1 2 3 4

A 1 B 2 C 3 4 转化率 yi(%) 1.72 1.82 1.80 1.92 1(460) 1 1 2(490) 1(250) 2(270) 3(300) 1 1(甲) 2(乙) 3(丙) 2 44

概率论与数理统计 习题解答 5 6 7 8 9 2 2 3(520) 3 3 5.34 5.73 5.00 1.780 1.910 1.667 0.243 2 3 1 2 3 5.23 5.25 5.59 1.743 1.750 1.863 0.12 3 1 3 1 2 5.30 5.55 5.22 1.767 1.850 1.740 0.11 1.83 1.98 1.59 1.60 1.80 k1j k2j ?yi?19i?16.07 y?1.786 k3j k1j k2j k3j Rj (1)由上述表中的计算按极差Rj的大小选取各因子的重要性,其顺序是:A?B?C; (2)因为试验指标越大越好,因此按max(k1j,k2j,k3j)原则选取各因子的水平,得最优搭配方案:A2B3C2.

4. 解:最好的生产工艺条件是: A2B2D1C1E1

5..解: 现在n?10,为求线性回归方程,所需计算列表如下: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8

xi 100 110 120 130 140 150 160 170 yi 45 51 54 61 66 70 74 78 xi2 10000 12100 14400 16900 19600 22500 25600 28900 45

yi2 2025 2601 2916 3721 4356 4900 5476 6084 xiyi 4500 5610 6480 7930 9240 10500 11840 13260

概率论与数理统计 习题解答

（3）E(Z)=E(X?Y)2?E(X2)?E(Y2)?2E(XY)

?1?0.4?4?0.2?9?0.4?1?0.3?1?0.3?2E(XY)

?5.4?2E(XY),

XY -1 -2 -3 0 1 2 3 XY的可能取值为-1，-2，-3，0，

1，2，3.且有如表的概率分布：

pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 E(XY)=-1×0.2+（-2）×0.1

+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2 所以E(Z)=5 解法2 E(Z)???(Xi?Yj)2

ij=(1?1)2?0.2?(2?1)2)?0.1?(3?1)2?0?(1?0)2?0.1?(2?0)2?0?(3?0)2?0.3 +(1?1)2?0.1?(2?1)2?0.1?(3?1)2?0.1?5

8 解：令Z1?max(X,Y),则Z1的取值为0，1，

P{Z1?0}?P{max(X,Y)?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?P{Z1?1}?1?P{Z1?0}?3, 41, 4故：E(Z1)?E(max(X,Y))?0?1331?1??,类似可求得E(min(X,Y))?. 4444?x23??012ydy?4x,x?(0,1),9解 fX(x)??

?其它.?0,?122??y12ydx?12y(1?y),y?(0,1), fY(y)???其它.?0,所以E(X)?4. ?005113E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?

0051xfX(x)dx??4x4dx?1 31

概率论与数理统计 习题解答

1x1x12E(XY)??1000?xyf(x,y)dydx??y000?xy12ydydx?102

E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy??4x5dx??12y4(1?y)dy

01=

2216??. 3515??1?e??x,x?0, 10解: X,Y的分布函数为F(x)??则Z?max(X,Y)的分布函数

??0,x?0.Fz(z)?P{Z?z}?P{max(X,Y)?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?F2(z)??2?(e??z?e?2?z),z?0?(z)??于是Z的密度函数为fZ(z)?FZ

?z?0?0,从而E(Z)??0??2?(e??z?e?2?z)zdz?3 2?11解：设随机变量X表示取得合格品以前已取出的次品数，则X的可能取值为0，1，2，3；下求取这些可能值的概率，易知

939?0.75,P(X?1)???0.204,121211

3293219P(X?2)????0.041,P(X?3)?????0.0051211101211109P(X?0)?由此可得：

EX?0?0.75?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301，

EX2?0?0.75?1?0.204?4?0.041?9?0.005?0.413，

DX?EX2?(EX)2?0.413?0.3012?0.322,DX?0.322?0.568.

12 解 E(X)=

?kqk?1?k?1?p?p(1?2q?3q2??)(q?1?p)

???qp123? =p(q?q?q??)?=p?=??1?q?(1?q)2p. ?? E(X)=

2?kk?1?2qk?1?p?p(?kqk)?k?1?(q?1?p)

32

概率论与数理统计 习题解答

???q1 =p(q?kqk?1)?p[q(?qk)?]??p[q()?]?=p??(1?q)2?? 1?qk?1k?1????(1?q)2?2(1?q)qp(1?q)1?q?p??2 其中“′”表示对q的形式导数. 43(1?q)(1?q)p所以D(X)?q 2p13 解因为P{X?1}?P{X?2},故有：

?1!e????22!e??，故??2，所以：

E(X)?2,D(X)?2.

14证明：因为E{(X?c)2}?D(X)?E(X2)?2cE(X)?c2?E(X2)?E2(X) =c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0. 所以D(X)?E{(X?c)2},对于c?E(X).

?15解 E(X)????0???x22?x22?2???ex2?dx????0???x22?2xde

=-xe?2?2??+0???x2??012??32e2?2?dx?2?????0??12???x22?2edx

?2????2????2?x22?2edx??2?

x22?2?E(X)????02?x2??x?x22?2?e?dx????0?x22?2??xde2?

=?xe

2?2??0?+2??0??xe?dx??2????02???x22?2ed(?x22?2)

33

概率论与数理统计 习题解答

2??2=?2?e2?0?2?.

2?x216解：由正态分布与均匀分布的方差知

(b?a)2164E(X)?0,D(X)?4,EY?2,D(Y)???,

12123由于X与Y相互独立，因此2X与3Y也相互独立，从而

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?416?,33D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?4D(X)?9D(Y)?28,

41E(X?2Y)2?2E(X2)?2E(X)E(Y)?4E(Y2)?8?4(?4)?29

3317 解 (1)记X?5?Xi?1i5i?X1?X2?X3?X4?X5,

则E(X)?5?E(X)?200?240?180?260?320?1200

i?1D(X)??D(Xi)?225?240?225?265?270?1225

i?1即X～N(1200,352). (2)X??Xi?15i～N(1200,35).所以

2?X?1200T?1200??T?1200?P{X?T}?P????????0.99?(查表)?(2.33)3535???35?

T?1200?2.33,?T?35?2.33?1200?1282(kg)35a?b?EX??3,???b?4,2??a?b?6,,????18解(1)由已知有:?所以: 22a?2,??DX?(b?a)?1?(b?a)?4??123? 34

概率论与数理统计 习题解答

?1?,2?x?4, f(x)??2

??0, (2) P{X?2}?0 (3) P{1?X?3}?1. 219解:因为Y?n?X,所以X与Y成负线性关系,从而?XY??1;

或直接计算: ?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y),D(Y)?D(n?X)?D(X),

Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(n?X?n?E(X))]??E(X?E(X))2??D(X)

故?XY??1.

20 解: D(2X?Y)?4DX?DY?2Cov(2X,Y)?4DX?DY?4Cov(X,Y)

?4DX?DY?4?XYDXDY?4?25?16?4?0.4?25?16?148, D(X?2Y)?DX?4DY?4Cov(X,Y)?25?4?16?4?0.4?25?16?57

21证明：显然E(XY)?1?1?P(AB)?P(AB) E(X)?P(A),E(Y)?P(B), 而由?XY?0

?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?0,?E(XY)?E(X)E(Y)?0,?E(XY)?E(X)E(Y),?P(AB)?P(A)P(B)

即X和Y相互独立. 即：任意两个服从0—1分布的随机变量若不相关，必相互独立.

?x1dy?2x,0?x?1,?22解 fX(x)????x

?其它.?0,

35

概率论与数理统计 习题解答

?1??y1dx?1?y,?1?y?1, fY(y)??

?0,其它.?故E(X)??012x2dx?12,E(Y)??(1?y)ydy（关于y奇）=0

?13E(XY)??1xxdxydy(关于y奇)?0 0?x?故Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.

?1?,0???023证明:因为X?cos?,Y?sin?,?～U(0,2?),即f(?)??2?,

?其它?0,所以 E(XY)?12??02?cos?sin?d??0,

2?1E(X)?2??02?1cos?d??0,E(Y)?2?2?0sin?d??0,

故Cov(X,Y)?0,从而?XY?0,但X者并不独立.

24解(X,Y)的密度为f(x,y)???Y2?1,即表示X,Y有依赖关系,故两

?1,?0,0?x,y?1,于是

其它.，

E(XY)??E(Y)??1010?011xydxdy?14E(X)??10?01xdxdy?12，

?0ydxdy?1， 2所以：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.，又因为D(X)?0,D(Y)?0 故：?XY?0．

注：其实由于区域D为矩形域，且(X,Y)服从D上的均匀分布,从而X与Y独立，故X与Y不相关，即?XY?0．

36

概率论与数理统计 习题解答

25 解 E(Z1)?(???)?,E(Z2)?(???)?,

E(Z1Z2)?E(?2X2??2Y2)，

由D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2)?D(X)?[E(X)]2??2??2 同理E(Y2)??2??2,故E(Z1Z2)?(?2??2)(?2??2) 因X,Y相互独立，故D(Z1)??2D(X)??2D(Y)?(?2??2)?2 同理D(Z2)??2D(X)??2D(Y)?(?2??2)?2 故

?ZZ?12E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)D(Z1)D(Z2)(?2??2)(?2??2)?(?2??2)?2?2??2. ??22222(???)????26证明 对?t?R,有E(V?tW)2?0,即t2E(W2)?2tE(VW)?E(V2)?0, 这是以E(W2),E(VW),E(V2)为系数的二次曲线问题q(t)?at2?bt?c?0

???[2E(VW)]2?4E(W2)E(V2)=4[E2(VW)?E(W2)E(V2)]?0,

即[E2(VW)?E(W2)E(V2)]

}?1?P{X?5200}?P{X?9400} 27 解： P{5200?X?9400?1?P{(X?5200)?(P?9400)}?1?P?X?7300?2100?(由切比雪夫不等式)

?1?700221002?1?18?. 99???e??x,x?0,28 解 X1,X2,?X16独立同分布于指数分布f(x)??则

??0,x?0. E(Xi)? ??0??xe??xdx????0xde??x

?xe??x?0?????xedx0??1?37

e??x?0?1?,

概率论与数理统计 习题解答

??2?x2e??xdx??x2de??x E(Xi)?00?? ??xe2??x?0?2??0xe??xdx???1?12?xe??x?0???02?e??xdx?2?2,

D(Xi)?E(Xi2)?[E(Xi)]2?已知E(Xi)?2?2?2?2 i?1,2,?,16.

1?16?16??i?1Xi?16001920?1600??由定理4 P{?Xi?1920}?1?P???

40016?100i?1????=1-?(0.8)（查表）≈1-0.7881=0.2119

29 解 设第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k?1,2,?,100),则Xk为独立同分布系列,且??E(Xk)?2,?2??100?D(Xi)?12?1002,

?D(Xk)?1.69,命中目标的总次数X??Xk,由独

k?1100100立同分布的中心极限定理 k?1?Xk?n?n?(近似)～N(0,1),因此,所求概率为

?180?100?2X?100?2220?100?2?P{180?X?220}?P????100?1.69100?1.69100?1.69????(202020)??(?)?2?()?1?0.8759 131313

30 解 设每部分的长度是一个随机变量Xk(k?1,2,?,10),且X1,?,X10相互独立同分布, X?k?1?Xk为总长度,又

10n?10,??E(Xk)?2,?2?D(Xk)?0.052,n??0.0510,由独立同分布

的中心极限定理 k?1?Xk?n?n?(近似)～N(0,1),因此,产品合格的概率为

38

10

概率论与数理统计 习题解答

?X?20??X?200.1?P{X?20?0.1}?P???0.6325??P???0.05100.0510??0.0510??2?(0.6325)?1?0.4714

100

31 解 由独立同分布的中心极限定理 P{?Xi?90}?

i?1????10090?X??i?1i??1??(?10)?0.7422

1????100240???Xi??i?1??,p?0.017，保险公司亏本当且 32 解：设老人死亡数为X,X～b(n,p),n?10000仅当

,即X?200， 2000X?40?10000于是，由棣莫佛—拉普拉斯定理X?N(np,npq)

故公司亏本的概率：P{X?200}?1??(200?npnp(1?P) )?1??(2.321)?0.01017．

33 解 （1）X：表损坏数，则X～b(100,0.1),由定理6

??X?1015?10P{X?15}?P?????(3.5)?0.9525

100?0.1?0.9??100?0.1?0.9（2）X：表损坏数，则X～b(n,0.1),设N为0.2n取整，由定理6

?X?0.1nN?0.1n??N?0.1n?P{X?N}?P??????????0.95

0.3n??0.3n?0.3n?查表得?(1.65)?0.95??(?1.65)?0.05

?n??N?0.1n??0.2n?0.1n???0.95??(1.65) n?25, ?????????????????0.3n??0.3n??3?34解 （1）由定理4 P{4.9?X?5.1}?P{4.9?80?

39

?80i?1Xi?5.1?80}

概率论与数理统计 习题解答

???8=P??80?0.3??=???80i?1Xi?80?0.580?0.3????

80?0.3??88??8???8???????=2????1?2?(1.633)?1（查表）

24??24???24??2?0.9484?1?0.8968

（2） E(Xi?Yi)?0,D(Xi?Yi)?2?0.3,

??8?P{?0.1?X?Y?0.1}?P??80?2?0.3???2??2??2???????????2??????????1

3??3???3??????

80?2?0.380?2?0.3??i?180(Xi?Yi)8=2?(1.155)?1(查表)?2?0.8749?1?0.7498. 35解 P{X???1}?P{?1?X???1}

???n?P???20n??nX?n?i?1i?20n?n??(由定理4)20n???n???n?n????????2???????20??20??20??1?0.95.???????n???0.975?(查表)??(1.96)?n?(1.96?20)2?1536???.64?1537. ?20???

参考资料：

1 概率论与数理统计 ，第三版，浙江大学，盛骤等编.高等教育出版社.2001年12

月.

2 概率论讲义，第二版，沈恒范编，高等教育出版社.1987年3月.

3 概率论，同济大学数学教研室主编，第一版，高等教育出版社.1993年3月. 4 概率论与数理统计典型题，龚冬宝，王宁编，西安交通大学出版社，2000年6

月.

第八章

40

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