辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学(理)试题

东北育才学校高中部

2014——2015

学年度高三第八次模拟考试理科数学试题

使用时间：2015.5.18 命题人：高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合A?x?N 0?x?4的真子集个数为 ．．．A.3

B.4

C.7

D.8

??2.已知z是复数z的共轭复数，z?z?z?z?0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

3.已知向量a?0 ,?23，b?1 ,3，则向量a在b上的正射影的数量为 A.3

B.3

C.?3

D.?3

aa2????4．等差数列?an?中，a5?a6?4，则log2(21?25．已知a>1，f(x)?ax4522a10)?

A.10 B.20 C.40 D.2?log25

?2x，则使f(x)?1成立的一个充分不必要条件是

93A.?1?x?0 B.?2?x?1 C.?2?x?0 D.0?x?1 6．(1?x)?(1?x)???(1?x)展开式中，x项的系数为 A.120 B.119 C.210 D.209

x2y27.已知双曲线2?2?1 (a?0 ,b?0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则

ab其渐近线方程为 A.2x?y?0

B.x?2y?0

C.4x?3y?0 D.3x?4y?0

8.“五一”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“抚顺三块石国家森林公园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率

1111 B． C． D． 15180360909.下列对于函数f(x)?3?cos2x,x?(0,3?) 的判断正确的是

A.

A.函数f(x) 的周期为? B.对于?a?R, 函数f(x?a) 都不可能为偶函数 C.?x0?(0,3?) ,使f(x0)?4 D.函数f(x) 在区间[?5?2,4] 内单调递增

·1·

?x?3y?3?0，?10.若实数x,y满足不等式组?x?y?1?0，则z?2|x|?y的取值范围是

?y??1，?A.[?1,3] B.[1,11] C.[1,3] D.[?1,11]

11.直角梯形ABCD，满足AB?AD,CD?AD,AB?2AD?2CD?2,现将其沿AC折叠成三棱锥D?ABC，当三棱锥D?ABC体积取最大值时其外接球的体积为

43? B. ? C.3? D.4?

32x12.设过曲线f?x???e?x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线

A.g?x??ax?2cosx上一点处的切线l2，使得l1?l2，则实数a的取值范围为

A.[?1,2] B.(?1,2) C.[?2,1] D.(?2,1)

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 13.一个四棱柱的三视图如图所示， 则其表面积为_________

?为坐标原点，14.已知过定点???2,0?的直线l与曲线y?2?x2相交于A，?两点，当????的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为

15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中

. 位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab?_______

16.若数列?an?满足a1?112,an?1?an?an，n?N?，且bn?，Pn?b1?b2?????bn 21?anSn?b1?b2?????bn，则2Pn?Sn= . 三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

·2·

在?ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sinB?等比数列.

5 ，且a,b,c 成 1311? 的值； tanAtanC （Ⅱ）若accosB?12, 求a?c 的值.

（Ⅰ）求

18．（本小题满分12分）

如图，在?ABC中，已知?ABC?45?,O在AB上，且OB?OC?2AB,又PO?平面3ABC,DA//PO,DA?AO?12PO.

（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；

（Ⅱ）求二面角B?DC?O的余弦值．[来源:学优高考网]

19．(本题满分12分)

浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示,其

中阴影区域的边界曲线近似为函数y?Asinx的图像）．每 队有3人“成功”获一等奖，2人“成功” 获二等奖，1 人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（?）求某队员投掷一次“成功”的概率；

（??）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列 及其期望．

20．(本题满分12分)

x2y2x2y2??1，曲线C2：??1(0???1). 已知曲线C1：

44?4?4?2曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点.

(Ⅰ)求?的值；

(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线yA

C1于A,C两点. 直线

BPxCOP交曲线C1于B,D两点. 若P为AC中点，

① 求证：直线AC的方程为 x0x?2y0y?2；

·3· OD

② 求四边形ABCD的面积.

[:.]

21. (本题满分12分)

已知函数f(x)?lnx?ax2?x,a?R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知a?0，对于函数f(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，其中x2?x1，直线AB的斜率为k，记N(u,0)，若AB??AN(1???2),求证f'(u)?k.

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点． (Ⅰ)求证：DE∥AB；

(Ⅱ)求证：AC?BC= 2AD?CD．

23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为

???42cos(??)x

4（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A,B两点，试求

24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f?x??x?a

（Ⅰ）若f?x??m的解集为??1,5?，求实数a,m的值；

（Ⅱ）当a?2且0?t?2时，解关于x的不等式f?x??t?f?x?2?

11?的值. PAPB·4·

东北育才学校高中部

2014——2015

学年度高三第八次模拟考试理科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 13.16?82 14. 30 15. 100 16.2

三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解：（1）依题意，b?ac ，由正弦定理及sinB?25252 ，得sinAsinC?sinB? . 13169 ………3分

11cosAcosCsin(A?C)sinB13?????? ………6分 tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinC5(2)由accosB?12知，cosB?0 ，

512又sinB?，?cosB? ………8分

1313122?13 ………10分 从而b?ac?cosB又余弦定理，得b?(a?c)?2ac?2accosB ，

代入，解得a?c?37 . ………12分 18．解：（Ⅰ）设OA?1,则PO?OB?2,DA?1，

由DA//PO,PO?平面ABC，知DA⊥平面ABC,?DA?AO.从而DO?2,PD?2 在?PDO中又

22PO?2??PDO为直角三角形，故PD?DO

………3分

OC?OB?2,?ABC?45?，?CO?AB又PO?平面ABC,

AB?O，?CO?平面PAB

…………6分

?PO?OC,PO,AB?平面PAB,PO故CO?PD.∵CODO?O∴PD?平面COD.

（Ⅱ）以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴，建立直角坐标系如图 则由（Ⅰ）知，C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,?1,1),

?PD?(0,?1,?1),BC?(2,?2,0),BD?(0,?3,1)

·5·

由（Ⅰ）知PD?平面COD,?PD是平面DCO的一个法向量， 设

平

面

BD的法向量为

??n?BC?0?2x?2y?0， n?(x,y,z),??,????n?BD?0??3y?z?0令y?1，则x?1,z?3,?n?(1,1,3)，……10分

?cos?PD,n??PD?n?1?3222 ???11|PD||n|211222.……12分 11由图可知，二面角B?DC?O的余弦值为19．解：（?）由题意知：S矩形?10?10?100，

S阴影?2?5sinxdx?20………………………….2分

0π记某队员投掷一次 “成功”事件为A， 则P(A)?S阴影S矩形?201?……………………………………….4分 1005（??）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4.

1011123?1?2?1?， P(X?2)?C3， P(X?1)?C3???(1?)????(1?)?51255125?5??5?124813641?1?0?1?，P(X?4)?C3…….9分 P(X?3)?C3???(1?)????(1?)?51255125?5??5?即X分布列为： 1032X 1 2 3 4 P(X) 1 12512 12548 12564 125……10分

112486417?2??3??4?? ………12分 1251251251255120．解：（Ⅰ）4??4?4? ?? …….2分

2所以，X的期望EX?1?（Ⅱ）① 可得B(2x0,2y0),D(?2x0,?2y0)

·6·

由kOP?kACb21??2??

a2AC:y?y0?k(x?x0)??x0(x?x0) 即x0x?2y0y?2 2y0

y0?0,x0??2，lAC:x??2符合x0x?2y0y?2 …….2分

x01?2y??x?x02x2?2y0y0 (1?2)x2?20x?2?4?0 ② 解法一：联立方程?2y0y0y0?x2?2y2?4?2即2x2?4x0x?4?8y0?0

222x0x0x0222xA?xC?1?24x0?8?16y0?1?28y0 AC?1? 24y04y04y0B,D到AC距离d1?S?22?2x?4y

2020,d2?

22?2x?4y

2020

1AC?(d1?d2)?4 2

当y0?0时ABCD面积也为4

② 解法二：

…….12分

x01?2y??x?x02x2?2y0y0 (1?2)x2?20x?2?4?0 联立方程?2y0y0y0?x2?2y2?4?即2x?4x0x?4?8y0?0

22

22x0x022x?x?1?4x?8?16y AC?1? AC00224y04y02x02?1?28y0 ， O到AC距离d?4y02x?4y

2020

SABCD?22S?AOC?4

…….2分

当y0?0时ABCD面积也为4

·7·

② 解法三：P(x0,y0),B(2x0,2y0),D(?2x0,?2y0)

22BD?22x0?y0，A(x1,y1)，lBD:y0x?x0y?0

A到BD的距离为d?y0x1?x0y1，

x2?y200又x220x1?2y0y1?2,x0?2y0?2,x21?2y21?4，

8?(x22222222220?2y0)(x21?2y1)?x0x1?2y21x0?2y0x1?4y0y1?(x220x1?2y0y1)?2(x0y1?y0x1)?4?2(x0y1?y0x2

1)则y0x1?x0y1?2. 又P为AC中点，

则S?2?12?d?BD?y0x1?x0y1x22?22x2y20?0?4. …….2分

0?y021．解; f(x)的定义域为(0,??)

f'(x)?1x?2ax?1?2ax2?x?1x

当a?0时，f'(x)?0在(0,??)上恒成立，f(x)在定义域内单调递增；当a?0时，令f'(x)?0,解得，x??1?1?8a4a（舍负）

则x?(0,?1?1?8a4a)时，f'(x)?0，f(x)单调递增；

x?(?1?1?8a4a,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递减；

综上，a?0时，f(x)的单调递增区间为(0,??)；

a?0时，f(x)的单调递增区间为(0,?1?1?8a4a)，

f(x)的单调递增区间为(?1?1?8a4a,??) ·8·

.5分

……

y2?y1lnx2?ax22?x2?lnx1?ax12?x1（2）证明：k? ?x2?x1x2?x1 ?lnx2?lnx1?a(x1?x2)?1

x2?x1N(u,0),A(x1,y2),B(x2,y2),AB??AN(1???2)

?x2?x1??(u?x1),?u?又f'(x)?x2?(??1)x1?，

1x?(??1)x1??2ax?1，?f'(u)??2a2?1 xx2?(??1)x1??f'(u)?k?lnx2?lnx1a???(2??)(x2?x1)

x2?(??1)x1x2?x1?aa?0,x2?x1,1???2,?(2??)(x2?x1)?0

?要证：f'(u)?k.，只需证

lnx2?lnx1???0

x2?(??1)x1x2?x1即证：

?(x2?x1)x?(lnx2?lnx1)?0，设t?2?1

x2?(??1)x1x1?(t?1)?t2?(?2?2??2)t?(??1)2?lnt,则g'(t)?令g(t)?, 2t???1(t???1)t令h(t)??t?(??2??2)t?(??1),t?1,1???2

222(??1)2?1?1. 对称轴t?2h(t)?h(1)?0,?g'(t)?0，故g(t)在(1,??)内单调递减，则g(t)?g(1)?0,故f'(u)?k.

…….12分

22．解：（Ⅰ）连接BD，因为D为弧BC的中点， 所以BD?DC．

因为E为BC的中点，所以DE?BC． 因为AC为圆的直径，所以?ABC?90?， 所以AB//DE． ?5分 （Ⅱ）因为D为弧BC的中点，所以?BAD??DAC， 又?BAD??DCB,则?BCD??DAC．又因为AD?DC，DE?CE，所以?DAC∽?ECD．

·9·

所以

ACCD?ADCE，AD?CD?AC?CE,?2AD?CD?AC?BC. ?10分 B D E A O

C

24.（1）因为x?a?m所以a?m?x?a?m

??a?m??1?a?m?5?a?2,m?3-------------5分 （2）a?2时等价于x?2?t?x[:.]

当x?2,x?2?t?x,?0?t?2所以舍去 当0?x?2,2?x?t?x,?0?x?t?22,成立 当x?0,2?x?t??x成立

所以，原不等式解集是????,t?2??2??-----------10分

·10·

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