(理数)陆丰市林启恩纪念中学2013届高三综合测试

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1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

2.有些人错过了，永远无法在回到从前;有些人即使遇到了，永远都无法在一起，这些都是一种刻骨铭心的痛! 3.每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。 4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。” 5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。” 6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。” 7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。 8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

陆丰市林启恩纪念中学2013届高三综合测试

理科数学

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

5，则sin??（） 121155A． B．? C． D．?

551313a1?i?（2）设a是实数，且是实数，则a?（） 1?i213A． B．1 C． D．2

22（1）?是第四象限角，tan???（3）设a，b?R，集合?1，a?b，a???0，，b?，则b?a?（） A．1

B．?1

C．2

D．?2

?b?a??（4）下面给出的四个点中，到直线x-y+1=0x?y?1?0的距离为

2，且位于2?x?y?1?0，表示的平面区域内的点是（） ?x?y?1?0?A．(11，)

D1 C1 B1

， B．(?11)，?1) C．(?1，?1) D．(1A1 （5）如图，正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB，则异面直线

C B

A1B与AD1所成角的余弦值为（）

A．

A D．

1 5B．

2 5C．

3 54 51，则a?2（6）设a?1，函数f(x)?logax在区间?a，2a?上的最大值与最小值之差为（） A．2

nB．2

C．22

D．4

1??（7）?x2??的展开式中，常数项为15，则n?（）

x??A．3

B．4

C．5

D．6

1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

2.老人们都笑了，自巨石上起身。而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。 3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i?1，2，3；j?1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）

13 141C．

14A．

4 73D．

7B．

?a11 a12 a13???a a a212223?? ?a a a?3233??31二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。

9．已知向量a?(4,2),向量b?(x,3)，且a∥b，则x = ． 10．曲线y?sinx在点（

?3,3）处的切线方程为． 211．已知等比数列?an?的前三项依次为a?1，a?1，a?4，则an? ． 12．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为_________．

从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.

13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点?1,0?到直线??cos??sin???2的距离为．

14．（不等式选讲选做题）不等式x?1?4?x?2的解

DC集是． 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆Ｏ的直径为６，lＣ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作

ABOｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE

的长为_______。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）设函数f(x)?2cosx?sin2x?a(a?R)．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x?[0,方程．

1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

2?6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y?f(x)(x?R) 的对称轴

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

17．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.（方差：

D???pi?(?i?E?)2）

i?1n

18．（本小题满分14分）四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD．已知∠ABC?45，AB?2，BC?22，SA?SB?3．（Ⅰ）证明SA?BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

19. (本小题满分14分)

数列{an}的前n项和记为Sn，a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （I）求{an}的通项公式;

SCABa?3b成（II）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,3等比数列，求Tn

1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

20．（本小题满分14分）已知圆C：x2?y2?4.

（1）直线l过点P?1,2?，且与圆C交于A、B两点，若|AB|?23，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量

OQ?OM?ON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

21．（本小题满分14分）设函数f(x)?2ln?x?1???x?1?．（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若关于x的方程f?x??x2?3x?a?0在区间?2,4?内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

21.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

参考答案

一：DBCC DDDA

?3?二．（9）．6 （10） x?2y?3??0 （11）．4???3?2?? 13．

n?1 （12）2?1

?53??2 14．??,? 15．； 3

62?22?2（16）f(x)?2cosx?sin2x?a?1?cos2x?sin2x?a?则最小正周期T?且当2k??2sin(2x?)?1?a 2分

4?2????， 4分

?2423??,k??](k?Z)为f(x)的单调递增区间（写成开区间不扣分）即x?[k??．6分 88???7?????（2）当x?[0,]时??2x??，当2x??，即x?时sin(2x?)?1．

644124284所以f(x)max?2?1?a?2?a?1?2． …9分

?2x???2k???(k?Z)时f(x)单调递增．

2x??4?k???2?x?k???(k?Z)为f(x)的对称轴． 12分 28

17、解：

（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，……2分 ∵“两球恰好颜色不同”共2?4+4?2=16种可能，...........................5分 ∴P(A)?164? ......................................6分 6?6921? …5分 631解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验，..........................2分 ∵每次摸出一球得白球的概率为P?∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为P2(1)?C2?p?(1?p)?（Ⅱ）设摸得白球的个数为?，依题意得：

4． …6分 943242248211P(??0)???，P(??1)?????，P(??2)???

65565651565151.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

∴E??0?1812?1??2??D??(0?2)2?2?(1?2)2?8?(2?2)2?1?16．...12分 2151533531531545

（18）解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA?SB，所以AO?BO，

又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?3，AO?2，得

S 21SO?1，SD?11．△SAB的面积S1?AB2?1?SA2??AB??2． ?2?C D A

1连结DB，得△DAB的面积S2?ABADsin135?2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

O B

11h222hS1?SOS2，解得h?2．设SD与平面SAB所成角为?，则sin??． ??33SD1111解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA?SB，所以AO?BO．又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz，

0，1)，SA?(2，0，?1)， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S(0，z S CB?(0，22，0)，SACB?0，所以SA⊥BC．

（Ⅱ）取AB中点E，E??22?0??2，2，?，

??D G C A O E B y

?221?连结SE，取SE中点G，连结OG，G???4，4，?． 2??x ?221??22?OG??，，SE?1?0)． ??442??，?2，2，?，AB?(?2，2，????SEOG?0，ABOG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

所以OG?平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则?与?互余。D(2，221)，．cos??22，0)，DS?(?2，OGDSOGDS?22， 11sin??22（14分） 1119．（I）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?， ...............................................1分

两式相减得an?1?an?2an,an?1?3an?n?2? ...............................................3分又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列。 …4分 ∴an?3n?1. ……6分

（II）设{bn}的公差为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5， .................8分

故可设b1?5?d,b3?5?d ...............................................9分又a1?1,a2?3,a3?9由题意可得

2?5?d?1??5?d?9???5?3?解得d1?2,d2??10...............................................11分

∵等差数列{bn}的各项为正，∴d?0，∴d?2...............................................12分 220. 解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x?1，l与圆的两个交点坐标为

∴Tn?3n?n?n?1??2?n2?2n ...............................................14分

?1,3?和?1,?3?，其距离为23，满足题意 ...............................................2分

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y?2?k?x?1?，即kx?y?k?2?0 ...........3分设圆心到此直线的距离为d，则23?24?d2，得d?1∴1?|?k?2|k2?1，k?3， 4故所求直线方程为3x?4y?5?0 5分综上所述，所求直线为3x?4y?5?0或x?1 6分

（Ⅱ）设点M的坐标为?x0,y0?，Q点坐标为?x,y?则N点坐标是?0,y0? ∵OQ?OM?ON，∴?x,y???x0,2y0? 即x0?x，

y0?y ..............................9分 21.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

y2?4 ...............................................10分又∵x?y?4，∴x?420202由已知，直线m //ox轴，所以，y?0

y2x2??1(y?0) ∴Q点的轨迹方程是

164轨迹是焦点坐标为F，长轴为8的椭圆，并去掉(?2,0)两点。...14分 1(0,?23),F2(0,23)21．解：（1）函数f?x?的定义域为?1,???，...............................................1分 ∵f?(x)?2?2x?x?2??1? ...............................................2分 ??x?1????x?1?x?1?∵x?1，则使f?(x)?0的x的取值范围为?1,2?，故函数f?x?的单调递增区间为

?1,2?．............................................... 4分

（2）方法1：∵f(x)?2ln?x?1???x?1?，

∴f(x)?x?3x?a?0?x?a?1?2ln?x?1??0．...........................................6分

22令g?x??x?a?1?2ln?x?1?，∵g?(x)?1?2x?3?，且x?1， x?1x?1由g?(x)?0得x?3，g?(x)?0得1?x?3．∴g(x)在区间[2,3]内单调递减，在区间

[3,4]内单调递增，……9分故f(x)?x2?3x?a?0在区间?2,4?内恰有两个相异实根

?g(2)?0,?a?3?0,????g(3)?0,……12分即?a?4?2ln2?0,解得：2ln3?5?a?2ln2?4． ?g(4)?0.?a?5?2ln3?0.??综上所述，a的取值范围是?2ln3?5,2ln2?4?．…………14分方法2：∵f(x)?2ln?x?1???x?1?，

∴f(x)?x?3x?a?0?x?a?1?2ln?x?1??0． …6分

22即a?2ln?x?1??x?1，令h?x??2ln?x?1??x?1，∵h?(x)?23?x?1?，x?1x?11.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

1.不悔梦归处，只恨太匆匆。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

且x?1，由h?(x)?0得1?x?3,h?(x)?0得x?3．

∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．................................. 9分 ∵h?2???3，h?3??2ln2?4，h?4??2ln3?5，又h?2??h?4?，故

f(x?)2x?3x?在a?0区间?2,?4内恰有两个相异实根?h?4??a?h?3?即

2ln3?5?a?2ln2?4．综上所述，a的取值范围是?2ln3?5,2ln2?4?．............14分

1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”

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