《多体动力学》课程讲稿
多体动力学
摘要
多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。
目录
引言 ................................................................................................................................................................ 3 1
矢量 ........................................................................................................................................................ 4 1.1 矢量的定义及符号 ................................................................................................................. 4 1.2 矢量的基本运算 ..................................................................................................................... 5 1.3 单位矢量的定义和符号 ......................................................................................................... 6 1.4 零矢量的定义和符号 ............................................................................................................. 6 1.5 平移规定................................................................................................................................. 6 习题一 .................................................................................................................................................... 6 坐标系 .................................................................................................................................................... 7 习题二 .................................................................................................................................................... 8 矢量的坐标阵和坐标方阵 ..................................................................................................................... 8 习题三 .................................................................................................................................................. 10 方向余弦矩阵 ...................................................................................................................................... 10 4.1 方向余弦矩阵的定义 ........................................................................................................... 10 4.2 方向余弦矩阵的用途 ........................................................................................................... 12 4.3 方向余弦矩阵的性质 ........................................................................................................... 14 习题四 .................................................................................................................................................. 16 欧拉角 .................................................................................................................................................. 17 5.1 欧拉角的定义 ....................................................................................................................... 17 5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系 ........................................................................................... 17 5.3 欧拉角的奇点 ....................................................................................................................... 19 5.4 确定欧拉角的几何法 ........................................................................................................... 20 习题五 .................................................................................................................................................. 21 矢量在某参照物内对时间的导数 ....................................................................................................... 22 习题六 .................................................................................................................................................. 24 角速度 .................................................................................................................................................. 24 习题七 .................................................................................................................................................. 26 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 ................................................................................... 26 习题八 .................................................................................................................................................. 28 矢量在两参照物内对时间导数的关系 ............................................................................................... 29 习题九 .................................................................................................................................................. 30 角速度叠加原理........................................................................................................................... 31 习题十 .................................................................................................................................................. 32 角加速度 ...................................................................................................................................... 32 习题十一 .............................................................................................................................................. 32
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
《多体动力学》课程讲稿
12
角速度与欧拉角对时间导数的关系 ........................................................................................... 33 习题十二 ............................................................................................................................................... 35 点的速度和加速度 ....................................................................................................................... 35 习题十三 ............................................................................................................................................... 37 刚体上固定点及动点的速度与加速度 ....................................................................................... 37 14.1 刚体上固定点的速度与加速度 ........................................................................................... 37 14.2 刚体上动点的速度与加速度 ............................................................................................... 40 习题十四 ............................................................................................................................................... 41 刚体的动力学方程 ....................................................................................................................... 41 15.1 并矢 ....................................................................................................................................... 41 15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩................................................................................ 44 15.3 达朗贝尔原理和动力学方程 ............................................................................................... 46 习题十五 ............................................................................................................................................... 47 约束方程 ....................................................................................................................................... 47 习题十六 ............................................................................................................................................... 49
13
14
15
16
参考文献 ....................................................................................................................................................... 49
2
《多体动力学》课程讲稿
引言
多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。
将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。这里只涉及多刚体系统。
欲确定物体的位置、姿态、运动及所受作用力和力矩，例如确定车身在静平衡时的位置和姿态，在一定操纵输入下的运动，以及某种运动下的受力，需要列写和求解包含所关心未知量的方程。
方程包括动力学方程和约束方程。动力学方程是指力与运动间关系的方程。列写动力学方程的方法按依据的原理分为矢量力学方法和分析力学方法。这里只包括直观的矢量力学方法。约束方程是指针对各种约束模型如球铰列出的对物体位置及姿态的限制方程。
下面介绍列写上述方程需要的矢量运算规则、空间刚体的位置和姿态描述方法、运动学关系及达朗贝尔原理。
3
《多体动力学》课程讲稿
1 矢量
1.1 矢量的定义及符号
????ab角加速度。矢量用带箭头的符号表示，如，b，其大小用a及表示。
矢量是具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及
?b?c?c?b?b??a ?c?a?a ??图1.2-1 两矢量a和b的和为另一矢量 ??? a?b?c （1.2-1） ??a图1.2-2两矢量和b的差为另一矢量 ???a?b?c （1.2-2） ?d?b?a ??图1.2-3 两矢量a和b的点积为一数量 ????a?b?b?a?abcos? ........ （1.2-3） ??b????图1.2-4 两矢量a和b的叉积为另一矢量d ??a?b?b?a?a ?????........ （1.2-4） a?b??b?a?d,d?absin? ?c?c?b?a ???图1.2-5 三矢量a、b、c的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积 ???(a?b)?c? ???c的两重叉积为另一矢量，b、图1.2-6 三矢量a、它位于括号内两矢量所张成的平面内，而与括号外的矢量垂直 ?????????(a?b)?c?a?(b?c)?(c?a)?b ....................................................... （1.2-5） 4
??????????(a?b)?c?a?cb?b?ca ?????????? ................... （1.2-6）?a?(b?c)?a?cb?a?bc《多体动力学》课程讲稿
1.2 矢量的基本运算
???矢量的基本运算如图1.2-1~6所示。下面证明（1.2-6）的第一式。令a和b的夹角为?，在a和 ??????b所张成的平面内画出两个辅助矢量ga和gb，如图1.2-7所示，其中ga与a垂直，与b夹角小于
??1?????90°且ga?b?1，从而ga?，矢量gb与b垂直，与a夹角小于90°且gb?a?1，从而
bsin?g1asin?，由于(a??b?)?c?位于a?和b?b?所张成的平面内，故可设
(a??b?)?c??ma??nb?....................................................................................................... 其中m和n为两个待定常数，用g??（1.2-7）
a和gb分别点乘上式有
m?g????b?[(a?bn?g?)?c] ........................................................................................................ （1.2-8）
???a?[(a?b)?c].
......................................................................................................... （1.2-9） 利用混合积的性质有m?g?[(a??b?)?c?
]?[g???c?b?b?(a?b)]? ....................................................................... （1.2-10）n?g?[(a??b?)?c?]?[g????a?a?(a?b)]?c ........................................................................ （1.2-11）g?ab??a?g?b 图1.2-7 两重叉积证明
由于g?(a??b?b? b?)沿的反方向，且大小为 g??b?b?(a?)?gbabsin??b ........................................................................................ （1.2-12）从而g?
a??b?)??b?b?( .............................................................................................................. （1.2-13）同理由于g??(a??b??a)沿a的正向，且大小为 g??(a??b?a)?gaabsing??a ..................................................................................... （1.2-14）从而g?
(a??b?)?a?a? ................................................................................................................. （1.2-15）于是有
m??b??c? .n?a??c?.......................................................................................................................... （1.2-16） .............................................................................................................................. （1.2-17）
例1.2-1矢量??在以n?为单位法向量的平面内的投影矢量??p为 ??p?n??(???n?) ................................................................................................................. （1.2-18） 5
《多体动力学》课程讲稿
1.3 单位矢量的定义和符号
?。单位矢量可以用来表示单位矢量定义为大小为单位1的矢量，用带“?”的符号表示，如x一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向及地面法方向。
1.4 零矢量的定义和符号
?大小为零的矢量定义为零矢量，用“0”表示。
1.5 平移规定
将一个矢量在空间平行移动，得到的矢量与原矢量相等。
例1.5-1 一个矢量和一个单位矢量点乘，则得到该矢量在单位矢量方向的投影。
?b??x ???bcos? ................................................................................................................................ （1.5-1） b?x
?1和x?2点乘为其夹角的余弦。 例1.5-2 两个单位矢量x图1.5-1 矢量的投影
?1?x?2?cos? ................................................................................................................................ （1.5-2） x
习题一
1. 试改正下面各矢量表达式中的错误写法：
????a1) 矢量与矢量b的点积为零：ab?0
????2) 矢量a与矢量b的叉积为零矢量：a?b?0
????3) 矢量a与矢量b的叉积为矢量c：a?b?c
????????4) 矢量b与c的叉积为一个矢量，矢量a与该矢量叉乘得矢量d：a?b?c?d
?，与平面成一般角度的单位矢量为e?，试画图验证如下两个单2. 设某平面M的法向单位矢量为n?在该平面的投影方向： 位矢量都沿e??(e??n?)??n1) f ??n?e2)
??g??e??n?n?e
??e??n?n?e??g?。 3. 试证明习题2中的两个单位矢量相等：f?夹角为最小的单位矢量。 4. 试在2题的M平面中找到与e?????5. 已知二矢量a和b不共线，若xa?yb?0，试证明：x?0，y?0。
??6. 空间一点O到某线段AB两端点的位置矢量分别为a和b，试证明点O到线段中点的位置矢量
??a?b为。
2???a7. 空间一点O到某三角形ABC三顶点的位置矢量分别为、b和c，试证明点O到三角形形心
6
《多体动力学》课程讲稿
???a?b?c（中线交点）的位置矢量为。
3????8. 空间一矢量a，试借助另一与a不平行的矢量b找到两个与a垂直且相互垂直的矢量。
???，9. 定轴转动刚体轴线方向单位矢量为p刚体上任意矢量为a，当刚体绕轴线转过?角之后，a变
????及?表示a1。 为a1，试用a、p
2 坐标系
坐标系是指由固定在一起的三个相互垂直的单位矢量组成的右手直角坐标系，三个单位矢量的?、y?的正方向，再转?及z符号可以人为规定，如x?，所谓右手坐标系是指伸出右手，四指先指向x?的正向，此时拇指指向z过90度绕向y?的正向的坐标系，若指向z?的负向，则为左手坐标系，我们
所使用的都是右手坐标系。 通常在大地上要建立一个全局坐标系，称为GCS（Global Coordinate System），用来对整个多体系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为BCS（Body Coordinate System），一方面用来描述物体在GCS内的位置和姿态，另一方面，为物体上的点或其它坐标系提供局部的确定位置和姿态的标准。此外，在物体上可以根据需要建立其它的坐标系，例如，为描述物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。
根据平行四边形法则有任一矢量在某坐标系中的分解： ????yy???zz? ..................................................................................................................... （2-1） ???xx如图2-1所示，其中?x,?y,?z称为矢量?在三个轴上的投影、分量或坐标，且有
?? ........................................................................................................................................ （2-2） ?x???x?? ....................................................................................................................................... （2-3） ?y???y?? ........................................................................................................................................ （2-4） ?z???z
???zz???z?y?x??yy??xx图2-1 矢量在坐标系内的分解
?和一个坐标系的三个单位矢量x?,y?,z?分别点乘，则得到该单位矢量在这个坐例2-1 一个单位矢量e标系里的三个方向余弦 ??x??cos? e.................................................................................................................................... （2-5） ??y??cos? ................................................................................................................................... （2-6） e
??z??cos? .................................................................................................................................... （2-7） e
7
《多体动力学》课程讲稿
且根据（2-1）有
??e??x?x??e??y?y??e??y?y??cos?x??cos?y??cos?z? .................................................................. （2-8） e
例2-2 一个坐标系的三个单位矢量间的点乘和叉乘关系为
??x??1,?x?y??x??0,??z??0,??x?????x?x?0,?y??x???z?,???y?,??x?z??y??0,x??y??1,y??z??0x??z??0y??0,z??y??z??1z .................................................................................... （2-9）
??y??z??z??,x???yx???y??0,??z???xyy????x?,z??y??z??0z习题二
1. 试说明一个右手坐标系只要两个单位矢量确定了，另外一个单位矢量就可随之确定。
?、y?及z2. 将一个坐标系放于镜子前，镜中像为一个左手坐标系。设坐标系的单位矢量x?的像分
?、y?和z?，现在只保留像x?，并按右手坐标系的约定确定一个新的右手坐标系，?及z别为x?，试利用x?、y?表?、y?、z?，设镜面向外的法向单位矢量为n?和z其三个单位矢量分别x?及n''''''\'?、y?。 ?和z示x'\'3 矢量的坐标阵和坐标方阵
对矢量进行运算可以借助于它的坐标阵和坐标方阵。
??，y?和z设某坐标系的三个单位矢量分别为x?，矢量a在该坐标系的各方向上有三个投影：
ax,ay和az，则由（2-1）式知a可表示为
???ayy??azz? ..................................................................................................................... （3-1） a?axx?a在该坐标系内的坐标阵定义为
?ax?? ......................................................................................................................................... （3-2）
a??ay????az???坐标方阵定义为
?同样，对于矢量b，在同一坐标系内也有 ???byy??bzz? ...................................................................................................................... （3-4） b?bxx?bx??b??by?? ......................................................................................................................................... （3-5） ??bz??8
?0~??aa?z??ay??az0axay???ax? ............................................................................................................. （3-3） 0??《多体动力学》课程讲稿
?0~?b??bz??by?于是
?bz0bxby???bx? .............................................................................................................. （3-6） 0??????ayy??azz??byy??bzz?)?(bxx?)?axbx?ayby?azbz?aTb?bTa ............. （3-7） a?b?(axx这是用坐标阵计算矢量点乘的关系式。由于一个矢量在不同的坐标系内会有不同的坐标阵，所以进
行两个矢量点乘运算时，必须使用其在同一个坐标系内的坐标阵。
???按定义有两个矢量a和b的叉积为另一矢量d ?????ayy??azz??byy??bzz?)?(bxx?)d?a?b?(axx???xyz ........................... （3-8）
??(azbx?axbz)y??(?aybx?axby)z??axayaz?(?azby?aybz)xbxbybz?则d在同一坐标系内的坐标阵为
?dx???azby?aybz????ab?ab? ....................................................................................................... （3-9）
d??dxz??y??zx???dz?????aybx?axby?而按矩阵相乘有如下两等式成立
?0?azay??bx???azby?aybz???????a0?ab?ab?ab........................................................................... （3-10） x??y?xz? ?z?zx??ayax?0??bz????????aybx?axby??0?bzby??ax???azby?aybz??????ab?ab? ........................................................................ （3-11） ??bz0?bx??axz??y??zx??bybx?0??az????????aybx?axby?于是
~~b??bd?aa ............................................................................................................................... （3-12）
这是用坐标阵表示的叉乘关系式。同样需要强调的是，进行两个矢量叉乘运算时，必须使用其在同一个坐标系内的坐标阵或坐标方阵。矢量运算与相应坐标阵运算的对应关系见表3-1。 表3-1 矢量运算和相应坐标阵运算的关系 矢量表达式 坐标阵表达式 ???c?a?b c?a?b ????a?b ?????d?a?b??b?a ?????(a?b)?c ????d?(a?b)?c ????d?a?(b?c) ??aTb?bTa ~~b??bd?aa ~b)Tc ??(a~a~b d??c~~bd?ac 规定零矢量的坐标阵和坐标方阵均用零矩阵0表示。 规定3乘3单位阵用E表示。
?、Y?和Z?，则它们在GCS内的坐标阵和坐标方阵分例3-1 设全局坐标系GCS的三个单位矢量为X
9
《多体动力学》课程讲稿
别为
?1??000?~??,X?
X??0?00?1???????0???010???0??001?~??,Y?
Y??1?000???????0????100???0??0?10?~??,Z?
Z??0?100???????1???000????Y??0在GCS内的坐标阵形式为 X?0?T??0 XY??100??1????0????Y??Z?在GCS内的坐标阵形式为 X
?000??0??0?~??1???0??Z XY??00?1????????010????0????1??
同一个矢量在不同坐标系内的坐标阵不同，但二者可以通过方向余弦矩阵进行转换。
习题三
1. 试写出下列矢量关系式在某一坐标系内的坐标阵形式：
???1) a?(b?c)
???2) a?(b?c)
2. 已知某车轮轮心在GCS内的坐标为（0，-800,300）（mm），印迹中心在GCS内的坐标为（-1，
-805，0）（mm），地面在印迹中心处对轮胎的垂直力为3000N，试求垂直力对轮心的力矩矢量在GCS内的坐标阵。
?????????Y?，某坐标3. 已知GCS的三个单位矢量分别为XG、YG和ZG，矢量a?XG?YG，b?XGG???s沿b向，?s沿a向，x系s的单位矢量z试求坐标系s的三个单位矢量在GCS内的坐标阵和坐标
方阵。
4 方向余弦矩阵
4.1 方向余弦矩阵的定义
?,y?,z?,y?,z?和x?，且分别称之为r坐标系和b坐标设有两个坐标系，其单位矢量分别为x系，如图4.1-1所示。
10
rrrbbb
《多体动力学》课程讲稿
?by?bx?bz?ry?rx?rz
利用b坐标系各单位矢量在r坐标系内的九个方向余弦可以构造出以下表格中右下角的3?3矩阵
图4.1-1 r坐标系和b坐标系
A?rx?ry?rzrb?bx?b?x?rx?b?y?rx?b?z?rx?rx?r?x?bx?r?y?bx?r?z?bxbr?by?b?x?ry?b?y?ry?b?z?ry?ry?r?x?by?r?y?by?r?z?by?bz?r?b?xz .................................................................................................. （4.1-1） br???yz?b?z?rz?rz?b?r?xz .................................................................................................. （4.1-2） rb???yz?r?z?bz称之为b坐标系相对r坐标系的方向余弦矩阵。同样可以构造出r相对b的方向余弦矩阵
A?bx?by?bzbr比较有
A?(A)T .................................................................................................................................. （4.1-3）
即二者是互为转置关系。
由（2-1）式知，设给定A为
rb
rb?a11rbA???a21??a31a12a22a32a13?a23?? ................................................................................................................. （4.1-4） a33??则b坐标系的任一单位矢量可用r的单位矢量表示，例如
?b?a12x?r?a22y?r?a32z?r ............................................................................................................ （4.1-5） y同样，r的任一单位矢量也可用b的表示，例如
?b?a32y?b?a33z?r?a31x?b ............................................................................................................ （4.1-6） z
?转90度，如图4.1-2所示，则b相对G例4.1-1 设有b坐标系开始时与G坐标系重合，然后绕ZG和G相对b的方向余弦矩阵分别为
A?XG?YG?ZGGb?bx010?X?by?100?Y?bz0 ....................................................................................................................... （4.1-7） 01?ZGA?bx?y?bzbGGG0?10
100001b .................................................................................................................... （4.1-8）
11
《多体动力学》课程讲稿
?ZG?YG?bz?XG?bx?by图4.1-2 b坐标系和G坐标系
4.2 方向余弦矩阵的用途
? 方向余弦矩阵的用途之一
方向余弦矩阵可以用来描述两个坐标系之间的相对姿态。
? 方向余弦矩阵的用途之二
?方向余弦矩阵的主要作用是进行坐标阵的变换。设任一矢量?在b和r坐标系的坐标阵分别为
?r和?b
r??x??r??r???y? ...................................................................................................................................... （4.2-1） ??zr???b??x??b??b???y? ...................................................................................................................................... （4.2-2） ??zb???则有
?r?Arb?b .................................................................................................................................... （4.2-3） ?b?Abr?r .................................................................................................................................... （4.2-4）
据此，也称A为从b坐标系到r坐标系的坐标变换矩阵，A为从r坐标系到b坐标系的坐标变换矩阵。下面证明以上两式。
?矢量?在r坐标系内可以表示为
rrrr???y???zrz?r .............................................................................................................. （4.2-5） ???xxyrbbr
?在b坐标系内可以表示为
bbbbbb???y???z? ............................................................................................................. （4.2-6） ???xxyz?由于以上两式表示的是同一个矢量，故有
rrrrbbbbbb???y???zrz???y???z?r??x? ............................................................................ （4.2-7） ?xxyxyz?，y?点乘上式有 ?和z分别用xrbbbbbb??x?r??y??x?r??z?r ...................................................................................... （4.2-8） ??x?x??xxyzrrrrbbbbbb??y?r??y??y?r??z?r...................................................................................... （4.2-9） ??y?y??xxyzbbbbbb??z??z?r??y?r??z??z?r ....................................................................................... （4.2-10） ?zr??xxyz以上三式即为（4.2-3）式，同理可证得（4.2-4）式。
12
《多体动力学》课程讲稿
?ZG?YG?bz?XG?bx???by??图4.2-1 b坐标系、G坐标系及矢量
?例4.2-1 如图4.2-1所示，矢量?在b坐标系内的坐标阵为
??1.5?? ................................................................................................................................... （4.2-11）
?b??0
????0??则在G坐标系内的坐标阵为
?0?10???1.5??0???0????1.5? .......................................................................... （4.2-12）
?G?AGb?b??100
????????001????0????0??其中AGb为从b到G的坐标变换矩阵。
?、Y?，某轿?和Z例4.2-2 如图4.2-2所示，全局坐标系GCS的原点为O，三个单位矢量分别为XGGG?c、y?c和z?c，其指向如图所示。车车身质心坐标系cm的原点为车身质心C，三个单位矢量分别为x?cz?cx?cy?RC?rO1?ZGO?YG?RC?XG图4.2-2 车身质心和右前轮心
??从O到C的位置矢量为RC，从C到O1的位置矢量为r，O1为右前轮轮心，从O到O1的位置矢量
??为R。矢量RC在GCS内的坐标阵为
?1500?G?(mm) ........................................................................................................................ （4.2-13）RC??0
????450??矢量r在cm内的坐标阵为
???1233?C?(mm) ...................................................................................................................... （4.2-14）r??760
?????120??
13
《多体动力学》课程讲稿
?反向，y?反向，试求矢量R在GCS内的坐标阵。 ?c与X?c与Y已知xGG解：从cm到GCS的坐标变换矩阵为如下表格右下角的3?3矩阵
?A?XGC?cx?100?cy0?10?cz001 ........................................................................................................................ （4.2-15）
G?YG?ZG则由于
??? R?RC?r ...................................................................................................................................... （4.2-16）
?从而有R在GCS内的坐标阵为 GGGCC R?RC?Ar ......................................................................................................................... （4.2-17）
代入数字有
?1500???100???1233??2733?G???0?10??760????760?(mm) .......................................................... （4.2-18）R??0
??????????450????001?????120????330??
? 方向余弦矩阵的用途之三
?方向余弦矩阵也可以实现坐标方阵的变换。同一矢量?在坐标系r和b内的坐标方阵分别为??，则其关系为： 和??rb证明：设有任意矢量d，它在r和b内的坐标阵分别为d和d，则
b?r?r?Arb??bAbr .....................................................（4.2-19） ?d?Ad .........................................................（4.2-20）
bbrr令
???c???d .............................................................（4.2-21）
?则矢量c在r和b内的坐标阵分别为 r~rdr ...........................................................（4.2-22） c??b~bdb ...........................................................（4.2-23） c??而
c?Ac ..........................................................（4.2-24）
从而将上面两式代入有
rrbb~rdr?Arb?~bdb...............................................（4.2-25） ?又将d?Ad代入有
bbrr???从而由矢量d的任意性知上面的坐标方阵的变换公式成立。上式可以直接地理解为左端为??d在r
???内的坐标阵，右端末尾两项为矢量d在b内的坐标阵，末尾三项为??d在b内的坐标阵，从而右
??端四项代表??d在r内的坐标阵，与左端当然相等。
~rdr?Arb?~bAbrdr ........................................（4.2-26） ?4.3 方向余弦矩阵的性质
? 性质一
方向余弦矩阵的转置为其逆矩阵，即有
14
《多体动力学》课程讲稿
A?(A)?1 ................................................................................................................................. （4.3-1）
由（4.2-4）有
rbbr?r?(Abr)?1?b .............................................................................................................................. （4.3-2）
与（4.2-3）相减有
[A?(A)?1]??0................................................................................................................... （4.3-3）
?由矢量?的任意性即有（4.3-1）式。
? 性质二
若除r和b坐标系外，另有一个坐标系s，可以定义A和A，则有
rssb
rbbrbrbrssbA?AA ................................................................................................................................. （4.3-4）
?s证明：设矢量?在s坐标系内的坐标阵为?，则
?r?Ars?s ..................................................................................................................................... （4.3-5） ?s?Asb?b ..................................................................................................................................... （4.3-6）
于是将后式带入前式有
?r?ArsAsb?b .............................................................................................................................. （4.3-7）
又
?r?Arb?b ..................................................................................................................................... （4.3-8）
故有
b?2e?1be(A?AA)??0（4.3-9）
?由矢量?的任意性即有（4.3-4）式。
当直接计算A很复杂而计算A和
rb
rs
rbrssbbar?2eb?3e30?A较简单时，可以利用这个结论分
步计算A。若有多个坐标系，则可
连续应用这个结论。例如再有一个w坐标系，则有
rb
sb??A?AAA （4.3-10）
例4.3-1 边长为a的正方体上有两个
rbrbrsswwb?er3?e?1ser1?3se?和e?，如图4.3-1所示，坐标系，eA ?es2?2在e?内的试求A和A，并写出e?的三个单位矢量表示分量形式（用errbbrbr图4.3-1 正方体
?b。 e2）
解：
A?1rer?2er?3erb?1becos30?sin30?0b?2e?sin30?cos30?b?3e0 ........................ （4.3-11） 001 15
《多体动力学》课程讲稿
A?1beb?2eb?3ebr?1recos30??sin30?0r?2er?3esin30?cos30?00 ........................ （4.3-12） 01br?2?1r?cos30?e?2 ..............................（4.3-13） e??sin30?e
?内的坐标阵。 例4.3-2 如图4.3-1所示，试求矢量?在坐标系e解：
?a?? ..............................................................（4.3-14）
?r??a????a???cos30?sin30?0??a??cos30??sin30??????????b?Abr?b???sin30?cos30?0??a?a?sin30?cos30?? （4.3-15） ???0??01?1?a????????s，原点为A，如图4.3-1所示，已知 例4.3-3 设有一坐标系e??100?rs? ..............................................（4.3-16） A??001????010???s的姿态。 试画出e?b?的姿态如图4.3-1所示。 解：画出的e
s习题四
?转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方1. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的X向余弦矩阵。
??转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方2. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的Y向余弦矩阵。
??转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方3. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的Z向余弦矩阵。
4. 已知某坐标系相对GCS的方向余弦矩阵为
??00?1??A??010??，试画出其相对GCS的姿态。
??100???和y?在GCS内的坐标阵分别为x和y，试求其相对GCS的方向余5. 已知某坐标系的单位矢量x?????????Y? ，某坐6. 已知GCS的三个单位矢量分别为XG、YG和ZG，矢量a?XG?YG，b?XGG???s沿b向，试求GCS相对坐标系s的方向余弦矩阵。 ?s沿a向，x标系s的单位矢量z
弦矩阵。
16
《多体动力学》课程讲稿
5 欧拉角
5.1 欧拉角的定义
为描述两个坐标系的相对姿态，可以采用方向余弦矩阵，但它有九个元素。若用欧拉角，只需三个角度。设有两个坐标系r和b，b相对r的任一姿态，都能找到一组欧拉角（?，?，?）和它对应。为说明b相对r在某一姿态下对应欧拉角的意义，首先使b与r重合，然后使b绕r的第三轴转?角，角度正负按右手定则判断，此时b转到一个新姿态，再使b绕其新姿态下的第一轴转?角，从而b转到第二个新姿态，最后，使b绕第二个新姿态下的第三轴转?角，就到达上述b相对r的姿态。这三次按顺序转动的转角?、?和?就是描述b相对r的姿态的欧拉角。
例5.1-1 试画出b坐标系相对r坐标系的欧拉角为（90，90，90）度时两个坐标系的相对姿态。 解：最终姿态及中间姿态如图5.1-1所示。
?ry90??rx?ux90??vx?vz?uy?bz?bx?zr?zu?vy90??by图5.1-1 欧拉角为（90，90，90）度
5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系
?、y?、y?，坐标系b的分别为x?。设b相对r的?和z?和z设坐标系r的单位矢量分别为x某一姿态对应的欧拉角为（?，?，?）。如图5.2-1所示，借助于一个正方体可以使表示欧拉角的
rrrbbb?转?角，到达第一个中间姿态，用坐标系u表示，图形清晰一些。首先使b从与r重合的姿态绕zr?、y?转?角，到达第?，此时它们恰沿着正方体的三个棱边。再使u绕x?和z相应的单位矢量为x?、y?，最后使v绕z?转?角，到达b?和z二个中间姿态，用坐标系v表示，相应的单位矢量为x相对r的最终姿态。
vuuuuvvv 17
《多体动力学》课程讲稿
?vy???uy?uy?by?vy?ry?xu??u?x?vx?uz?bx??v?z?bz?vx??r?z?uz??vz?xr图5.2-1 在正方体上表示的欧拉角
如图5.2-1所示，已知（?，?，?），为求b相对r的方向余弦矩阵，先分别求出三个简单的方向余弦矩阵
A?rxru?uxc?s?0?uy?s?c?0?uz001 ........................................................................................ （5.2-1）
?ry?rzA?uxuv?vx100?bxc?s?0ru?vy0c?s??by?s?c?0uvvb?vz0?s?c??bz001 ........................................................................................ （5.2-3） ......................................................................................... （5.2-2）
?uy?uzA?vx?y?vzvbv利用
A?AAA ............................................................................................... （5.2-4）
则可求得b相对r的方向余弦矩阵
rbA?rx?y?rzrb?bxc?c??s?c?s?s?c??c?c?s?s?s??by?c?s??s?c?c??s?s??c?c?c?s?c??bzs?s??c?s?c?r .................................. （5.2-5）
只要给定欧拉角，就可以求出相应的两个坐标系之间的坐标变换矩阵。反过来，若给定b相对r的方向余弦矩阵
?a11rbA???a21??a3118
a12a22a32a13?a23??.............................................................................. （5.2-6） a33??《多体动力学》课程讲稿
与式（5.2-5）比较有
c??a33 ............................................................................................................... （5.2-7）
?s?s??a13 .................................................................................................... （5.2-8） ???c?s??a23?s?s??a31 ........................................................................................................ （5.2-9） ??s?c??a32从而有
?c??a33 ............................................................................................... （5.2-10） ?2s???1?c???s??a13s? ................................................................................................ （5.2-11） ??c???a23s??s??a31s? ..................................................................................................... （5.2-12） ??c??a32s?此时，三个角的正弦和余弦值都知道了，那么三个角就可以精确确定了。
例5.2-1 设坐标系b相对r的欧拉角为（90，90，90）度，试求相应的方向余弦矩阵。
??将??90、??90及??90代入式（5.2-5）有
?A?rxrb?bx001?by0?10?bz100 ............................................................................................ （5.2-13）
?ry?rz
5.3 欧拉角的奇点
给定一个方向余弦矩阵，可按上节公式确定对应的欧拉角。当??0或???时，无法唯一确定
?b与z?r同向（??0）或反向（???）时的位角度?和?。这个位置称为欧拉角的奇点，也就是z置。当??0时，由式（5.2-5）知
A?rx?ry?rzrb?b?b?bxyzc(???)?s(???)0s(???)0c(???)001 .................................................................... （5.3-1）
此时给定方向余弦矩阵，只能确定出???，而?和?有无数组解。若规定??0，则可唯一定出?。当???时，由式（5.2-5）知
A?rx?ry?rzrb?bxc(???)0?bys(???)0?bz00?1s(???)?c(???) .................................................................. （5.3-2）
此时给定方向余弦矩阵，只能确定出???，而?和?有无数组解。若规定??0，则可唯一定出?。
当?接近于零或?角时，sin??0，因此在奇点附近，由方向余弦矩阵确定欧拉角会有较大误差。
19
《多体动力学》课程讲稿
5.4 确定欧拉角的几何法
给定两个坐标系的方向余弦矩阵，可用上面的计算法精确确定欧拉角。给定两个坐标系相对姿
?、yr和z?，b态的几何图形，也可以用几何法大致确定欧拉角。设r坐标系的单位矢量分别为x?、y?，如图5.4-1所示，则几何法确定欧拉角的具体步骤为 ?b和z坐标系的单位矢量分别为xbbrr?yr?by?b平面与x?ry?r平面的交线； 1) 画出x?bx?，2) 沿此交线画出一个单位矢量x其指向通过
?r?z?b来确定（这是为了使?为正且小于z； ?，否则可取另一方向）
u?by??xu?绕z?重合的角为欧拉角的?转至与x3) 则使x第一角?；
rru??rz?转至与z?绕x?重合的角为欧拉角的第4) 使z二角?； ?绕z?重合的角为欧拉角的第?转至与x5) 使x三角?。
例5.4-1 坐标系b和r的相对姿态如图5.4-2 a)所示，已知
ubrub??rxb?bz图5.4-1 几何法确定欧拉角
A?rx?y?rzrb?bx001?by0?10?bz100（5.4-1）
r试分别用几何法和计算法确定b相对r的欧拉角。
解：几何法确定欧拉角的过程如图5.4-2 b)所示，计算过程如下
??acos(a33)?acos(0)?90? .............................................................. （5.4-2） ??atan2(a13,?a23)?atan2(1,0)?90? ............................................ （5.4-3） ??atan2(a31,a32)?atan2(1,0)?90? .............................................. （5.4-4）
这里采用了matlab中的函数acos和atan2。.
20
《多体动力学》课程讲稿
??????mi?i?[??(???i)]??????mi{?i??(???i)}???? ........................................................................................ （15.2-17） ??mi(???i)?i????????mi???i?i?????????(?mi?i?i)?????下面说明上式与???I??相等： ??????I????????? ................................ （15.2-18） ?????mi(?i??iE??i?i)??????????????mi(?i??i??E??)????(mi?i?i)?????????由于E????，所以??E???0，从而
?????????????mi?i?[??(???i)]????mi?i?i??????I?? ................... （15.2-19）
将（15.2-15）和（15.2-19）代入（15.2-14）即得（15.2-2）式。
?c、y?c和z?c，如 若以刚体质心为原点建立一个固定于刚体上的坐标系cm，其单位矢量分别为x图15.2-1所示，则可得到惯量张量在该坐标系内的坐标阵。设?i在cm内表示为
??则刚体B相对质心C的惯量张量I在cm内的坐标阵为
?IxxIxyIxz???I??IyxIyyIyz? ..........................................（15.2-21）
?IzxIzyIzz???这是一个对称矩阵，其中各元素为
?c?yiy?c?ziz?c ................................................................................... （15.2-20） ?i?xix?Ixx??mi(yi2?zi2) ........................................（15.2-22） Iyy??mi(xi2?zi2) ........................................（15.2-23）
Izz??mi(xi2?yi2) ........................................（15.2-24） Ixy?Iyx???mixiyi .....................................（15.2-25） Ixz?Izx???mixizi ......................................（15.2-26）
Iyz?Izy???miyizi .....................................（15.2-27）
15.3 达朗贝尔原理和刚体的动力学方程
?C?C?*?*矢为F，主矩为M，刚体惯性力向质心简化的主矢为R，主矩为T，则刚体的达朗贝尔原理
为[3]
对于相对大地作空间任意运动的刚体B，参见图15.2-1，设作用于B上的外力向质心简化的主
?*?C?R?F?0 .......................................................（15.3-1） ?*?C?T?M?0 ......................................................（15.3-2）
这两个方程与刚体的静平衡方程形式相同，但它们是刚体的动力学方程。故只要把惯性力施加于运动的刚体上，列出的平衡方程就是刚体的动力学方程，这种列写方法称为动静法。每个刚体都这样处于“平衡”，则整个多体系统或系统的任一部分也处于这种“平衡”状态，因而可对任一“平衡”的部分应用动静法列写其动力学方程。
46
《多体动力学》课程讲稿
这种列写动力学方程的动静法属于矢量力学方法，而按虚功原理或虚功率原理列写动力学方程的方法属于分析力学方法。
习题十五
1. 试利用由两个矢量并列得到的并矢即简单并矢来验证表15.1-1的矩阵表达式。
?2. 已知一刚体质量为m，对质心的惯量张量为IC，刚体上一固定点为O，从O到C的位置矢量
??为?，从O点到刚体上任一微质量mi的位置矢量为ri，定义刚体对O点的惯量张量为
????????IO??mi(ri?riE?riri)，试确定IO与IC的关系。
?3. 设刚体对其质心的惯量张量在刚体质心坐标系cm内的坐标阵为I，刚体相对大地的角速度?及
??在GCS内的坐标阵分别为?和?，从cm到固定于大地上的全局坐标系GCS的坐角加速度?标变换矩阵为A，试求刚体对质心惯性力主矩在GCS内的坐标阵。
4. 将水平路面上的四轮车辆简化为摩托车模型，可视为一作平面运动的刚体，试利用动静法列写
其动力学方程。
GC16 约束方程
机构模型中的约束，如球铰及旋转铰等，是物体间实际连接方式抽象后的力学模型。约束方程是约束对所连物体间位置和姿态的限制方程。
为建立约束力，需要设置约束的两个坐标系，即I坐标系和J坐标系，如图16-1所示，其中J
J marker
Part B ?jy?jx?jzJ ?j??h?yiI marker ?ix?iz?byI ?bx?bzB ?YG?ZGO?rB?i?rA?az?Part A A ?axj?XG?ay图16-1 约束的两个坐标系在各自物体上的位置和姿态 ?、y?，原?和z坐标系固定于物体B上，I坐标系固定于物体A上，J坐标系的单位矢量分别为x?、y?、y?，原点为I，物体B的BCS单位矢量分别为x?和z?点为J，I坐标系的单位矢量分别为xbjjiiibb?、y?，原点为B，物体A的BCS的单位矢量分别为x?，原点为A，GCS的单位矢量分?和z和zaaa?、Y?和Z?，原点为O，由O到B的位置矢量用rB表示，由O到A的位置矢量用rA表示，别为XGGG
47
??《多体动力学》课程讲稿
?由B到J的位置矢量用?j表示，由A到I的位置矢量用?i表示，由J到I的位置矢量用h表示，
??则
?????h?rA??i?(rB??j)（16-1）
?以J坐标系为参考坐标系，位置约束方程为对h的限制方程，姿态约
束方程为对I标记单位矢量的限制方程。 下面列举三个常用的约束，分析其相对运动并列出其约束方程。
例16-1 滑移铰。滑移铰只允许两个物体间有一个方向的相对移动，如图16-2所示。为列写其约束方程，在物体B上固定一个J坐标系，
?j沿滑移轴线方向，其他两个单其原点位于滑移轴线上，其单位矢量z位矢量的方向可视方便而定；在物体A上固定一个I坐标系，初始时矢量，则有滑移铰的五个约束方程为
?与J坐标系完全重合。令h表示由J坐标系原点到I坐标系原点的位置
??j?0（16-2） h?x??j?0（16-3） h?y?j?0（16-4） ?i?xz图16-2 滑移铰 ?j?0（16-5） ?i?yz?i?y?j?0（16-6） x由于上述方程中的矢量都与约束所连物体的位置和姿态坐标有关，因此它们是对两个物体位置和姿态的约束。将上述约束方程在大地内对
时间求导，就可得到对两个物体的速度约束方程和加速度约束方程。
例16-2 旋转铰。旋转铰只允许两个物体间有一个方向的相对转动，如图16-3所示。其J坐标系固于物体B上，原点位于旋转
?j沿旋转轴线方向，其轴线上，单位矢量z他两个单位矢量的方向可视方便而定；I 坐
标系固于物体A上，初始时与J坐标系完
?全重合。令h表示由J坐标系原点到I坐标
系原点的位置矢量，则有旋转铰的五个约束方程为
??j?0（16-7） h?x??j?0（16-8） h?y??j?0 （16-9） h?z?j?0（16-10） ?i?xz 图16-3 旋转铰 ?j?0（16-11） ?i?yz
例16-3 球铰。球铰使两个物体有一点永远重合，这样两个物体间只能有三个方向的相对转动运动。如图16-4所示，其J坐标系固定于物体B上，原点位于两个物体的共同点上，三个单位矢量的指向视方便而定；其I坐标系固定于物体A上，原点与J坐标系的永远重合，初始时其姿态与J坐标系完全一致。球铰的三个约束方程为
48
《多体动力学》课程讲稿
??j?0（16-12） h?x??j?0（16-13） h?y??j?0（16-14） h?z
习题十六
1. 假设空间有一质量块，与地面之间连有弹簧，要求保证其相对地面只有铅直方向的振动，而没有其它方向的移动和任何方向的转动，试说明需施加何种 约束并写出相应的约束方程。
图16-4 球铰 2. 假设只研究汽车在水平路面上的位置和姿态，作为
空间模型，试说明如何在车身与地面间施加约束，
以使车身相对地面没有铅直方向的运动、俯仰及侧倾运动。
3. 门与墙间一般有两个合页，试通过约束方程说明当在门与墙间设置两个旋转铰时，其对门的位
置和姿态限制是重复的。
参考文献
[1] [美]T.R.凯恩，D.A.列文松著，《动力学：理论与应用》，贾书惠，薛克宗译，清华大学出版社，1988年11月第1版 [2] 洪嘉振著，《计算多体系统动力学》，高等教育出版社，1999年7月第1版 [3] J. 维腾伯格，《多刚体系统动力学》，谢传锋译，北京航空学院出版社，1986 [4] Ahmed A Shabana, Computational Dynamics, John Wiley & Sons, 2001 [5] 黄克智，薛明德，陆明万编著，《张量分析》，清华大学出版社，2003年7月第二版 [6] O. A. Bauchau, Flexible Multibody Dynamics, Springer, 2011
49
百度搜索“yundocx”或“云文档网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，云文档网，提供经典综合文库吉林大学-多体动力学讲稿2015在线全文阅读。
最新更新：
