2013年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.

（1）设cosx?1?xsin?(x)，其中?(x)??2，则当x?0时，?(x)是

（ ）

（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x等价的无穷小 （2）设函数y?f(x)由方程cosx(y?)yl?nx?确定，则

?2limn?f(?n???n?)?（1 ） ??x?sinx,0?x??，F(x)??f(t)dt，则（ ）

0??x?2??2,（A）2 （B）1 （C）?1 （D）?2 （3）设函数f(x)=?（A）x?? 是函数F(x)的跳跃间断点 （B）x?? 是函数

F(x)的可去间断点

（C）F(x)在x??处连续但不可导 （D）F(x)在x??处可导

1?,1?x?e????(x?1)??1（4）设函数f(x)=?，若反常积分?f(x)dx收敛，

11?,x?e??xln??1x则（ ）

（A）???2 （B）??2 （C）?2???0 （D）0???2

（5）设z?x?z?zyf(xy)，其中函数f可微，则??（ ） xy?x?y22f(xy) （D）?f(xy) xx（A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）

22（6）设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1在第k象限的部分，记

??Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）

Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 （7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

?1a1??200?????

（8）矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为

?1a1??000?

????

（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0

（D）a?2,b为任意常数

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定．．．位置上.

ln(1?x)1)x? ． (9) lim(2?x??x(10) 设函数f(x)??x?1t1?edt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在

y?0处的导数

dxdyy?0? ．

(11)设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3?(?的平面图形的面积为 ．

?6????6)，则L所围成

??x?arcttan(12)曲线?上对应于t?1的点处的法线方程

21t??y?ln?为 ．

(13)已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件yx?0?0y?x?0?1的解为

y? ．

（14）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）

设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。

（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算（18）（本题满分10分）

设奇函数f(x)在[?1,1]上具有二阶导数，且f(1)?1.证明：

2x??dxdy。 D13n

（I）存在??，使得（0,）1，使得f?(?)?1；（II）存在??（0,1）f??(?)?f?(?)?1。

（19）（本题满分11分）

求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数f(x)?lnx?1， x（I）求f(x)的最小值 （II）设数列{xn}满足lnxn?（21）（本题满分11分） 设曲线L的方程为y?（1）求L的弧长；

（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分） 设A??1?1，证明limxn存在，并求此极限.

n??xn121x?lnx42(1?x?e)，

?1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得101b????C。 B，并求所有矩阵

（23）（本题满分11分）

AC?CA?设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记

22?a1??b1???????a,???2??b2?。

?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；

（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为

22二次型2y1。 ?y2

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

答案

一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.

(1) 设cosx?1?xsin?(x)，其中?(x)??2，则当x?0时，?(x)是

( )

(A) 比x高阶的无穷小 (B) 比x低阶的无穷小 (C) 与x同阶但不等价的无穷小 (D) 与x等价的无穷小 【答案】(C)

1cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1~?x2

211?x?sin?(x)~?x2 ?sin?x()?~x

221又sin?(x)~?(x) ??(x)~?x

2??(x)与x同阶但不等价的无穷小. 所以选（C）.

【解析】

sy(?)(2) 设函数y?f(x)由方程cox2limn[f()?1]? ( ) n??ny?lnx?确定，则

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）

【解析】因为x?0时，y?1即f(0)?1.

2f()?f(0)?2?limn?f()?1??lim2?n?2f'(0)?2y'x?0 n??n??2n???0n又cos(xy)?lny?x?1

1?y'?1?0， y将x?0,y?1，代入上式得y'?1.

两边对x求导得：?sin(xy)?y??选（A）.

(3) 设函数（ ）

（A）x??是函数F(x)的跳跃间断点 （B）x??是函数F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x??处连续但不可导 （D）F(x)在x=?处可导 【答案】（C）

【解析】因x??是f(x)在?0,2??唯一的第一类间断点，即f(x)在?0,2??可积，故F(x)?x?sinx,0?x??f(x)???2,??x?2?，F(x)??x0f(t)dt，则

?0f(t)dt在?0,2??连续.

因x??是f(x)的第一类间断点，故F(x)在x??不可导. 所以选（C）.

?1?(x?1)??1,1?x?e??? (4) 设函数f(x)??，若反常积分?f(x)dx收敛，则

1?1,x?e??1??xlnx（ ）

???2 ??2 （C）?2???0 （D）0???2 （A）（B）

【答案】（D） 【解析】

???1f(x)dx??e1??11dx??exln??1xdx (x?1)??1

?e11dx，x?1是瑕点，故??1?1时，瑕积分收敛.

(x?1)??111?????exln??1xdx???(lnx)e，要使其收敛，需??0. 综上所述0???2?选（D）.

??（5）设z?yx?z?zf(xy)，其中函数f可微，则?? xy?x?y2f(xy) (D) x( )

(A) 2yf'(xy) (B) ?2yf'(xy) (C)

?2f(xy) x解

析

】

【答案】（A） 【

?zyyyyy2=(f(xy))'=-2f(xy)+f'(xy)?y=-2f(xy)+f'(xy) ?xxxxxxx?z1?-f(xy)+yf'(xy) ?y?xx?z1y1?f(xy)?f'(xy)?x=f(xy)+yf'(xy)

?yxxxx?z?z+=2yf'x(y )?选（A）. ??y?x?y22（6）设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1在第k象限的部分，记

??Ik???(y?x)dxdy(k?2,2,3,4)则

Dk（ ）

(A) I1?0 (B)I2?0 (C) I3?0 (D) I4?0

【答案】（B）

【解析】第二象限中y?0，x?0，始终y?x 即 y?x?0

?I2>0?选（B）.

(7) 设A，B，C均为n阶矩阵，若AB?C，且B可逆，则 （ ）

(A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量等价 (B) 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量等价 (C) 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量等价 (D) 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量等价 【答案】（B） 【解析】将A、C按列分块，A?(?1,...,?n),C?(?1,...,?n) 由于AB?C，故

?b11...b1n???(?1,...,?n)?.....??(?1,...,?n)

?b...b?nn??n1 即?1?b11?1?...?bn1?n,...,?n?b1n?1?...?bnn?n 即C的列向量组可由A的列向量线性表示

由于B可逆，故A?CB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示 ?选（B）.

?1?1a1??200?????

(8) 矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为

?1a1??000?????

（ ）

(A)a?0,b?2 (B)a?0,b为任意实数 (C) a?2,b?0 (D)b?0,a为任意实数 【答案】(B)

?1a1??200?????【解析】令A??aba?，B=?0b0?，

?1a1??000?????因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0

??1A的特征方程?A?E??a?1????a?1?a ??1a?1??b?a?a?1?a?0??b?a??1? ?0??b?a02?a=??????2????b??2a??， ??1因为??2是A的特征值，所以2A?E?0

2所以?2a?0，即a?0.

当a?0时，

?A?E?????2????b?，

A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可. 故选(B).

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二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定．．．位置上.

ln(1?x)1)x?____________. (9) lim(2?x?0x【答案】e.

12ln(1?x))?e【解析】 lim(2?x?0x1xln(1?x)1lim(1?)x?0xx?elimx?0limx?ln(1?x)x2

12 ?e (10)设函数f(x)?

1lim1?xx?02x1?x?ex?02x(1?x)?e.

?x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x=f?1(y)在

y?0处的导数

dxdy=_______.

y?0【答案】【解析】

11?e?1

?1xf(?1)?0,f?(x)?1?e,f?(?1)?1?edx11??.?1dyy?0f?(?1)1?e

(11) 设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3?(?面图形的面积是 . 【答案】

?6????6)，则L所围平

? 12???161?cos6?1?sin6??6?26【解析】S???cos3?d???d???????. 0?2622?6?012??x?arctant (12) 曲线?上对应于t=1的点处的法线方程为__________.

2??y?ln1?t【答案】y??x???ln2 41?11.1?t22.2t22dydy?dt1?t???t, 【解析】

1dxdx?dt1?t2??dy?tt?1?1.

dxt?1?，y0?ln1?1?ln2， 4?所以法线方程y?y0??1(x?x0)，即y?ln2??x?.

4当t?1时 x0?arctan1? (13) 已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx?0?0，y'x?0?1的解为y＝____________. 【答案】e?e?xe

【解析】y1?y2?e?e,y1?y3?e

3xx3x3xx2x

3xx3x2x故该方程组的通解为y?C1e?e?C2e?xe.由y(0)?0,y?(0)?1,??得C1?1,C2?0.从而满足初始条件的解为y?e3x?ex?xe2x.

(14) 设A?(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij?Aij?0(i,j?1,2,3)，则A=__________. 【答案】-1

【解析】由于aij?Aij?0,故Aij??aij,(i,j?1,2,3)

222A?a11A11?a12A12?a13A13??(a11?a12?a13) ① 222A?a21A21?a22A22?a23A23??(a21?a22?a23) ②

222A?a31A31?a32A32?a33A33??(a31?a32?a33) ③

?A11A21A31???A*=?A12A22A32? ?A??13A23A33???a11?a21?a31??? A=??a12?a22?a32???a??13?a23?a33?A*??AT??A22A=?A，?A=-1或A=0；又A?0，否则由①②③得而A=A，A=0与题设矛盾.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

n当x?0时，1-cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小.求n与a的

*值.

【答案】n?2，a?7 【解析】

lim1?cosx?cos2x?cos3x?limnx?0x?0ax1?cos6x?cos4x?cos2x?14 nax

?lim3?cos6x?cos4x?cos2x6sin6x?4sin4x?2sin2x?lim

x?0x?04axn4a?n?xn?1?lim36cos6x?16cos4x?4cos2x

x?04a?n(n?1)xn?2?n?2?0，即n?2时，上式极限存在.

36?16?4?1?a?7 ?n?2,a?7当n?2时，由题意.

4a?2?1(16)(本题满分10分)

设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，

13Vx,Vy分别是D绕x轴， y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，

求a的值.

【解析】由旋转体积公式得：

33Vx???(x)dx??x05aa131325a035??a3，

57736?aVy??2?x(x)dx?2?x30?a3

07756?73a3=10?a3,所以a=77. 由已知条件知Vy=10Vx,故75(17)(本题满分10分)

设平面区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算【解析】 y 6 2 O

2x??dxdy. Dy=3x (2，6) x=3y (6，2) 2 6 x+y=8 x

由?故

?x?3y?x?6?y?3x?x?2，? ?????x?y?8?y?2?x?y?8?y?623x68?x222xdxdy?dxxdy?dxxxx??????dyD03232?x43?8314?a?0?x?x?3??3a032416??128?.33

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在?-1，1?上具有2阶导数，且f(1)?1.证明：

（0，1）（Ⅰ）存在??.使得f?(?)?1;

(Ⅱ)存在??(0,1) 使得f??(?)?f?(?)?1. 【解析】

故f(?x)??f(x)，则f(f(x)在[?1,1]上为奇函数，0)?0

令F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(1)?f(1)?1?0

F(0)?f(0)?0?0，由罗尔定理，存在??(0,1)，使得F?(?)?0,即f?(?)?1. （I）由于（II）由于

f(x)在[?1,1]上为奇函数，则f?(x)在[?1,1]上为偶函数，

所以由（I）

f?(??)?f?(?)?1.

令G(x)?e可导，且

x?f?(x)?1?，则G(x)在[?1,1]上连续，在??1,1?内

G(?)?G(??)?0，由罗尔定理存在??(??,?)?(0,1)，使得

G?(?)?0

即

f??(?)?f?(?)?1.

(19)(本题满分10分)

求曲线x3?xy?y3?（上的点到坐标原点的最长距离与1x?0,y?0）最短距离. 【解析】设d?x2?y2 建立拉格朗日函数

L(x,y,?)?(x2?y2)??(x3?xy?y3?1) ??L2??x?2x??(3x?y)?0 ①???L2?2y??(3y?x)?0 ② ?令??y??L33??x?xy?y?1?0 ③???（i） 若??0，得x?y?0不合题意.

22（ii） 若??0，得y?3x?0或x?3y?0，均得x?y?0不合题意. 22若??0，得y?3x或x?3y，由①②得(x?y)(x?y?3xy)?0

x?y?3xy?0，x?y代入

③得

2x3?x2?1?0，即

2x1?y2. (x?1)x(?2x?得?)?1，故距离为0又x?0,y?1,d?1；y?0,x?1,d?1

所以最长距离为2，最短距离为1. (20)(本题满分11分)

设函数f(x)?lnx?1 x（Ⅰ）求f(x)的最小值; (Ⅱ)设数列?xn?满足lnxn?1?1.证明：limxn存在并求此极限.

n??xn?1111x?1?【解析】（I）f(x)?lnx?,x?0,f(x)??2? 2xxxx令f?(x)?0,x?1是唯一驻点，且当0?x?1,f?(x)?0x?1,f?(x?) 0所以x?1是f(x)的极小值点，故f(1)?1是最小值.

，当

（II）由（I）知lnxn可得

?11?1，又由已知lnxn??1 xnxn?111，即xn?xn?1，所以?xn?单调递增. ?xnxn?11?1，可得lnxn?1,0?xn?e，所以?xn?有上界 xn?1由单调有界定理，limxn存在，设为A.

又由lnxn?n??11lnA??1， 两边取极限得??1Axn?111ilxn1??1，?1，又lnA?所以lnA?又由（I）可知A?1，即mn??AA对于lnxn(21) (本题满分11分)

设曲线L的方程为y?.

121x?lnx （1?x?e). 42(Ⅰ)求L的弧长；

(Ⅱ)设D是由曲线L，直线x?1，x?e及x轴所围成平面图形，求D的形心的横坐标.

【解析】(?)设弧长为s，由弧长的计算公式，得

s??e11?(y?)2dx??e1111?(x?)2dx

22x???（

II

）

e1e1111(x?)2dx?(x2?lnx)122x422

1?e.4形

心

的

e由

1计算公式，得

121x(x?lnx)dxdx?xdy?1?2 x?D?e0?e4111122dxdy??(x?lnx)dx(x?142?14?2lnx)dxD14112121e??(e?e?)3(e4?2e2?3)1616422 ?, 313114(e?7)e??12122??xdxdy121x?lnx420

其中D为x?1,x?e,x轴以及所围成的图形. (22)(本题满分11 分)

设A????1a??01???，B???1b??，当a,b为何值时，存在矩阵C，使得10????AC?CA?B，并求所有 矩阵C.

【解析】设

?xC??1?x3x2??，由于x4?AC??CA，故

?1a??x1???10???x3?01????， ?1b?即?x2??x1???x4??x3x2??1a???? x4??10??x1?ax3?x1x2?ax4??x1?x2???x2??x3?x4ax1??01?????. ax3??1b???x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124 (I) ??x1?x3?x4?1??x2?ax3?b由于矩阵C存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换：

?0?1a0???a10a?10?1?1??01?a0?1?0???0??00?1?11?a00000000??1??1??0?1??0??b??01??0? a?1??b?0?1?11?a01?a00001??0?a?1??b?方程组有解，故a?1?0，b?0，即a??1,b?0.

?1?0当a??1,b?0时，增广矩阵变为??0??00?1?11100000001??0? ?0?0?x3,x4为自由变量，令x3?1,x4?0，代为相应的齐次方程组，得x2??1,x1?1.

令x3?0,x4?1，代为相应齐次方程组，得x2?0,x1?1. 故?1??1,?1,1,0?，?2??1,0,0,1?，令x3?0,x4?0，得特解，

TT

???1,0,0,0?，方程组的通解为x?k1?1+k2?2+?=(k1+k2+1,-k1,k1,k2)T，

所以C??T?k1?k2?1?k1??，其中k1,k2为任意常数.

k1k2??(23)(本题满分11 分)

设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2.记

?a1??b1????????a2?,???b2?.

?a??b??3??3?TT(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2?????；

(Ⅱ)若?，?正交且均为单位向量.证明f在正交变换下的标准型为

2. 2y12?y2【解析】证明：

(I)f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2

?a1??x1????? ?2(x1,x2,x3)?a2?(a1,a2,a3)?x2?

?a??x??3??3??b1??x1????? ?(x1,x2,x3)?b2?(b1,b2,b3)?x2?

?b??x??3??3??x1??TT? ?(x1,x2,x3)?2???????x2? ?x??3? ?xAx，其中A?2??T???T. 由于AT?(2??T???T)T?2??T???T?A,所以二次型f对应的矩阵为2??T???T.

(II)由于A?2??T???T，?与?正交，故?T??0，?，?为单位向量

，

故

T???T??1，故

?T??1，同样

?T??1.A??(2??T???T)??2??T????T??2?，由于??0，

TT故A有特征值?1?2.A??(2?????)???，由于??0，故A有特

征值?2?1.

r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?r(??T)?r(??T)1?1?2?3.

所以A?0，故?3?0.

22因此f在正交变换下的标准型为2y1?y2.

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