i1=il1=- 4.1176A i2=il2=-1.1765A
i=il2- il1=-1.1765-（- 4.1176）=2.9411A
受控源的功率为
P=6ii2=6×2.9411×（-1.1765）=-20.7612W
3-9 图示电路中，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=1Ω，R4=11Ω，R5=1Ω，R6=5Ω， US2=20V，US3=4V，US5=1V，试用回路法求电流I3及I4。
解 选网孔作为独立回路，如图所示，回路电流方程为
（R1+R2+R4）Il1-R2Il2-R4Il3=-US2
-R2Il1+（R2+R5+R3）Il2-R5Il3=US2+US3-US5 Il3=-0.25U2 U2=R2(Il1-Il2)
代入已知条件，整理得
0.25U2 R 6
US5 I I4 R4 l3+ - I3 + R5 U2 R2 R3 R1 Il1 - + Il2 - US3 US2
+ -
题3-9图
26Il1-5Il2-11Il3=-20 -5Il1+7Il2-Il3=23 Il3=-1.25Il1+1.25Il2
解方程得
Il1=1.9984A， Il2=5.3033A， Il3=4.1311A 则
I3=Il2=5.3033A
I4=Il1-Il3=1.9984-4.1311=-2.1327A
3-10 图示电路中，IS4=5A，其它参数同题3-9，试用回路法求I3及受控源的功率。
0.25U2 R6
Il3 US5 IS4 + -
I3 + R5 U2 R2 R3 R1 Il1 - + Il2 - US3 US2 + - 题3-10图
解 3个独立回路如图所示，其回路电流方程为 Il1=IS4=5
R2Il1+（R2+R5+R3）Il2-R3Il3=US2+US3-US5 Il3=0.25U2 U2=-R2(Il1+Il2) 代入已知条件，整理得
Il1 =5
6.25Il1+8.25Il2 =23 Il3=-1.25（Il1+Il2） 解方程得
Il1=5A， Il2=-1A， Il3=-5A 则
I3=Il2-Il3=-1-（-5）=4A 受控源的功率为
P=0.25U2［I3R3-US3-R1(Il1+Il3)-R6Il3］
=-0.25R2(Il1+Il2)［I3R3-US3-R1(Il1+Il3)-R6Il3］ =-0.25×5(5-1)［4×1-4-10×(5-5)-5×(-5)］ =-125W
3-11 图示电路中，已知uab=5V，用回路法求uS。
1Ωa
+
i 1Ω5Vl1 + - uSil2 - 10A1Ω1Ωi l3
b
题3-11图
解 按图示选择3个独立回路，结合已知条件uab=5V，可得下列方程 il1=10
（1+1）il2-1×il3=-5+uS
1×il1-1×il2+（1+1+1）il3=-uS 1×il2=0 解之得
il1=10A， il2=0， il3=-7.5A， uS=12.5V
3-12 图示电路中，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，R4=4Ω，R5=5Ω，g=0.5S，μ=4，iS6=6A，用回路法求各支路电流，并检验功率平衡。
解 按图示选出4个独立回路，其回路电流方程为 il1=iS6=6 il2=gu1
il2
i6
R3il1-R5il2+（R3+R4+R5）il3-R4il4=0 R1il1-R4il3+（R1+R2+R4）il4=μu2 u1=R1（il1+il4） u2=-R2il4 代入已知条件，整理得
u2 iS6 u1 il4 R i2 2i R i l111 gu1 i3
R3 i i4 i l3i6 R l25il3
题3-12图
il1=6
il2=0.5（6+il4）
3×6-5il2+12il3-4il4=0
6-4il3+15il4=0 解之得
il1=6A， il2=2.7273A， il3=-0.5455A， il4=-0.5455A 则
i1=-il1-il4=-6-(-0.5455)=-5.4545A i2=-il4=-(-0.5455)= 0.5455A i3=il1+il3=6-0.5455=5.4545A i4=il4-il3=-0.5455-(-0.5455)=0
i5=il3-il2=-0.5455-2.7273=-3.2728A i6=il4-il2=-0.5455-2.7273=-3.2728A 各电阻消耗的功率之和为
PR=i12R1+i22R2+i32R3+i42R4+i52R5
=(-5.4545)2×1+0.54552 ×2+5.45452×3+0×4+(-3.2728)2×5
=173.1575W 各电源的功率为
R4 i5 μu2 PiS6=-iS6(-i1R1+i3R3)= -6×(5.4545×1+5.4545×3)
=-130.908W
P?u2=-μu2i6=μR2il4i6=4×2×(-0.5455)×(-3.2728) =14.2825W
Pgu1=-gu1(μu2-R5i5)= -gR1(il1+il4)( -μR2il4-R5i5)
=-0.5×1×(6-0.5455)×［-4×2×(-0.5455) -5×(-3.2728)］
=-56.5304W 由上述计算结果得
PR?PiS6?P?u2?Pgu1=173.1575-130.908+14.2825-56.5304 =0.001562≈0 功率平衡。
3-13 已知某电路的回路电流方程为
5il1-il2-2il3=1 -il1+6il2-3il3=0 -2il1-3il2+8il3=6 试画出对应的电路图。 3Ω - 6V + 2Ω il3 3Ω 2Ω 1Ω il2 2Ω i + l1 1V -
题3-13图
解 先画出由3个电阻构成的Y形（或T形）联接，如图所示。根据互阻均为负值，知3个回路（按网孔）的绕行方向均为顺时针或逆时针方向，这里按顺时针方向标出3个回路电流。按互阻值确定3个星形联接的电阻。再按每个回路的自阻减去互阻所得阻值补充完每一个回路的电阻。按每个回路电流方程右边的值确定每个回路的电压源的值和极性。第一个方程右边为1，说明第一个回路中有一个1V的电压源，且按选定的绕行方向看为电压升。第二个方程右边为0，说明第二个回路中无电压源。第三个方程右边为6，说明第三个回路中有一个6V的电压源，且按选定的绕行方向看为电压升。
3-14 图示电路中，已知R1=10Ω，R2=R3=5Ω，R5=8Ω，iS1 =1A， iS2=2A， iS3=3A，iS4=4A， iS5=5A，uS3=5V。以结点0为参考点，求结点电压uN1、uN2和uN3。 iS2 iS3 R3 + us3 - 3 R2 2 1
iS1 iS5
R1 R5 iS4 0 题3-14图 解 图示电路结点方程为
（
111＋）uN1－uN2=iS1－iS2 R1R2R2u1111uN1＋(＋)uN2－uN3=iS2－iS3－iS4＋S3 R2R2R3R3R3 －
－
u111uN2＋(＋)uN3=iS3－S3＋iS5 R3R3R5R3代入已知条件得
0.3uN1－0.2uN2=－1
－0.2uN1＋0.4uN2－0.2uN3=－4 －0.2uN2＋0.325uN3=7 解之得
uN1= －5V， uN2=－2.5V， uN3=20V
3-15 图示电路中，已知R1=
11111Ω， R2=Ω，R3=Ω， R4= Ω， R5=Ω， uS1=1V， 23456uS2=2V， uS3=3V， iS3=3A，uS5=5V。试用结点法求各支路电流。
iS3
u i1 R1 1 i3 R3 + S3- 2 R5 i5 i2 i4 + - R2 uS1 uS5 R4 - + - u S2+
0
题3-15图
解 以0为参考点，则该电路的结点电压方程为
(
1111u=uS1－uS2＋i＋uS3＋＋)uN1－N2S3R1R2R3RRR312R3
－
uu1111uN1＋(＋＋)uN2=－iS3－S3－S5 R3R3R4R5R3R5代入已知条件得
9uN1－4uN2=11 －4uN1+15uN2=－45 解之得
uN1=－0.1261V， uN2= －3.0336V 各支路的电流为
i1=
uN1?uS1= 2(－0.1261－1)= －2.2522A R1uN1?uS2=3(－0.1261＋2)= 5.6127A R2uN1?uN2?uS3= 4(－0.1261＋3.0336－3)= －0.37A
R3 i2=
i3=
第三章 电路分析的一般方法
习题解答
3-1 题3-1图所示电路中，已知R1=R2=10Ω，R3=4Ω，R4=R5=8Ω，R6=2Ω，iS1=1Α，uS3=20V，uS6=40V。求各支路电流。
U
u i6 R6 + S6-
i2 R2 i4 R4
i1 i3 i5
R3 R5 + i S1R1
uS3 - 0
题3-1图
解 以O点为参考点，选3个网孔作为独立回路，并以顺时针方向作为循行方向，支路电流方程为
i1+i2+i6=0 - i2+i3+i4=0 - i4+i5- i6=0
- R1（i1+iS1）+R2i2+R3i3=- uS3 - R3i3+R4i4+R5i5=uS3 - R2i2- R4i4+R6i6=- uS6
代入已知条件得
i1+i2+i6=0 - i2+i3+i4=0 - i4+i5- i6=0
- 10i1+10i2+4i3=- 20+10 - 4i3+8i4+8i5=20 - 10i2- 8i4+2i6=- 40
解方程得
i1=1.85A， i2=1.332A， i3=- 1.207A i4=2.539A，i5=- 0.643A，i6=- 3.182A
3-2 题3-2图所示电路，各元件参数同题3-1。求各支路电流。
解 以O点为参考点，选独立回路时，回避无伴电流源所在的网孔，选另外两个网孔为独立回路，以顺时针方向作为回路绕行方向，可得下列支路电流方程
U
u i6 R6 + S6-
i2 R2 i4 R4 iS1 i3 R3 + uS3 i5 R5
- iS1+i2+i6=0 - i2+i3+i4=0 - i4+i5- i6=0
- R3i3+R4i4+R5i5=uS3 - R2i2- R4i4+R6i6=- uS6
代入已知条件得
- 1+i2+i6=0 - i2+i3+i4=0 - i4+i5- i6=0 - 4i3+8i4+8i5=20 - 10i2- 8i4+2i6=- 40
解方程得
i2=2.2143A， i3=0.2857A， i4=1.9286A i5=0.7143A， i6=- 1.2143A
3-3 题3-3图所示电路，已知R1=10Ω，R2=15Ω，R3=20Ω，R4=4Ω，R5=6Ω，R6=8Ω，uS2=10V，uS3=20V，求各支路电流。
解 各支路电流方向如图所示，以O点为参考点，选网孔作为独立回路，以顺时针方向作为回路绕行方向，则支路电流方程为
i1+i2+i4=0 - i4+i5+i6=0 - i2+i3- i5=0
- R1i1+R4i4+R6i6=0.5u6 R3i3+R5i5- R6i6=- uS3 R2i2- R4i4- R5i5=- uS2
其中控制量u6=R6i6，将u6及已知条件代入，得
uS2 i R 22 + - i4 R4 i5 R5
i1 R 1 U+ R6 u6 - 0 i6 i3 R3 + uS3 - + 0.5u6 - 题3-3图
i1+i2+i4=0 - i4+i5+i6=0 - i2+i3- i5=0 - 10i1+4i4+4i6=0 20i3+6i5- 8i6=- 20 15i2- 4i4- 6i5=- 10
解方程得
i1=0.3134A， i2=- 0.6359A， i3=- 0.7742A i4=0.3225A， i5=- 0.1383A， i6=0.4608A
3-4 题3-4图所示电路，各元件参数同题3-3。求各支路电流。
uS2
i2 R2 + -
i4 R4 i5 R5
i6 + u5 - i3
Ui1 2u5 R3
R6 + R 1uS3
- 0 题3-4图
解 以O点为参考点，选网孔作为独立回路，顺时针方向为回路绕行方向，则支路电流方程为
i1+i2+i4- 2u5=0 - i4+i5+i6=0 - i2+i3- i5=0
- R1i1+R4i4+R6i6=0 R3i3+R5i5- R6i6=- uS3 R2i2- R4i4- R5i5=- uS2
其中u5=R5i5，将u5及已知条件代入，得 i1+i2+i4- 12i5=0 - i4+i5+i6=0 - i2+i3- i5=0 - 10i1+4i4+4i6=0 20i3+6i5- 8i6=- 20 15i2- 4i4- 6i5=- 10
解方程得
i1=- 0.7637A， i2=- 0.9565A， i3=- 1.1644A i4=- 0.775A， i5=- 0.2079A， i6=- 0.5671A
3-5 用回路法求题3-1图中的电流i1和i5。
U
uS6 R6 - +
R2 il3 R4
i1 i5 R3 R 1 il2 il1 R5 + + uS3 R1iS1 - -
解 先将iS1、R1的并联组合等效变换成电压源R1iS1与R1的串联组合，选3个网孔作为独立回路，如图所示。回路电流方程为
（R1+R2+R3）il1- R3il2- R2il3=R1iS1- uS3 - R3il1+（R3+R4+R5）il2- R4il3=uS3 - R2il1- R4il2+（R2+R4+R6）il3=- uS6 代入已知条件得
24il1- 4il2- 10il3=- 10
- 4il1+20il2- 8il3=20 - 10il1- 8il2+20il3=- 40 解方程得
il1=- 1.8494A， il2=- 0.6426A， il3=- 3.1818A
则
i1=- il1=1.8494A， i5=il2=- 0.6426A
3-6 用回路法求题3-2图中的电流i2和i3。 解 各独立回路如图所示，回路电流方程为
il1 =iS1=1
- R3il1+（R3+R4+R5）il2- R4il3=uS3 - R2il1- R4il2+（R2+R4+R6）il3=- uS6
uS6 R6 + -
i2 R2 il3 R4
i3
iS1 R3 R5 i l1 + il2
uS3
-
题3-6图
代入已知条件得
20il2- 8il3=24 - 8il2+20il3=- 30
解方程得
il2=0.7143A， il3=- 1.2143A
则有
i2=il1- il3=1-（- 1.2143）=2.2143A i3=il1- il2=1- 0.7143=0.2857A
3-7 图示电路中，已知R1=3Ω，R3=12Ω，R4=R5=6Ω，uS1=10V，uS2=uS3=50V，iS6=2A。
试用回路法i3和i4。
uS2 + -
il3 R5 i4 R4
i3
iS6 R1 R3 il2 + - il1 uS1 uS3
- + 题3-7图
解 所选的3个独立回路如图所示，其回路电流方程为 il1=iS6=2
-（R1+R4）il1+（R1+R4+R5+R3）il2-（R4+R5）il3=uS1+uS3 R4il1-（R4+R5）il2+（R4+R5）il3=- uS2 代入已知条件得
27il2- 12il3=78 - 12il2+12il3=- 62 解方程得
il2=1.0667A， il3=- 4.1A 则
i3=il2=1.0667A
i4=- il1+il2- il3=- 2+1.0667-（- 4.1）=3.1667A
3-8 题3-8图所示电路，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，uS1=10V，uS2=20V。试用回路法求i1及受控源的功率。
i2 i1 i
R2 R3 R 1
+ + + il2 il1
uS1 uS2 6i
- - -
题3-8图
解 按图示选取独立回路，其回路电流方程为
（R1+R2）il1-R2il2=uS1-uS2 -R2il1+（R2+R3）il2=uS2-6i i=il2-il1
代入已知条件，整理得
3il1-2il2=-10 -8il1+11il2=20 解方程得
il1=- 4.1176A， il2=-1.1765A 则
i4=
uN2=5(－3.0336)= －15.168A R4uN2?uS5=6(－3.0336＋5)=11.7984A R5 i5=
3-16 图示电路中，试用结点法求I和U。
4Ω 3Ω 2
+
6V
1Ω - I 2Ω
1 3
0
U 6A + -
题3-16图
解 以0点为参考结点，结点电压方程为
(+
111)UN1-UN2=6
313111UN2+(+)UN3=-6 4244UN1-UN2=18 UN2=6
-UN2+3UN3=-24
UN2=6
-整理得
解之得
UN1=6V， UN2=6V， UN3=-6V
则
U=UN1-UN3=6- (-6)=12V
I=
6UN1UN3+=6-=3A 122
3-17 试用结点法求图示电路中的结点电压UN1、UN2和电流I。
1 I 1Ω 2
+ +
5A U1 0.5Ω U1
- -
1Ω 3Ω 0 题3-17图
4A 解 以O点为参考结点，结点电压方程为
11+）UN1-UN2=5
1?0.5111U -UN1+(+) UN2=1-4
3130.5UN1U1=
1?0.5（
整理得
5UN1-3UN2=15
-5UN1+6UN2=-18 解之得
UN1=2.4V，UN2=-1V
则
I=
UN1?UN2=2.4- (-1)=3.4A 13-18 试用结点法求图示电路中受控电压源的功率。 解 以0点为参考结点，其结点电压方程为
（2+2+2）UN1-2UN2=-2×10 UN2=2I2 I2=2UN1 求得
UN1=10V， UN2=40V
1 2S 2
I2 I 2S +
1S 2I2 2S - 10V -
+
0
题3-18图
则受控源的电流及功率为
I=2(UN1-UN2) –UN2=-100A
P2I2=2I2I=2×2UN1I=2×2×10×(-100)= -4000W
3-19 图示电路中，已知?=4，其他参数如图所示，试用结点法求I0。
αI 2Ω 2 3Ω I3 3 1 - R2 I R3 5A US 5V
IS R1 1Ω I0 +
0 题3-19图
解 以0点为参考结点，列出结点电压方程为
11UN1-UN2=IS+?I
R2R211111UN1+(++) UN2-UN3=0 R2R1R2R3R3 - UN3=-US=-5 I=
UN2 R1代入已知条件，整理得
0.5UN1-4.5UN2=5
-1.5UN1+5.5 UN2-UN3=0 UN3=-5 解之得
UN1=-1.25V， UN2=-1.25V， UN3=-5V
则
I=
UN2?1.25==-1.25A
1R1UN2?UN3?1.25?(?5)==1.25A
3R3I3=
I0=I3-?I=1.25-4×(-1.25)=6.25A
3-20 题3-19图所示电路中，若I0=10A，试用结点法求?=？ 解 将题3-19 图所示电路的结点电压方程整理得
0.5UN1-（0.5+?）UN2=5
-1.5UN1+5.5UN2-UN3=0 UN3=-5 由已知条件可得下列补充方程
UN2?UN3??I+I0
R3代入已知条件，整理后再与结点电压方程组联立得
0.5UN1-（0.5+?）UN2=5
-1.5UN1+5.5UN2-UN3=0 UN3=-5
（1-3?）UN2-UN3=30
解之得
UN1=-15V， UN2=-5V， UN3=-5V，
?=2
3-21 题3-21图所示电路，若结点电压UN1=6V，求结点电压UN2和电流源电流IS。
1 1Ω 2 1Ω + 6V - 1Ω
1Ω 1Ω
IS
0
题3-21图
解 以0点为参考结点，列结点电压方程为
11111111116 - UN1+(++)UN2=
11111 （+）UN1-UN2=-IS
代入已知条件得
12-UN2=-IS
-6+3UN2=6
解得
UN2=4V， IS=-8A
3-22 题3-22图所示电路中，已知uS=1V，iS=1A，试用结点法求受控源的功率。
i 1Ω 2 1Ω 1 3
i1 1Ω 1Ω +
5i + iS uS - -
0
题3-22图
解 以O点为参考结点，列结点电压方程为 （+）uN1-uN2=
uN2=5i
11111111uS-i 1-uN2+uN3= i- iS
uN1= uN3
代入已知条件解得
uN1=1.25V， uN2=1.875V， uN3=1.25V， i=0.375A
11
故受控源的功率为 P5i=5ii1=5i(
uN1?uN2uN2?uN3-)=5×0.375(1.25-2×1.875+1.25)
11 =-2.3438W
3-23 题3-23图所示电路，各元件参数均已知，试用结点法列出足以求解该电路的方程。 解 以O点为参考结点，列结点电压方程如下
i2 R2
ri1 R 1 - + 2 4 i1 ix βi2 iS R3 R1 0
题3-23图
（
111+）uN1-uN2=iS-ix R1R2R2111uN1+(+)uN2=?i2+ix R2R2R3 -
uN2-uN1=ri1 i1=-
uN1 R1i2=
uN1?uN2 R23-24 用结点法求题3-24图所示电路中的电流i及受控源吸收的功率。
1 4Ω 2 2Ω 3 + - i 1A + u - 1.5V + 3Ω 1Ω 5Ω 2u
0 题3-24图
解 以O点为参考结点，列结点电压方程如下
- 111+）uN1-uN2=1 34411111 -uN1+（++）uN2-uN3=0
44122（uN3=1.5+2u
u=uN1-uN2
代入已知条件，整理得
7uN1-3uN2=12 -uN1+7uN2-2uN3=0 2uN1-2uN2-uN3=-1.5
解方程得
uN1=2.2742V， uN2=1.3065V， uN3=3.4355V 对结点3应用KCL，得 i =
uN2?uN3uN31.3065?3.43553.4355-=-=-1.7516A
2525受控源吸收的功率为
P2u=2ui =2(uN1-uN2)i
=2×(2.2742-1.3065)×(-1.7516) =-3.39W
3-25 已知某电路的结点方程为
3uN1-uN2-uN3=1 -uN1+3uN2-uN3=0 -uN1-uN2+5uN3=-1
式中电导、电压和电流的单位分别为S、V和A，试画出其相应的电路图。
1S
3 1 1S 2 1S 1A 1A 1S 1S 3S
0
题3-25图
解 由3个结点方程知电路有4个结点，先画出4个结点。由结点方程还可知1-2、2-3、3-1之间互导均为1S，再画出各个互导。由结点方程还可知结点1、2、3的自导分别为3 S、3S、5S，由此可确定出各结点到参考结点之间的电导。由方程右边的值可确定结点1-0之间、结点3-0之间连接有一个1A的电流源，如图所示。
u=uN1-uN2
代入已知条件，整理得
7uN1-3uN2=12 -uN1+7uN2-2uN3=0 2uN1-2uN2-uN3=-1.5
解方程得
uN1=2.2742V， uN2=1.3065V， uN3=3.4355V 对结点3应用KCL，得 i =
uN2?uN3uN31.3065?3.43553.4355-=-=-1.7516A
2525受控源吸收的功率为
P2u=2ui =2(uN1-uN2)i
=2×(2.2742-1.3065)×(-1.7516) =-3.39W
3-25 已知某电路的结点方程为
3uN1-uN2-uN3=1 -uN1+3uN2-uN3=0 -uN1-uN2+5uN3=-1
式中电导、电压和电流的单位分别为S、V和A，试画出其相应的电路图。
1S
3 1 1S 2 1S 1A 1A 1S 1S 3S
0
题3-25图
解 由3个结点方程知电路有4个结点，先画出4个结点。由结点方程还可知1-2、2-3、3-1之间互导均为1S，再画出各个互导。由结点方程还可知结点1、2、3的自导分别为3 S、3S、5S，由此可确定出各结点到参考结点之间的电导。由方程右边的值可确定结点1-0之间、结点3-0之间连接有一个1A的电流源，如图所示。
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