第六届高等数学竞赛医学类试题答案

第六届高等数学竞赛(医学类)试题答案

序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期：2009年10月11日 题号 题分 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 100 累分人 签名 注: 本卷共七页, 十二个大题,考试时间为8:30——11:30. 一、 填空题(每空3分，共15分) 得分 评阅人 1、设f(x)?25,则f(f(1)(x))? 25 . x3?x?2a?lim2、设x?????8, 则a??????ln2?????. ?x?a?xdflim? 1 . |x?x0??1, 则3、已知x?0f(x?2x)?f(x?x)dx00df100!|?????????????. 4、设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?(x?100)，则x?1dx45、计算 ?2?2max(|x|,x2)dx?______17/3_______.

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二、 单项选择题(每题3分，共15分) 得分 评阅人 1、?1?1(sinx)2001dx?(??B???) 1. 2(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D)2、已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1，则点P的坐标为( B ) (A) (1,?1,2)； (B) (1,1,2)； (C) (?1,1,2)； (D) (?1,?1,2). d2ydy?5?6y?0的通解为（ A ） 3、方程2dxdx2x3x(A)y?c1e?c2e ； (B)y?c1e?2x?c2e?3x； ?2x3x2x?3x(C) y?c1e?c2e； (D) y?c1e?c2e. 4、设x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比(ex?1)高阶 的无穷小，则正整数n? ( B ) (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. 5、设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f(1)(x)g(x)?f(x)g(1)(x)?0,则当a?x?b 时,下列选项正确的是( A ) 2(A) f(x)g(b)?f(b)g(x) ； (B) f(x)g(a)?f(a)g(x)； (C) f(x)g(x)?f(b)g(b) ； (D) f(x)g(x)?f(a)g(a).

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得分 评阅人 2n?1??13lim????三、（本题满分6分）求极限n????. 2n222??解：由于 132n?15572n?12n?3?2???n?(3?)?(?2)???(n?1?)n22222222 2n?3???????????????????????????????????2n?而 lim(3n??故 2n?3)?3, n22n?1??13lim??2???n??3 n??222?? 得分 评阅人 四、（本题满分6分）求极限limx?0y?022xy?1?1. 22x?y解： 原式=limx?0y?0x2y2(x?y)(xy?1?1)2222 x2y2 ?lim22x?0(x?y)y?01xy?1?122=0 第 3 页 共 7页

得分 评阅人 (2)(1)五、（本题满分7分）求微分方程y?3y?2y?e?x?sinx的通解. 解：特征方程：r2?3r?2?0，特征根：r1??1,r2??2，对应的齐次 方程通解为：y?c1e?x?c2e?2x ??x设原方程的特解为：y?Axe?Bsinx?Ccosx 将y?代入原方程并比较两端系数得： 1?3,C? 1010A?1,B?故原方程的通解为： ?y?xe?x?13sinx?cosx?c1e?x?c2e?2x 1010 得分 评阅人 六、（本题满分7分）设limx?0f(x)?2009,且f(2)(x)?0,证明：xf(x)?2009x. 证明： 由 limx?0f(x)?2009知 xf(0)?0,f?(0)?2009. 由函数f(x)在x?0处的泰勒展开可得 f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)2x ， 2!于是 f(x)?2009x.

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得分 评阅人 七、（本题满分8分）设函数f(x)在x0点可导，且f(x0)?0, 求极限1??f(x?)?0?nlim??. n??f(x)0????n解： 1???f(x0?n)?lim??lime?n??n??f(x)0?????e得分 n1??f(x?)?0?nln??f(x)0??????n?limen??1lnf(x0?)?lnf(x0)n1n1lnf(x0?)?lnf(x0)nlim1n??n dlnf(x)|x?x0dxf(1)(x0)f(x0)?e?e 评阅人 ?y?z?xyf八、（本题满分7分）设??,其中?x??y?f??可导，证明?x?x?z?z?y?2z. ?x?yy解：令v?xy,u?x，则 2?z?v?fyyy(1)(1)y?f(u)?v??yf(u)?vf(u)(?2)?yf()?f(), ?x?x?xxxxx?z1y(1)(1)y?xf(u)?vf(u)()?xf()?yf(). ?yxxx所以 ?z?zyy2(1)y2(1)yx?y?xyf()?yf()?xyf()?yf()?2z. ?x?yxxxx

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得分 评阅人 ?九、（本题满分7分）计算积分?40(tanx?1)tanx?exdx. 解：原式 ?0?0??4tan2x?exdx??4tanx?exdx??0?0??4(sec2x?1)?exdx??4tanx?exdx??x40x?etanx|0??x?/4?e|x?/40??tanx?edx??tanx?edx40 ?e4?e4?1?1?????????????????????? 得分 评阅人 十、（本题满分7分）求函数值和最小值. f(x)??x22?x?tdt在区间[?1,??1]上的最大解：因为 df?2x?x2?2x?2?2x(x2?1) dx故函数f(x)的驻点为0,??1,又因为 f(0)?0,??f(1)??因此，函数 1111tdt??,?f(?1)??tdt?? 2?222f(x)的最大值为0， 最小值为?1. 2

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得分 评阅人 十一、（本题满分8分）求?xf(1)(x)dx,其中cosxf(x)的原函数为. x解：由分部积分公式可得 (1)xf?(x)dx?xf(x)??f(x)dx 又由cosxf(x)的原函数为可知， x?cosx??xsinx?cosxf(x)?? ??2xx??从而 ' ?xsinx?cosxcosx??C2?xf(x)dx?xf(x)??f(x)dx?xxx 2cosx?????????????????????sinx??Cx(1) 得分 评阅人 十二、（本题满分7分））计算二重积分???x?y?d?， D是由y?x2、Dy?4x及y?1所围成的闭区域. 解： 2?x?y?d????xd????yd??2??yd? ??DDDD11y ?2?dy?ydx 0y2? 25

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