概率论与数理统计(经管类)第二章知识点总结

第二章 随机变量及其概率分布

1． 离散型随机变量

?P(X?xk)?pK?0? ?p?1?K??K例1 设 ，则c?1?0.5?0.2?0.3

------------------------------------------------------------------------------------------------ 8．知识点：离散型随机变量的分布律性质

下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A． C． 答案：C

解：A 事件概率不可能为负值 B，D

X P 0 1 2 D． X P 0 0.5 1 0.2 2 -0.1 B． X P 0 1 2 X P 0 0.3 1 0.5 2 0.1 1 32 54 151 21 31 4?P?1

ii返回：第二章 随机变量及其概率分布

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2．常见离散型随机变量

（1）0—1分布：设X～B(1,p)，则

应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X～B(1,p)，其中p?P(A)?P(X?1)?EX

例2 设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～B(1,p)

（2）二项分布：设X～B(n,p)，则P(X?k)?Cnp(1?p)

kkn?k,k?0,1,2,,n

应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X～B(n,p)，其中p?P(A)为事件A在一次抽样中发生的概率。

例３ 某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为0,1,?,5，

P(X?k)?C2k0.8k0.25?k，即X～B(5,0.8)

记住：若X～B(n,p)，则EX?np,DX?np(1?p)

------------------------------------------------------------------------------------------------ 9．知识点：事件的关系及二项分布

设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） A．1?(1?p)3 C．C3p(1?答案：A

解： 利用对立事件求解。

返回：2．常见离散型随机变量

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（3）泊松（Poisson）分布

若P(X?k)?1B．p(1?p)2 D．p?p2?p3

p)2

?Kk!e??,k?0,1,2,则称X服从参数?的泊松分布，且EX???DX，记X～B(?)，??0

应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当Y～B(n,p)，且n很大，P很小时，令??np，则P(Y?k)?

例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算

解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～B(100,0.005)，由于n很大，p很小，令??np?5

?kk!e??

50?551?5e?e?1?e?5?5e?5?1?6e?5 则（1）P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?0!1!5k?5（2）P(X?5)??e

k?0k!5------------------------------------------------------------------------------------------------ 10．知识点：泊松分布

在?0,T?内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知P(X?4)?3P(X?3)，则在?0,T?内至少有一辆汽车通过的概率为（ ）． A．1?e B．1?e答案： B 解：

?4?12 C．1?e D．1?e

312?44!???12e???3?33!e??

120?12P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?1?e?120!返回：（3）泊松（Poisson）分布

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3．随机变量的分布函数：X的分布函数为

F(X)?P(X?x)，???x??? F(x)的性质：①0?F(x)?1

②若x1?x2，则F(x2)?F(x1)?0 ③F(??)?0,F(??)?1

④P(X?b)?F(b)，P(a?X?b)?F(b)?f(a),P(X?b)?1?F(b)

?a?be??x,x?0例5 设X的分布函数F(x)??，其中??0，则a?______b=______.

x?0?0,??x解：由F(??)?1知a?1（因为F(??)?lim(a?be)?a）

x?????xF(x)?(a?be)?(1?b)?0 由F(??)?0，及题设x?0时F(x)?0，故lim?x?0?1?e??x,x?0综上有F(x)??，即a?1,b??1

x?0?0,------------------------------------------------------------------------------------------------ 11．知识点：分布函数性质

?a?e?2x,x?0,设随机变量X的分布函数为F(x)??则常数a=（ ）

0,x?0.?A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B

解： F(??)?lima?ex?????2x??a?1

返回：3．随机变量的分布函数：X的分布函数为

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x?1?0,?例6 设X的分布函数F(x)??lnx,1?x?e

?1,x?e?求 P(X?2),P(0?X?3),P(2?X?2.5) 解：P(X?2)?F(2)?ln2

P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1

P(2?X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25

------------------------------------------------------------------------------------------------ 12．知识点：离散型随机变量的分布函数 已知随机变量X的分布函数为（ ）

x?0?0?1?0?x?1?2F(X)??，则P?X?1??（）

2?1?x?3?3?1x?3?1 62C．

3A．

答案：A 解： P?X?1B．

1 2D．1

??2?1?1

326返回：例6

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4． 连续型随机变量

若P(X?(a,b))??baf(x)dx，其中a?b任意，则称X为连续型随机变量。

此时，F(x)??x??f(u)du；f(x)?F?(x)

?PK?0f(x)?0???其中 f(x)为X的概率密度，满足???（注意与分布律的性质：?相对照）

P?1?Kf(x)dx?1???K????

??c,x?1例7 设X的概率密度为f(x)??，则c=________

??0,x?1??11解：由?f(x)dx?1知?cdx?2c?1，故c?

???12------------------------------------------------------------------------------------------------ 13. 知识点：概率密度的性质

设随机变量X的取值范围是(-1,1)，以下函数可作为X的概率密度的是（ ）

?x,?1?x?1;A. f(x)??

其他.?0,?x2,B.f(x)???0,?1?x?1; 其他.?1?1?x?1;?,C.f(x)??2

其他.??0,答案：C

解：这个题目利用：

?2,?1?x?1;D.f(x)??

0,其他.??????f(x)dx?1验证即可。

返回：4. 连续型随机变量

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5．常见连续型随机变量

x?a?0,?1?x?a,a?x?b??（1）均匀分布：设X～U(a,b)，则f(x)??b?a，F(x)??,a?x?b

??b?a?0,其他x?b??1,a?b(b?a)2EX?，DX?

212

例8 设X～U(?a,a)，且P(X?1)?解：易知a?1且

?a11，则a=______ 3a111f(x)dx?，即?dx? 解得a?3

12a33------------------------------------------------------------------------------------------------ 14. 知识点：均匀分布

设随机变量X服从区间[0,5]上的均匀分布，则P?X?3??（ ） A．

1234 B． C． D． 5555答案：C

解：对于均匀分布，他的分布函数为：

x?a,?0,?x?a?F(x)??,a?x?b, 本题中a?0,b?5

b?a?x?b.??1,则有P?X?3??F(3)?3 5返回：5. 常见连续型随机变量

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??e??x,x?0?1?e??x,x?0（2）指数分布E(?)设X～E(?)，则f(x)??，F(x)??

x?0x?0?0,?0,EX?1?，DX?1?2

应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。

例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X～E(?)） 解：由题意所求为P(X?t)????t?e??xdx?e??t

------------------------------------------------------------------------------------------------ 15．知识点：指数分布

设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(x)，则F()?（ ） A．

131e1 B． C．1?e?1 D．1?e?1 3e33答案：C 解：

?1?e?3x,x?0F(x)???0,x?0

1?3?1?F()?1?e3?1?e?13返回：（2）指数分布

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（3）正态分布N(?,?2)，设X～N(?,?2)，则

f(x)?221e?(x??)/2?，???x??? 2??F(x)??f(u)du，EX??,DX??2

??x特别，当X～N(0,1)时，称X服从标准正态分布，其密度函数记为?(x)?x**12?e?x2/2分布函数记为

?(x)???(u)du

??常用公式：①若X～N(0,1)，则?(?x)?1??(x)，?(?x)??(x)

*P(X*?0)?P(X*?0)??(0)?P(X*?a)?2(1??(a)) P(X*?a)?2?(a)?1

1 2P(X*?1.96)?0.975，P(X*?uα)?α *

2②若X～N(?,?)，则P(a?X?b)??(b???)??(a???)

F(x)??(x???)

------------------------------------------------------------------------------------------------ 16. 知识点 正态分布

?(2)?0.9772，?(x)为标准正态分布函数,已知?(1)?0.8413，设随机变量X服从正态分布N（1，4），则PX?3?（ ）.

A．0.8185 B．0.9772 C．0.8413 D．0.8581 答案 ：A 解：

???3?1X?13?1X?1??)?P(?2??1)??(1)??(?2) 2222??(1)?(1??(2))??(1)??(2)?1?0.8413?0.9772?1?0.8185P(|X|?3)?P(?3?X?3)?P(返回：（3）正态分布

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6.简单随机变量函数的概率分布

例10 设

，求Y?X的概率分布。

22解：由题设，X的可能值为?1,0,1，故X的可能值为0,1

而P(Y?0)?P(X2?0)?P(X?0)?1 32 3P(Y?1)?P(X2?1)?P((X??1)?(X?1))?P(X??1)?P(X?1)?故

------------------------------------------------------------------------------------------------ 17. 知识点：随机变量函数的概率分布

袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，现从袋中同时取出3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，则

Y?X2?1的概率分布为（ ）

3161P(Y=10)?P(Y=10)?P(Y=10)?10101010A．P(y?17)?1 B．P(y?17)?3 C．P(y?17)?3 D．P(y?17)?6

101010106613P(y?26)?P(y?26)?P(y?26)?P(y?26)?10101010P(Y=10)?答案： B

解： X的可能取值，3，4，5三种情况

P(X=3)=11?C31052C33P(X?4)?3?C510

C264P(X?5)?3?C5101103

P(y?17)?106P(y?26)?10P(Y=10)?返回：6.简单随机变量函数的概率分布

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例11 设X～N(0,1)，求Y?X的分布密度函数

解：先求Y的分布函数：FY(y)?0，当y?0；当y?0时

2FY(y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)??(y)??(?y)

再求Y的分布密度函数

?fY(Y)?FY(y)?(?(y)??(?y))?

??(y)?12y??(?y)?12?y12y

?1y?(y)?e?y/2(y?0)

0,y?0??故fY(y)??1

e?y/2,y?0?2?y?

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