专转本高等数学练习册答案

现代教育专转本 配套练习

第一章 函数练习题参考答案

一、选择题

1.（ A ） 2.（ D ）3.（ A ）4.（ B ）5.（ D ）6.（ B ）7.（ C ）8.（ C ）

二、填空题

1.设f(x)=ex，f[g(x)]=1-x,g(x)?0，则函数g(x)的解析式为g(x)=2ln?1?x? ?x?0?

ì?1,|x|￡12.设f(x)=?，则f{f[f(x)]}的解析式为fí???0,|x|>1?f??f?x????=1

3.若f(x)的定义域是(0,1)，则f(lnx)的定义域为（1，e） 4.函数f(x)=(5.函数f(x)=11+)sinx的奇偶性(a>0,a?1)是偶函数 ax-121x-2+arcsin的定义域为[?1,3)?(3,2) 2ln(4-x)3p 26.arctanx+arccotx=arcsinx+arccosx= 7.略8.略

三、解答题

1．把下列复合函数分解成简单函数 （1）y=x(x>0) （2）y=f[sin(2x+1)]

x2解：y=xx=exlnx所以：y=e,u=xlnx

2．略

u

解：y=f(u),u=v2,v=sinw,w=2x+1

3．有一个底半径为R，高为H的圆锥形蓄水池,以5m/min向其中灌水,求水池内水深与时间的关系 解：设水深为h（m），时间为t（min）

3?5t?R2H,0?t??2??R5 h?t??? 2?RH?H,t??5? 72

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第二章 函数的极限与连续练习题参考答案

一、选择题

1.（ D ） 2.（ C ） 3.（ D ） 4.（ C ） 5.（ C ） 6.（ B ） 7. （ D ） 8.（ D ） 9.（ B ）10.（ B ） 11．（ C ）12.（ C ） 13．（ A ） 14．（ A ） 15．（ A ）16．（ A ）17.（ D ） 18.（ A ）19．（ C ） 20.（ B ）

二、填空题

nx2?x?a?3，则a?-2， 2. lim(1?mx)x?emn 1. limx?0x?2x?2x?1x2?x1?2)?e， 4. lim()x?e 3. lim(x??x?1x?02?x5. limx?01?x2?1?11ln(1?x2)?e2 ?， 6. lim(cosx)2x?02x217. 已知lim(3x?ax?x?1)?x???1，则a? 9 62x28．lim(1?3x)x?02sinx ＝6， 9．lim?1?ln(1?x)??e

x?010．若limx?0x2ln?1?x2?sinnxsinnx?0，则正整数n=3 ?0且limx?01?cosx三、解答题

x2+1-ax-b)=0，求常数a、b 1．已知lim(xx+11?a?x2??a?b?x?b?x2?1???ax?b??lim 解：lim? x??x??x?1?x?1???1?a?x2??lim???a?b??0??0 x??x?1???1?a?0?a?1 ?????a?b?0?b??12．已知limsinx(cosx?b)?5，求常数a、b

x?0ex?ax?0x解：由limsinx(cosx-b)=0得lim(e-a)=0，所以a?1

x?0从而limxsinxxx(cosx-b)=lim(cosx-b)=lim(cosx-b)=1-b=5，所以b??4

0ex-ax0ex-1x0x73

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??1x??e?a,x?03．设f?x???且limf?x?存在，求a 的值

x?01?cosx?,x?0?x?1?lim??1??xx?0x解：lime?a?e?a?0?a?a ??x?0???x?0lim?1?cosx?limx?0?x1x2??x?222?lim2??， ?a??x?0?x2x2?1?ex,?4． 讨论f(x)??0,?lnx?,?x?1解：（1）在x?0处，

x?00?x?1在x?0,x?1的连续性 x?1lime?0,lim0?0且f?0??0 ?x?01xx?0??f?x?在x?0处连续

（2）在x?1处，

x?1?lim0?0,

x?1lim?ln?1?t?lnxx?1?t?lim?1 ?x?0x?1t?f?x?在x?1不连续

ì1??x10xarctan25．已知f(x)=?，，试讨论f(x)在点x?0处的连续性 xí?x=0?0,??解： limf?x??limx?arctanx?0x?01 2x1有界，x是无穷小量 x21?limx?arctan2?0 即limf?x??0

x?0x?0xarctan?limf?x??f?0?

x?0?f?x?在点x=0处连续。

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ì?1-etanx?,x>0??x6．已知f(x)=íarcsin2 在x=0处连续，求a的值.

??2x?x￡0??ae,1?etanx?tanxfx?lim?lim??2 解：lim??x?0?x?0?xx?0?xarcsin22x?02xlimfx?limae?a ????x?0f?x?在x?0处连续

?limf?x??limf?x? 即a?2 ?x?0x?0??11arcsinx?x7．计算极限：limesin??? 2x?0?xx??11arcsinxx11xxlim?lim?1 故 原式=1 解：sin2?1,lim又e?0?limesin?02?x?0x?0x?0x?0xxxx8．计算极限：lim3x?9x2?2x?1 x?????解： 原式

有理化x???lim9x2??9x2?2x?1?3x?9x?2x?12?lim?2x?13x?9x?2x?12x???

1?21x?lim??? x???3213?33?9??2xx?2?9．计算极限：limx?01?tanx?1?sinx

x?1?cosx?tanx?sinxx(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) 解：原式

有理化limx?0?limtanx(1?cosx)1?

x?0x(1?cosx)2?lim

tanx11x1??lim?

x??x22x?0x2(n?1)x求f(x)的间断点及其类型。

n??nx2?110．设f(x)?lim解：f?x?的间断点只可能出现在x=0处

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x?n?1?x?limlimnx?x?limlimn

limf?x??limlim2x?0x?0n??nx?1x?0n??nx2?1x?0n??21x?nx1 ?lim2?lim

x?0xx?0x11???lim??? ?lim，

x?0?xx?0?xx??x?0是f?x?的第二类间断点

11．设函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)?0，f(1)?1，

证明???(0,1)，使f(?)??2

证明：设g?x??f?x??x2 ，f(x)连续则g(x)连续

g(0)?f?0??0?1 ，g(1)?f?1??1?0 ?g(0)?g?1??0

根据介值定理，存在???0,1?使得g????0 即f?????2?0，f?????2

?命题得证。

12．证明方程x?asinx?b(a?0,b?0)至少有一个不超过a?b的正实根

证明：令f?x??x?asinx?b

f?a?b??a?asinx?0

当f?a?b??0时，x?a?b

当f?a?b??0时，f?0???b?0时，根据介值定理 存在???0,a?b?，使得f综上所述，命题得证。

????0 即??asin??b?a?b

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第三章 函数的导数与微分练习题参考答案

一、选择题

1.（ C ） 2.（ B ）3.（ C ）4.（ B ） 5.（ B ） 6.（ B ） 7.（ D ）8.（ D ） 9. ( D ) 10. ( D ) 11. ( A )12.（ C ）13.（ C ）14. ( A ) 15. （ B ）

二、填空题

1．设f￠(x0)=A，则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)=2A

hf(3x)=3

x?0sin2x2．已知f(0)=0,f￠(0)=2，则极限lim3．lim?y?dy?0，4．直线l与x轴平行，且与曲线y?x?ex相切，则切点坐标是?0,?1?

?x?0?x?d2y1?t2?x?ln1?t25．设?，确定y?y?x?，则2=

dxt??y?t?arctant6．设f(0)=0，且极限limx?0f(x)f(x)?f?(0) 存在，则limx?0xxex1?exnn?1?n?dxdy?7．设y?ln，则，8．设，则fx?ax?ax???ax?af0?=n!a0 ???01n1?02xxe?11?e三、解答题

1．设f(x)=?证明：

0?x?1?1?x,，证明f?(1)??1 ?(1?x)(2?x),1?x?2x?1x?1?limf?x??1?1?0,limf?x??0 ?x?1?limf?x??limf?x??f?1?即f?x?在x=1点处连续 ??x?1f?1??x??f?1???1?x?0?x2f?1??x??f?1?2?x??x?3?xf???1??lim??lim???1

?x?0?x?0?x?x?f??1???1又f???1??lim?1?u?xsin,x?02．设f?x???，证明（1）当u?0时f?x?在x?0连续， x??0,x?0（2）当u?1时，f?x?在x?0可导

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解：（1）

limxusinx?01u?0时?1u?0?0?sin?1,limxu0?

x?0xx???当u?0时，f?x?在x?0连续 1x?limxu?1sin1u?1时0?(2)lim?x?0x?0x?1x?xusin当u?1时，f?x?在x?0可导

总之，当u?0时，f?x?在x?0连续，当u?1时，f?x?在x?0可导 3．设对于任意的x，函数满足f?1?x??af?x?且f??0??b,证明f??1??a?b 证：令x?0，f?1?0? ?af?0?，即f?1??af?0?

sin1u?1??1,limxu?10?

x?0x?f??1??limx?0f?1?x??f?1?x ?limx?0af?x??af?0?x?af??0??a?b 证毕

?lncos(x?1)??x1?sin?24．设函数f(x)????1?x?1x?1，问函数在x?1处是否连续？

若不连续，修改函数在x?1处的定义使之连续

1??sin?x?1?lncos?x?1?cos?x?1?sin?x?1?2解：limf?x??lim ?lim?lim?x?1x?1x?1x?1?????1?sinx?cosx?cos?x?1?cosx22222sin?x?1?2cos?x?1?4?2??lim??lim???????2 x?1?x?1????????cosx?sinx?2222所以令f(1)??4?2，则函数在x?1处连续

5．设y?xarcsinx?4?x2，求y?及y?? 2解：(1) y??arcsinx?x212?x?1????2?2??2x24?x2?arcsinxxxx???arcsin 224?x24?x2 78

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x???(2)y????arcsin??2???x?????2??x?1????2?2?14?x2

骣1÷6．设y=?，求y? （x>0）÷?÷?桫x解：y?x?x ?lny??xlnx两边取对数

x??1?x两边求导?y???lnx?1,y????lnx?1??y， ?y??? ?lnx?1?xy7．设 y?x?sinx?cosx，求y?

解：lny?lnx?cosxlnsinx，

11cosxy???sinx?lnsinx?cosx yxsinx?1cos2x?y??x?sinx????sinxln?sinx?? ?xsinx?dyd2y8．设方程为xy?lnx?lny?0,求及2 dxdxcosx解：两边求导：y?xy??11y??y??0?y??? xyx1y???y?y?y???0 22xy 对上述方程再次求导：y??y??xy??? 把y???y2y代入上述方程并化简得：y???2 xx9．设y=y?xln(x?1?x2)，求y? 解：y??lnx?1?x2?x?10．设y=y(x)满足方程ln解：对方程两边求导：

???xx?2 ?lnx?1?x???1??2221?xx?1?x?1?x?1??x2?y2?arctany，求y? x12x?2y?y?1y?x?y????2x2yx2?y22x2?y2?????1 ?x?x?y化简后得y?=x?y1

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x2?11(arctanx)2?xarctanx?ln(1?x2)，求dy 11．设y?22x2?11x11?2arctanx??arctanx????2x 解：y??x?arctanx??22221?x1?x21?x2?x?arctanx??arctanx?arctanx??dy?x?arctanx?dx

22xx2?xarctanx? ??221?x1?x12．设f?x?在x?1有连续导数，且f??1??2，计算lim?x?0dfcosx dx??解：

d1fcosx?f?cosx??sinx? dx2x??????原式?lim?x?0?sinx2xf?cosx????1f??1???1 213．若曲线y?x2?ax?b与2y??1?xy3在点?1,?1?相切，求常数a,b 解：求两曲线的斜率在y?x?ax?b上，y??2x?a,y??1??2?a

2在y??1?xy上，2y??y?3xyy?,y??1??1 332求a,b之值：依题意，

两曲线在点?1,?1?相切，

?2?a?1,a??1,又点?1,?1?在曲线y?x2?x?b上 ??1?12?1?b,b??1

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第四章 中值定理与导数的应用练习题参考答案

一、选择题

1．（ A ） 2．（ A ） 3．（ B ） 4．（ D ） 5．（ B ） 6．（ D ） 7．（ A ） 8．（ C ） 9．（ B ） 10．( B ) 11．（ C ） 12．（ C ） 13．（ A ） 14．（ B ） 15．（ B ）

二、解答题

1．证明：xln(x?1?x2)?1?x2?1,(x?0)

证明：令f?x??xlnx?1?x2?1?x2?1?x?0?

??f??x??lnx?1?x2?x???1?x1?x2?x x?1?x21?x2?lnx?1?x2?0?x?0?

?f?x?在?0,???上是单调递增函数,?f?x??f?0??0

??即xlnx?1?x?2??1?x?12

x32．证明：arctanx?x?，(x>0) 3x31x42?1?x??0 证明：令f?x??arctanx?x?，f??x??31?x21?x2?f?x?单调递增,?f??x?

?f0??0??x0?

x3即arctaxn?x?3x3．当x?0时,证明e??1?x??1?cosx成立

证：令f?x??ex?(1?x)?1?cosx?e?x?cosx?2

xf??x??ex?1?sinx(一阶导数符号不易判定,借助f???x?) f???x?=ex?cosx?0?x?0?，所以f??x?单调增，又f??0??0

得f??x??f??0??0?f??x??0?f?x?单调增加

f?x?在?0,???单调增,且f?0??0,?f?x??f?0??0

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