北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学文试题Word版含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习

数学试卷（文科） 2016.4

本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．

1．已知集合A＝?x?z|?2?x?3?，B＝?x|?2?x?1?，则AA．??2,?1,0?

B＝

B．??2,?1,0,1?

C．?x|?2?x?1? D．?x|?2?x?1?

2、已知向量a?(1,t),b?(t,9)，若ab，则t ＝ A．1

B．2

C．3

D．4

3．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为 A．－1 B．1 C．－i D．i

?x?y?2?01?4．若x，y 满足?x?y?4?0，则z?x?y的最大值为

2?y?0?5 B．3 27C． D．4

2A．

5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A．

33 B． 322326 D．33

C．

6、已知点P(x0,y0)在抛物线W：y?4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为 A、

213 B、1 C、 D、2 227．已知函数f(x)???sin(x?a),x?0?，则“??”是“函数f(x)是偶函数“的

4?cos(x?b),x?0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是

A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作 C．丙可以不承担第三项工作 D．获得的效益值总和为78

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数y?2x?2的定义域为＿＿＿

10．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n2?4n，则a2?a1＝_______．

?x2y211．已知l 为双曲线C：2?2?1的一条渐近线，其倾斜角为，且C 的右焦点为（2,0），

4ab点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．

1112．在,23.log32这三个数中，最小的数是_______．

213．已知函数f(x)?sin(2x??)，若f(5?)?f(?)?2，则函数f(x)的单调增区间为1212?＿＿

14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝?X1,X2,,Xk?，均满足?Xi,Xj?M,?Xs,Xt?M，使得直线XiXj?XsXt，则k的所有可能取值是＿＿＿

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C＝

2?，a?6． 3（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积为33，求c的值．

16．（本小题满分13 分）

已知数列?an?是等比数列，其前n项和为Sn，满足S2?a1?0，a3?12。 （I）求数列?an?的通项公式；

（II）是否存在正整数n，使得Sn＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。 17．（本小题满分14 分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB． （Ⅰ）求证： 平面PBC⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD； （Ⅲ）当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。

18．（本小题满分13 分） 一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。

（I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

2222（II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s1，s2，试比较s1与s2的

大小（只需直接写出结果）；

（III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）

19．（本小题满分14 分）

x2y23已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，

ab2且｜AB｜＝2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13 分）

1?x ex（Ⅰ）求曲线y?f (x)在点（0，f（0））处的切线方程；

已知函数f (x) ＝

（Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意x1,x2?[a,??)，都有f(x1)?f(x2)??

1成立，求实数a的最小值。 2e

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（文科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

9． [1,??) 10． 2 x2y2 11. (2,0),??1 2212．

1 2 13．[?5ππ5， 6， 7， 8 ?kπ,?kπ],k?Z 14． 1212说明：1.第9题,学生写成 x?1的不扣分 2.第13题写成开区间 (?5ππ?kπ,?kπ),k?Z的不扣分, 1212 没有写k?Z的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分

只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一：

在?ABC中，因为

ac?， ……………………….2分 sinAsinC614? 即sinA3 ……………………….3分

2所以sinA?33. ……………………….5分 14

方法二：过点B作线段AC延长线的垂线，垂足为D 因为?BCA?A2ππ，所以?BCD? ……………………….1分 3314在Rt?BDC中，BD?3BC?33 ……………………….3分 2BD33 ……………………….5分 ?AB142πB63C在Rt?ABD中，sinA?（Ⅱ）方法一： 因为S?ABC?所以33?D1?a?b?sinC. ……………………….7分 213解得b?2. ……………………….9分 ?6??b，

22又因为c2?a2?b2?2a?b?cosC. …………………….11分 所以c?4?36?2?2?6?(?),

所以c?52?213. …………………….13分

方法二：过点A作线段BC延长线的垂线，垂足为D 因为?ACB?又因为S?ABC即33?所

2122ππ , 所以?ACD?. 331??BC?AD, ……………………….7分 2A1?6?AD , 2以

B62π3C13DA?3?D.

……………………….9分

在Rt?ABD中，AB2?BD2?AD2. ……………………….11分 所以AB?52?213. 16.解：

(Ⅰ) 设数列?an?的公比为q，

因为S2?a1?0，所以2a1?a1q?0. ……………………….1分 因为a1?0,所以q??2, ……………………….2分 又因为a3?a1q2?12， ……………………….3分 所以a1?3, ……………………….4分 所以an?3?(?2)n?1（或写成an??

…………………….13分

3?(?2)n） ……………………….7分 2

说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给2分

(Ⅱ)因为

Sn?n?3??1?(?2)??1?(?2)?1?(?2)n. ……………………….10分

nn令Sn?2016, 即1?(?2)?2016，整理得(?2)??2015. ……………………….11分 当n为偶数时，原不等式无解；

当n为奇数时，原不等式等价于2?2015，解得n?11，

所以满足Sn?2016的正整数n的最小值为11. ……………………….13分

17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，AB?BC. ……………………….1分 因为PA?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA?BC. ……………………….2分 又ABnPA?A，AB,PA?平面PAB， ……………………….3分

所以BC?平面PAB. ……………………….4分 因为BC?平面PBC, 所以平面PBC?平面PAB. ……………………….5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知, BC?平面PAB，PB?平面PAB，所以BC?PB. ……………………….6分 在?PBC中，BC?PB，MN?PB， 所以MN//BC， ……………………….7分 又BC?平面ABCD，MN?平面ABCD， ……………………….9分 所以MN//平面ABCD. …………………….10分

（Ⅲ）解：因为MN//BC, 所以MN?平面PAB， …………………….11分 而AM?平面PAB，所以MN?AM， 所以AM的长就是点A到MN的距离， 而点M在线段PB上

所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离， 在Rt?PAB中，AB?3,PA?4,所以A到直线MN的最小值为125.

18.解:

（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为x1,x2 .

则x1?64?76?77?784?73.75 x56?79?76?70??88?872?6?76

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.

（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A， 男生按成绩由低到高依次编号为a1,a2,a3,a4， 女生按成绩由低到高依次编号为b1,b2,b3,b4,b5,b6，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 (a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a1,b5)，(a1,b6)， (a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，(a2,b5)，(a2,b6)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,b3)，(a3,b4)，(a3,b5)，(a3,b6)，(a4,b1)，(a4,b2)，(a4,b3)，(a4,b4)，(a4,b5)，(a4,b6)，其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分 …………………….13分 …………………….14分 ……………………….2分

……………………….4分

……………………….7分 ……………………….8分

…………………….10分

…………………….12分

(a2,b3)，(a2,b4)，(a2,b5)，(a2,b6)，

(a3,b3)，(a3,b4)，(a3,b5)，(a3,b6)，(a4,b2)，(a4,b3)，(a4,b4)，(a4,b5)，(a4,b6)

所以P(A)?121?， 2421. …………………….13分 即两名同学成绩均为优良的概率为2 19. 解：

（Ⅰ）由已知AB?2，得知2b?2，b?1, 又因为离心率为32，所以c3a?2. 因为a2?b2?c2，所以a?2,, 所以椭圆C的标准方程为x24?y2?1.

（Ⅱ）解法一：假设存在. 设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,?1)， 所以AP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0BP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0 令x?4，分别可得m?4(y0?1)4(y0x?1，n??1)?1， 0x0 所以MN?m?n?2?8x， 0 线段 MN的中点(4,4y0x)， 0 若以MN为直径的圆经过点(2,0)，

……………………….1分

……………………….2分 ……………………….4分

……………………….5分

……………………….6分 ……………………….8分 ……………………….9分 ……………………….10分 则(4?2)2?(4y04?0)2?(1?)2, ……………………….11分 x0x08x02因为点P在椭圆上，所以?y02?1，代入化简得1??0， ……………………….13分

4x0所以x0?8， 而x0??2，2，矛盾，

所以这样的点P不存在. ……………………….14分 ??

解法二：

假设存在，记D(2，0). 设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,?1)， 所以AP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0BP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0令x?4，分别可得m?4(y0?1)x?1，n?4(y0?1)?1， 0x0所以 M(4,4(y0?1)x?1),N(4，4(y0?1)x?1) 00因为MN为直径，所以DM?DM?0

所以 DM?DN?(2,4(y0?1)x?1)?(2,4(y0?1)?1)?0 0x0所以 DM?DN?4?16y20?(4?x0)2x2?0 0因为点P在椭圆上，所以x204?y20?1， ??4x22代入得到DM?DN?40?8x0?x20x2?8x0?x02?0 0x0所以 x0?8，这与 x0?[?2,2]矛盾 ……………………….6分 ……………………….8分 ……………………….9分 ……………………….11分 ……………………….12分

……………………….13分 ……………………….14分

所以不存在

法三 ：

假设存在，记D(2，0) , H(4，0) 设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,?1)， 所以AP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0BP的直线方程为y?y0?1xx?1， 0令x?4，分别可得m?4(y0?1)x?1，n?4(y0?1)?1，0x0所以 M(4,4(y0?1)x?1),N(4，4(y0?1)?1) 0x0因为DH?MN, 所以DH2?HN?HM 所以 4?|4(y0?1)4(y0?1)x?1|?|?1| 0x016y22所以4=|0?16?8x0?x0x2| 0因为点P在椭圆上，所以x204?y20?1， 代入得到4?|8?5x0x|, 0解得x0?8或x80?9 当x0?8时，这与 x0?[?2,2]矛盾 当x0?89时，点M,N在x轴同侧，矛盾 所以不存在

20.解：（Ⅰ）因为f'(x)?x?2ex， 所以f'(0)??2. ……………………….6分 ……………………….8分 ……………………….9分 ……………………….11分 ……………………….12分

……………………….13分 ……………………….14分 ……………………….1分 ……………………….2分

因为f(0)?1，所以曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x?y?1?0.……………………..4分 （Ⅱ）令f(x)?1?x?0，解得x?1， xe所以f(x)的零点为x?1. ……………………….5分 由f'(x)?x?2?0解得x?2， ex则f'(x)及f(x)的情况如下：

x

f'(x) f(x)

(??,2)

?

2 0 极小值

(2,??)

?

?1 2e ……………………….7分 所以函数f(x)在x?2 时,取得极小值? （Ⅲ）法一：

1 ……………………….8分 e21?x?0. ex1?x当x?1时，f(x)?x?0. ……………………….9分

e当x?1时，f(x)?若a?1，由（Ⅱ）可知f(x)的最小值为f(2)，f(x)的最大值为f(a)，…………………….10分 所以“对任意x1,x2?[a,??)，有f(x1)?f(x2)??即?11恒成立”等价于 f(2)?f(a)??22ee11?a1， ……………………….11分 ???e2eae2解得a?1. ……………………….12分 所以a的最小值为1. ……………………….13分 法二：

1?x?0. ex1?x当x?1时，f(x)?x?0. ……………………….9分

e当x?1时，f(x)?且由（Ⅱ）可知，f(x)的最小值为f(2)??1， ……………………….10分 e2若a?1，令x1?2,x2?[a,1)，则x1,x2?[a,??) 而f(x1)?f(x2)?f(x1)?0?f(x1)?f(2)??1，不符合要求， e2所以a?1. ……………………….11分 当a?1时，?x1,x2?[1,??),f(x1)?0,f(x2)?0 所以f(x1)?f(x2)?f(x1)?0?f(2)??1e2，即a?1满足要求， 综上，a的最小值为1. 法三：

当x?1时，f(x)?1?xex?0. 当x?1时，f(x)?1?xex?0. 且由（Ⅱ）可知，f(x)的最小值为f(2)??1e2， 若2?[a,??)，即a?2时，

令x1?2,则任取x2?[a,??), 有f(x11)?f(x2)?f(2)?f(x2)??e2?f(x2)??1e2 所以f(x2)?0对x2?[a,??)成立，

所以必有x2?1成立，所以[a,??)?[1,???)，即a?1. 而当a?1时，?x1,x2?[1,??),f(x1)?0,f(x2)?0 所以f(x1)?f(x2)?f(x1)?0?f(2)??1e2，即a?1满足要求， 而当a?2时，求出的a的值，显然大于1，

综上，a的最小值为1.

……………………….12分 ……………………….13分

……………………….9分

……………………….10分

……………………….11分 ……………………….12分 ……………………….13分

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